习 题
1,计算下列含参变量积分的导数
(1) ;
(2) ;
(3) .
2,设为可微函数,且,求.
3,求椭园积分及 的导函数,并以函数和表示之; 证明满足微分方程
.
4,计算.
提示,利用 
5,计算 
提示,利用 .
6,研究函数的连续性,其中在闭区间[0,1]上是正的连续函数.
7,设为可微分两次的函数,为可微函数,证明,函数

满足弦振动方程

及初值条件,,.
8,证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛.
(1) ;
(2) ;
(3) .
9,利用积分号下求导的定理及
 .
证明

10,利用积分号下求导的定理及
 
计算积分,
11,计算积分 .
12,计算积分  .
13,利用积分号下求积分的定理,计算积分

提示,,在上一致收敛(不要求证明此结论),并可利用例4结果,
部分习题答案
(1) ,
(2) ,
(3) , 2,.
3,,,4,.
5,, 6,在点不连续,
10,, 11,,
12,提示,利用例3结果,, 13,.
附录 函数的一致连续性
函数在点连续的定义义是,
“,使当时 ”.
一般说来,的选取不仅与有关,而且与有关。
例 在(0,1)内连续,设,要使
,
即 , ,取,则,
,
,
故只要取 ,则当时,.
显然,在上述例子中,与有关,且当时,。但是同样的函数,考虑,,则当时,
 ,
此时,,当时,,对都成立。
对于上述两种情况,我们称在(0,1)区间上不一致连续,而在区间上一致连续。
定义1 设函数在区间上连续,如果,存在只依赖于的,使当且时,均有,则称在上一致连续。
定义1的等价命题是,
“”
定理1 有界闭区间上的连续函数一致连续证明 设在上连续,记

则在内连续,,由柯西准则,,使,恒有,取遍上所有的点,得到的开区间集

覆盖了有界闭区间,根据有限覆盖定理,存在有限个开区间,,覆盖了闭区间,记,则对上述,存在上述,使,只要,,就必属于某个开区间,从而有,这就证明了在上一致连续。
以上有关一致连续的定义和定理可以推广到多元函数上去,下面以二元函数为例
定义2 设在域上连续,如果,,使当,且,时,,均有,则称在域上一致连续。
其等价定义是,
“,只要,均有”。
定理2 若在有界闭区域上连续,则它在上一致连续。
(证明略)