习题与补充题
习题
1,证明是常向量的充要条件是。
2,设(0是常数，a0是常向量，证明
(1) (2)
(3) (4)
3,下列等式成立吗？为什么？
(1) ；
(2) ；
(3)
4,设向量函数a(t)满足，证明a(t)是常向量。
5,证明为共面向量函数。
6,证明：,为共面向量函数的充要条件是。
7,试证明
与
是同一条曲线的两种不同的表示式。
8,求曲线在t=0处的切线方程。
9,求曲线在任意点处的法平面方程。
10,求下列曲线的切线和法平面议程：
(1) r=(acost,asint,bt),t=0；
(2) r=(t,t2,t3),t=1；
(3)
11,求下列曲线的副法线和密切平面方程
(1) r=(acost,bsint,e(),t=0；
(2) r=(acost+bsint,asint+bcost,csin2t),
12,求曲线r=(t,t2,t3)在t=1处的主法线和从切平面方程。
13,证明球面曲线的法平面通过球心。
14,计算圆锥螺线的弧长公式（从0到t）。
15,求下列平面曲线的弧长公式及弧长。
(1) 曲线由直角坐标中显示表示；
(2) 曲线由极坐标方程表示(＝( (()，对数螺线。
16,将方程r=(acost,asint,bt)（圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。
17,求曲线r=(tsint,tcost,te()在t=0处的弗雷耐标架。
18,在下列曲线的曲率k和挠率(：
(1) r=(acht,asht,at)；
(2) r=(t－sint,1－cost,t)；
(3) r=(tcost,tsint,at)（圆锥曲线）；
(4) r=(t,t2,t3)。
19,证明曲线是平面曲线。
20,证明曲线r=(1+3t+2t2,2－2t+5t2,1－t2)是平面曲线。
21,证明：
(1) T(·N(＝0； (2) B(·N(＝0
22,已知曲线r = r (s)，证明：
(1) r(·r(＝0； (2) ；
(3) (4) ；
(5)
23,证明
(1)（T，B，B(）＝(； (2)
(3)
24,试证明曲线r=r(t)在一般参数下的弗雷耐公式为
其中。
25,已知曲线C：r=r(s)，证明：若曲线C的
(1) 所有切线通过定点，则C是直线；
(2) 所有切线相互平行，则C是直线；
(3) 所有主法线通过定点，则C是圆；
(4) 所有切线平行于同一平面，则C是平面曲线。
26,计算下列颊曲线的曲率k:
(1) 椭圆r=(acost,bsint),0 ( t ( 2 (；
(2) 抛物线y=x2；
(3) 星形线r=(acos3t,asin3t)
27,求下列曲线的包络：
(1) y=(x－c)2
(2) 爷角为a的弹道曲线，其中g是重力加速度，v0为初速，a为参数。
28,设半径为r的动圆中心位于椭圆r(acos(,bsin()上，求动圆的包络。
29,设(=ck,c为常数，写出此曲线的参数方程。
30,已给r=r(r)的单位副法线向量为，求它的单位切向量T和单位主法线向量N。证明曲线是一般螺线，并求它的曲率和挠率的比值。
31,证明曲线r(t)=(3t,3t2,2t3)是一般螺线。
32,证明下列曲线是球面曲线。
(1) r=(asin2t,asintcost,acost)；
(2) r=(－cos2(,－2cos(,sin2()
33,证明：当且仅当球面曲线是圆周时，其曲率不变。
34,试证明：在平面场合，曲线C：r = ( x ( t ),y ( t ) )的渐缩线的参数方程为
35*,在平面场合，求下列曲线的渐缩线：
（1）势物线y2=2px；（2）椭圆r=(acost,bsint)
补充题
1,证明：曲线r (x (t),y (t),z (t) )为平面曲线的充要条件是。
2,设D是半径为r的球面，而C是一条空间曲线，方程为r = r (s)（s为弧长参数），证明：
(1) 若曲线的所有的法平面与D相切，则
(2) 若曲线的所有密切平面与D相切，则r(s)或为平面曲线或满足方程
3,秩，求C的切线与法平面。
4,已知曲线r=r(s)的曲率k和挠率(，试寻求向量函数((s)，使下式成立：
5,证明曲线：
在t=0处的曲率和挠率分别为k0和(0，而且T(0),N(0),B(0)分别重合于x,y,z轴。
6,证明曲线：
是一般螺线。
7,凤曲线：是一般螺线，求出a,b之间的关系，并求出对应的固定向量u。
8,证明下列条件之一是曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件：
(1) (2)
9,已知曲线C,r = (acos (t,asin (t,b (t)，设点P(C，沿P的主法线N的方向取单位长的点Q，求Q点形成的曲线的方程。
部分习题和补充题答案习题：
3,(1) (3)成立；(2)不成立。
5,
8,x-1=y-z-1
9,yx-xy+yz=xy
10,(1) ay+bz=0；
(2) ；
(3) ，
其中A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)=0
11,(1)
(2)
12,
14,
15,(1)
(2)
16,r=(acos(s,asin(s,bs),
17,
18,(1) k = ( = 1/sach2t
(2)
(3)
(4)
19,
20,
26,(1) (2)
(3)1/3asintcost； (4)a/(a2+s2)
27,(1)y=0,;
(2)
28,，
其中
29, (28,29答案一样)
30,(1)
35,(1)
(2)
补充题
3,
6,b=0；a任意。
9,rQ=((a-1)cos(t，(a-1)sin(t,b(t
习题11.4
求下列曲线在指定点的切线与法平面
（1），在处，
（2），在处，
（3），在点.
求下列曲面在指定点的法线与切平面
（1），在点，
（2），在点，
（3），在点，
（4），在点，
（5），在处.
按要求求下列曲面的切平面曲面的与平面平行的切平面，
曲面的与直线垂直的切平面，
双曲抛物面在时的切平面.
已知函数可微，若为曲面在点处的切平面，为上任意一条过的直线，求证在上存在一条曲线，该曲线在处的切线恰好为.
证明二次曲面在点处的切平面方程为
求证曲面在任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为.
设函数可微，试证曲面的所有切平面相交于一个公共点.
已知函数可微，证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点，并求出此点的位置.
设曲面和的方程分别为，其中和是可微函数，试证与垂直的充分必要条件是对交线上的任一点，均有
10.设向量值函数满足，试证是常向量.
11.证明曲线在中的一张平面上，并求曲线所在的平面方程.
习题
1,证明是常向量的充要条件是。
2,设(0是常数，a0是常向量，证明
(1) (2)
(3) (4)
3,下列等式成立吗？为什么？
(1) ；
(2) ；
(3)
4,设向量函数a(t)满足，证明a(t)是常向量。
5,证明为共面向量函数。
6,证明：,为共面向量函数的充要条件是。
7,试证明
与
是同一条曲线的两种不同的表示式。
8,求曲线在t=0处的切线方程。
9,求曲线在任意点处的法平面方程。
10,求下列曲线的切线和法平面议程：
(1) r=(acost,asint,bt),t=0；
(2) r=(t,t2,t3),t=1；
(3)
11,求下列曲线的副法线和密切平面方程
(1) r=(acost,bsint,e(),t=0；
(2) r=(acost+bsint,asint+bcost,csin2t),
12,求曲线r=(t,t2,t3)在t=1处的主法线和从切平面方程。
13,证明球面曲线的法平面通过球心。
14,计算圆锥螺线的弧长公式（从0到t）。
15,求下列平面曲线的弧长公式及弧长。
(1) 曲线由直角坐标中显示表示；
(2) 曲线由极坐标方程表示(＝( (()，对数螺线。
16,将方程r=(acost,asint,bt)（圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。
17,求曲线r=(tsint,tcost,te()在t=0处的弗雷耐标架。
18,在下列曲线的曲率k和挠率(：
(1) r=(acht,asht,at)；
(2) r=(t－sint,1－cost,t)；
(3) r=(tcost,tsint,at)（圆锥曲线）；
(4) r=(t,t2,t3)。
19,证明曲线是平面曲线。
20,证明曲线r=(1+3t+2t2,2－2t+5t2,1－t2)是平面曲线。
21,证明：
(1) T(·N(＝0； (2) B(·N(＝0
22,已知曲线r = r (s)，证明：
(1) r(·r(＝0； (2) ；
(3) (4) ；
(5)
23,证明
(1)（T，B，B(）＝(； (2)
(3)
24,试证明曲线r=r(t)在一般参数下的弗雷耐公式为
其中。
25,已知曲线C：r=r(s)，证明：若曲线C的
(1) 所有切线通过定点，则C是直线；
(2) 所有切线相互平行，则C是直线；
(3) 所有主法线通过定点，则C是圆；
(4) 所有切线平行于同一平面，则C是平面曲线。
26,计算下列颊曲线的曲率k:
(1) 椭圆r=(acost,bsint),0 ( t ( 2 (；
(2) 抛物线y=x2；
(3) 星形线r=(acos3t,asin3t)
27,求下列曲线的包络：
(1) y=(x－c)2
(2) 爷角为a的弹道曲线，其中g是重力加速度，v0为初速，a为参数。
28,设半径为r的动圆中心位于椭圆r(acos(,bsin()上，求动圆的包络。
29,设(=ck,c为常数，写出此曲线的参数方程。
30,已给r=r(r)的单位副法线向量为，求它的单位切向量T和单位主法线向量N。证明曲线是一般螺线，并求它的曲率和挠率的比值。
31,证明曲线r(t)=(3t,3t2,2t3)是一般螺线。
32,证明下列曲线是球面曲线。
(1) r=(asin2t,asintcost,acost)；
(2) r=(－cos2(,－2cos(,sin2()
33,证明：当且仅当球面曲线是圆周时，其曲率不变。
34,试证明：在平面场合，曲线C：r = ( x ( t ),y ( t ) )的渐缩线的参数方程为
35*,在平面场合，求下列曲线的渐缩线：
（1）势物线y2=2px；（2）椭圆r=(acost,bsint)
补充题
1,证明：曲线r (x (t),y (t),z (t) )为平面曲线的充要条件是。
2,设D是半径为r的球面，而C是一条空间曲线，方程为r = r (s)（s为弧长参数），证明：
(1) 若曲线的所有的法平面与D相切，则
(2) 若曲线的所有密切平面与D相切，则r(s)或为平面曲线或满足方程
3,秩，求C的切线与法平面。
4,已知曲线r=r(s)的曲率k和挠率(，试寻求向量函数((s)，使下式成立：
5,证明曲线：
在t=0处的曲率和挠率分别为k0和(0，而且T(0),N(0),B(0)分别重合于x,y,z轴。
6,证明曲线：
是一般螺线。
7,凤曲线：是一般螺线，求出a,b之间的关系，并求出对应的固定向量u。
8,证明下列条件之一是曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件：
(1) (2)
9,已知曲线C,r = (acos (t,asin (t,b (t)，设点P(C，沿P的主法线N的方向取单位长的点Q，求Q点形成的曲线的方程。
部分习题和补充题答案习题：
3,(1) (3)成立；(2)不成立。
5,
8,x-1=y-z-1
9,yx-xy+yz=xy
10,(1) ay+bz=0；
(2) ；
(3) ，
其中A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)=0
11,(1)
(2)
12,
14,
15,(1)
(2)
16,r=(acos(s,asin(s,bs),
17,
18,(1) k = ( = 1/sach2t
(2)
(3)
(4)
19,
20,
26,(1) (2)
(3)1/3asintcost； (4)a/(a2+s2)
27,(1)y=0,;
(2)
28,，
其中
29, (28,29答案一样)
30,(1)
35,(1)
(2)
补充题
3,
6,b=0；a任意。
9,rQ=((a-1)cos(t，(a-1)sin(t,b(t
习题11.4
求下列曲线在指定点的切线与法平面
（1），在处，
（2），在处，
（3），在点.
求下列曲面在指定点的法线与切平面
（1），在点，
（2），在点，
（3），在点，
（4），在点，
（5），在处.
按要求求下列曲面的切平面曲面的与平面平行的切平面，
曲面的与直线垂直的切平面，
双曲抛物面在时的切平面.
已知函数可微，若为曲面在点处的切平面，为上任意一条过的直线，求证在上存在一条曲线，该曲线在处的切线恰好为.
证明二次曲面在点处的切平面方程为
求证曲面在任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为.
设函数可微，试证曲面的所有切平面相交于一个公共点.
已知函数可微，证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点，并求出此点的位置.
设曲面和的方程分别为，其中和是可微函数，试证与垂直的充分必要条件是对交线上的任一点，均有
10.设向量值函数满足，试证是常向量.
11.证明曲线在中的一张平面上，并求曲线所在的平面方程.
