第三章 空间曲线的基本知识
第三节 曲线的曲率与挠率
第十讲 曲线的曲率与挠率课后作业,
阅读：第三章 第三节 曲线的曲率与挠率 pp.87---94
预习：第三章 第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96
作业,
1,在下列曲线的曲率k和挠率(：
(1) ；
(2) ；
(3) （圆锥曲线）；
(4) 。
2,证明曲线 是平面曲线。
3,证明曲线 是平面曲线。
4,证明：(1) ； (2) .
3.3 曲线的曲率·挠率·弗雷耐公式
2.3.1 曲线的曲率曲率的定义在很多实际问题中，例如，设计拐弯的铁道，弯曲的梁，曲线形的刀具，都必须考虑曲线的弯曲程度，数学上定量描述曲线变曲程度的概念叫曲线的曲率。它应该如何定义呢？
设光滑曲线C的方程为 ,s为自然参数，当s由时，切向量 与 的正向夹角为(( 。显然，越大，则曲线C在弧段上平均弯曲程度越大。 所以越大，等价于越大，因此，光滑曲线C在点s0处的曲率可以用
来描述，下面难出曲线C在一点处的曲率和曲率半径的定义。
定义2.2 光滑曲线对自然参数s的二阶导向量的模称为曲线r(s)在点s处的曲率，记作k(s)，即
当k(s)(0时，称为曲线在点s处的曲率半径.
在弗雷耐标架中，由于,,而，故
我们称向量k(s)N(s)为曲线在点s处的曲率向量。
由向量 表示的点Q称为曲线在点s处的曲率中心。
在点s的密切平面上，以曲率中心Q为圆心，曲率半径R(s)为半径的圆，称M为曲线在点s处的密切圆。
显然，密切圆与曲线在点s相切，而且在点s它们有相同的曲率，工程中常常用密切圆的一段弧来近似代替点s邻近的一段曲线。
曲率的几何意义，我们先证一个引理。
设 是单位向量函数，，而为和的夹角，则
事实上，按照向量函数导数的定义，有
由曲率的定义和及上述结果，得
,
式中是和的夹角。所以，曲线在一点处的曲率就是曲线在该点的切向量倾角对其弧长的变化率，或称切线对弧长的转动率，这就是曲率的几何意义。
例1 求圆柱螺线的曲率。
故
例2 证明：空间曲线为直线的充要条件是曲率k(s)(0。
证：必要性：设直红方程为 （其中为常向量）
故即
充分性：若则由解得为直线。
一般参数t表示的曲线(r=r(t))的曲率表示式。
由
而 ,及
所以
因此
2.3.2 挠率空间曲线除了有“弯曲”的概念外，还有一个“挠扭”的概念，“弯曲”是相对于“直”而言的，而“挠扭”是相对于“平”而言的，位于一个平面上的曲线称为平面曲线，它是不“挠扭”的，所以，我们称非平面曲线为挠曲线。
挠曲线上点s+(s将偏离s处的密切平面，或者说曲线上点s和s＋(s处的密切平面是不同的。显然这种偏离也有程度上的差异，例如，一条弹簧，在压得很紧的时候，它的每一圈都接近于（或者就是）平面曲线，曲线上点s+(s偏离s处的密切平面较小；放开时，曲线上点s+(s偏离s处的密切平面程度就会就大。
我们将用密切平面的变化率，即 密切平面的法向量（即曲线的从法向量） 的变化率来描述这种偏离程度，从而导出曲线论中的另一个重要的几何概念：挠率。
在弗雷耐标架 中，
，
对上式两边求导，得
将和，代入得
又由可知同时垂直于和，
从而平行于,即
其中是数值函数，前面的负号是为了方便添加的。于是，
所以，我们对曲线的挠率给出如下的定义。
定义2.3 我们称函数 为曲线r(s)在点s处的挠率由于
其中((表示和间的夹角，即两相邻点的密切平面的夹角。所以，挠率的绝对值为曲线在该点的密切平面的法向量的倾角对其弧长的变化率，或曲线在该点“偏离”相应的密切平面的程度，这就是挠率的几何意义。
例3 证明：由线r(s)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零。
证 必要性是显然的，因为曲线上任一点处的密切平面都是r(s)所处的平面，即B(s)方向不随s变化，是一个常向量，故有
。
充分性：已知对任意s有即，即从法线向量
B(s)=B0（常向量），
因为 T(s)·B0(0,
故 ,
从而
（常数），或
即曲线上任一点r(s)均位于过r(0)，以B0为法向量的平面上。
例4 求圆柱螺线的曲率和挠率，其中常数，且。
解 由,知s为自然参数，所以，
因此曲率 ; 挠率 。
由此可见，一条圆柱螺线的曲率和挠率均为常数。
按照定义，曲率k(s)总是正,在(a>0)，而挠率却带有正号或负号：
当b>0时，时，，也就是说，螺线是右手螺旋时，挠率取正值，左手螺旋时，挠率取负值。
从曲率和挠率的角度来观察一条挠曲线时，最简单的挠曲线是圆柱螺线，如同圆是最简单的平面曲线一样。
用高阶阶导数计算挠率( 的公式：
证明,由 ，于是，
其中 .
当曲线用一般参数t表示时，挠率的计算公式:
因为
代入挠率公式式，即得挠率在一般参数t下的计算公式
由此可知
。
它们都是平面曲线的充要条件。
例5 求三次参数曲线
的弗雷耐标架及k和 (。
解
按照标架的计算公式，有
由式(2-22()及(2-26()得
注意，对一般参数t，我们是先求，后求的，这与对弧长参数的情形正相反。
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作业,
1,在下列曲线的曲率k和挠率(：
(1) ；
(2) ；
(3) （圆锥曲线）；
(4) 。
2,证明曲线 是平面曲线。
3,证明曲线 是平面曲线。
4,证明：(1) ； (2) .
3.3 曲线的曲率·挠率·弗雷耐公式
2.3.1 曲线的曲率曲率的定义在很多实际问题中，例如，设计拐弯的铁道，弯曲的梁，曲线形的刀具，都必须考虑曲线的弯曲程度，数学上定量描述曲线变曲程度的概念叫曲线的曲率。它应该如何定义呢？
设光滑曲线C的方程为 ,s为自然参数，当s由时，切向量 与 的正向夹角为(( 。显然，越大，则曲线C在弧段上平均弯曲程度越大。 所以越大，等价于越大，因此，光滑曲线C在点s0处的曲率可以用
来描述，下面难出曲线C在一点处的曲率和曲率半径的定义。
定义2.2 光滑曲线对自然参数s的二阶导向量的模称为曲线r(s)在点s处的曲率，记作k(s)，即
当k(s)(0时，称为曲线在点s处的曲率半径.
在弗雷耐标架中，由于,,而，故
我们称向量k(s)N(s)为曲线在点s处的曲率向量。
由向量 表示的点Q称为曲线在点s处的曲率中心。
在点s的密切平面上，以曲率中心Q为圆心，曲率半径R(s)为半径的圆，称M为曲线在点s处的密切圆。
显然，密切圆与曲线在点s相切，而且在点s它们有相同的曲率，工程中常常用密切圆的一段弧来近似代替点s邻近的一段曲线。
曲率的几何意义，我们先证一个引理。
设 是单位向量函数，，而为和的夹角，则
事实上，按照向量函数导数的定义，有
由曲率的定义和及上述结果，得
,
式中是和的夹角。所以，曲线在一点处的曲率就是曲线在该点的切向量倾角对其弧长的变化率，或称切线对弧长的转动率，这就是曲率的几何意义。
例1 求圆柱螺线的曲率。
故
例2 证明：空间曲线为直线的充要条件是曲率k(s)(0。
证：必要性：设直红方程为 （其中为常向量）
故即
充分性：若则由解得为直线。
一般参数t表示的曲线(r=r(t))的曲率表示式。
由
而 ,及
所以
因此
2.3.2 挠率空间曲线除了有“弯曲”的概念外，还有一个“挠扭”的概念，“弯曲”是相对于“直”而言的，而“挠扭”是相对于“平”而言的，位于一个平面上的曲线称为平面曲线，它是不“挠扭”的，所以，我们称非平面曲线为挠曲线。
挠曲线上点s+(s将偏离s处的密切平面，或者说曲线上点s和s＋(s处的密切平面是不同的。显然这种偏离也有程度上的差异，例如，一条弹簧，在压得很紧的时候，它的每一圈都接近于（或者就是）平面曲线，曲线上点s+(s偏离s处的密切平面较小；放开时，曲线上点s+(s偏离s处的密切平面程度就会就大。
我们将用密切平面的变化率，即 密切平面的法向量（即曲线的从法向量） 的变化率来描述这种偏离程度，从而导出曲线论中的另一个重要的几何概念：挠率。
在弗雷耐标架 中，
，
对上式两边求导，得
将和，代入得
又由可知同时垂直于和，
从而平行于,即
其中是数值函数，前面的负号是为了方便添加的。于是，
所以，我们对曲线的挠率给出如下的定义。
定义2.3 我们称函数 为曲线r(s)在点s处的挠率由于
其中((表示和间的夹角，即两相邻点的密切平面的夹角。所以，挠率的绝对值为曲线在该点的密切平面的法向量的倾角对其弧长的变化率，或曲线在该点“偏离”相应的密切平面的程度，这就是挠率的几何意义。
例3 证明：由线r(s)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零。
证 必要性是显然的，因为曲线上任一点处的密切平面都是r(s)所处的平面，即B(s)方向不随s变化，是一个常向量，故有
。
充分性：已知对任意s有即，即从法线向量
B(s)=B0（常向量），
因为 T(s)·B0(0,
故 ,
从而
（常数），或
即曲线上任一点r(s)均位于过r(0)，以B0为法向量的平面上。
例4 求圆柱螺线的曲率和挠率，其中常数，且。
解 由,知s为自然参数，所以，
因此曲率 ; 挠率 。
由此可见，一条圆柱螺线的曲率和挠率均为常数。
按照定义，曲率k(s)总是正,在(a>0)，而挠率却带有正号或负号：
当b>0时，时，，也就是说，螺线是右手螺旋时，挠率取正值，左手螺旋时，挠率取负值。
从曲率和挠率的角度来观察一条挠曲线时，最简单的挠曲线是圆柱螺线，如同圆是最简单的平面曲线一样。
用高阶阶导数计算挠率( 的公式：
证明,由 ，于是，
其中 .
当曲线用一般参数t表示时，挠率的计算公式:
因为
代入挠率公式式，即得挠率在一般参数t下的计算公式
由此可知
。
它们都是平面曲线的充要条件。
例5 求三次参数曲线
的弗雷耐标架及k和 (。
解
按照标架的计算公式，有
由式(2-22()及(2-26()得
注意，对一般参数t，我们是先求，后求的，这与对弧长参数的情形正相反。
