第二章 含参变量积分第六节 含参变量的积分
4-6-2 广义含参积分
第十六讲 广义含参变量积分课后作业,
阅读：第四章 第六节,含参变量积分 pp.135---141
预习：第五章 第一节,曲线积分 pp,142---151
作业,
1,证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛.
(1) ;
(2) .
2,利用积分号下求导的定理及 .
证明
3,利用积分号下求导的定理及
计算积分,
4,计算积分 .
4-6-2 广义含参积分
含参积分或中被积函数在上是无界函数时,就称为广义含参变量积分。由广义含参积分定义的函数在实际使用得以一般含参积分更广泛，但在研究其性质时复杂一点。
1) 广义含参变量积分的收敛性与一致收敛性逐点收敛概念 设函数在带域 上有定义,如果点在处,广义积分
收敛,就称无穷限含参量积分在点处收敛,否则就称
它在点发散； 如果在区间上每一点都收敛,则称无穷限含参
变量积分在上收敛，这样就在定义了一个上的函数
.
一致收敛概念 若,当时,恒有
, ,
则称无穷限含变量积分在上一致收敛于;
或简单地说, ( 关于 ) 一致收敛。
柯西准则:
(1) 无穷限含参变量积收敛的等价条件是,,当时,恒有
.
(2) 无穷限含参变量积在上一致收敛的等价条件是,,当时,恒有
.
验证广义含参变量积分是否是一致收敛的最常用的方法是比较判别法。
一致收敛强函数判别法 (Weirstrass判别法) 设在带域上,有,如果积分收敛,则关于一致收敛。
证明 收敛,因此,,
当时,,故
,
本定理得证。
例1 证明积分在的区间上一致收敛。
证明 ,,故,而收敛,所以强函数判决, 在一致收敛。
可以证明,在区间上收敛,但不一致收敛。
2) 广义含参变量积分的分析性质下面讨论由广义含参变量积分所定义的函数的连续性、可微性和可积性。
连续性定理 (1) 在上连续,
(2)在的闭区间上一致收敛,
则 在上连续。
证明,;
=*
=.
*此处用到上节讨论的累次极限可交换的定理：这里
可积性定理 设在上连续,且
在上一致收敛,
则在上可积,且其积分满足等式
,
即积分顺序可交换。
证明：;
=*
=.
*此处用到上节讨论的积分号与极限号可交换的定理：这里
当时,如果满足下列条件:
(1) 在上连续;
(2) 和分别在y的上和x的上一致收敛,其中与为任意大的正数;
(3) 和中有一个存在,
则在上可积,且满足
.
可微性定理 设 (1),在上连续,
(2)存在,
(3)在上一致收敛,
则的导数存在,且
,
即积分与导数可交换顺序。
证明：;
=*=
=,
*此处用到上节讨论的求导与极限号可交换的定理：这里
3) 举例：
例2 计算积分 (a,b>0)之值解 由可得,
=.
为了交换积分顺序以求得积分值,先证在上一致收敛,显然,当,上,有, 且收敛,可得在上一致收敛, =
.
例3 计算之值.
解 记,则,
,,,
且收敛,所以在的任何区间上一致收敛,
又显然对一切都存在,得,
;
即 .
解微分方程得 (为常数) 取,
(令)
(利用泊桑积分结果),
故得 .
例4 计算 之值.
解 首先引进“收敛因子”,再计算：
,,
,
例5 计算 之值.
解 首先令,则有：
两边乘再对从到作积分:
.
4-6-2 广义含参积分
第十六讲 广义含参变量积分课后作业,
阅读：第四章 第六节,含参变量积分 pp.135---141
预习：第五章 第一节,曲线积分 pp,142---151
作业,
1,证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛.
(1) ;
(2) .
2,利用积分号下求导的定理及 .
证明
3,利用积分号下求导的定理及
计算积分,
4,计算积分 .
4-6-2 广义含参积分
含参积分或中被积函数在上是无界函数时,就称为广义含参变量积分。由广义含参积分定义的函数在实际使用得以一般含参积分更广泛，但在研究其性质时复杂一点。
1) 广义含参变量积分的收敛性与一致收敛性逐点收敛概念 设函数在带域 上有定义,如果点在处,广义积分
收敛,就称无穷限含参量积分在点处收敛,否则就称
它在点发散； 如果在区间上每一点都收敛,则称无穷限含参
变量积分在上收敛，这样就在定义了一个上的函数
.
一致收敛概念 若,当时,恒有
, ,
则称无穷限含变量积分在上一致收敛于;
或简单地说, ( 关于 ) 一致收敛。
柯西准则:
(1) 无穷限含参变量积收敛的等价条件是,,当时,恒有
.
(2) 无穷限含参变量积在上一致收敛的等价条件是,,当时,恒有
.
验证广义含参变量积分是否是一致收敛的最常用的方法是比较判别法。
一致收敛强函数判别法 (Weirstrass判别法) 设在带域上,有,如果积分收敛,则关于一致收敛。
证明 收敛,因此,,
当时,,故
,
本定理得证。
例1 证明积分在的区间上一致收敛。
证明 ,,故,而收敛,所以强函数判决, 在一致收敛。
可以证明,在区间上收敛,但不一致收敛。
2) 广义含参变量积分的分析性质下面讨论由广义含参变量积分所定义的函数的连续性、可微性和可积性。
连续性定理 (1) 在上连续,
(2)在的闭区间上一致收敛,
则 在上连续。
证明,;
=*
=.
*此处用到上节讨论的累次极限可交换的定理：这里
可积性定理 设在上连续,且
在上一致收敛,
则在上可积,且其积分满足等式
,
即积分顺序可交换。
证明：;
=*
=.
*此处用到上节讨论的积分号与极限号可交换的定理：这里
当时,如果满足下列条件:
(1) 在上连续;
(2) 和分别在y的上和x的上一致收敛,其中与为任意大的正数;
(3) 和中有一个存在,
则在上可积,且满足
.
可微性定理 设 (1),在上连续,
(2)存在,
(3)在上一致收敛,
则的导数存在,且
,
即积分与导数可交换顺序。
证明：;
=*=
=,
*此处用到上节讨论的求导与极限号可交换的定理：这里
3) 举例：
例2 计算积分 (a,b>0)之值解 由可得,
=.
为了交换积分顺序以求得积分值,先证在上一致收敛,显然,当,上,有, 且收敛,可得在上一致收敛, =
.
例3 计算之值.
解 记,则,
,,,
且收敛,所以在的任何区间上一致收敛,
又显然对一切都存在,得,
;
即 .
解微分方程得 (为常数) 取,
(令)
(利用泊桑积分结果),
故得 .
例4 计算 之值.
解 首先引进“收敛因子”,再计算：
,,
,
例5 计算 之值.
解 首先令,则有：
两边乘再对从到作积分:
.
