第二章 极限论
第二讲 极限 (二)
阅读,第二章2.3 pp.40—43,
预习,第二章2.4 pp.44—50,
练习 pp43--44 习题 2.3,1至 8; 10; 12,(2),(4),(6),(8),(9),(12),(14).
作业 pp43--44 习题 2.3,9; 11; 12,(1),(3),(5),(7),(10),(11),(13),(15).
班 级
助教姓名
助教住址
助教电话
1
自21—自24
张 靖
22--412
62776299
2
自25—自27,医学23
陈 明
11--115
62776447
3
环21—23; 建环2
张李军
20--309
62775074
4
文2,新闻2,医学21--22
王 强
26--413
62774406
13041196633(手机)
2-3 无穷小及其阶
2-3-1 无穷小和无穷大的定义
无穷小的定义,当时，极限为零的函数称为无穷小量,
简称无穷小,记作：.
例3.10,当时,等都是无穷小
,当时, 等都是无穷小.
当时, 等都是无穷小.
当时, 等都是无穷小.
无穷大的直观定义,当时,绝对值无限变大的函数,称为无穷大量,简称无穷大.记或：.
精确定义：,,,.
称为时的无穷大量,简称为无穷大
同样可定义正、负无穷大量,简称负无穷大。
例,当时, 等都是正无穷大;
当时, 是正无穷大, 是负无穷大等.
2-3-2 无穷小的性质,
设时,都是无穷小,则
为常数),
是时的无穷小,记成：

设时,都是无穷大,则在时
也是无穷大; 如果,则也是无穷大.
设时,是无穷大,则时是无穷小.
=
设时,是无穷小,是有界变量,则时,
是无穷小,
即，
例,当时,都是无穷小量,
但是当时有 
例 当时,,都是无穷大量,
但是两者之差
.
2-3-3 无穷小比较、无穷小的阶
定义:假设在中和都是无穷小量.
如果,则称在中
和是同阶无穷小量,记作.
如果,则称在中
和是等价无穷小量,记作(
如果,则称在中
是的高阶无穷小量,记作.
例１,当时,都是无穷小,因为
,以及,
所以,当时, ((.
例2,当时,


所以,当时, ((.
例3 设为实数,容易验证,
= =
所以,当时,;,
定理：无穷小替换法则：若,,
若存在,则 
定理：在时在中,若和是无穷小量，则
~  
~  。
定义,若在时，,,则称
是时的k阶无穷小量.。
(1) (;
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) (。
以上 都是一阶无穷小，
而是二阶无穷小.
例十一,求极限
解:

例十二,求极限
解,=
==
因有时,(,(
 ((,(.
以上做法对不对？
=
== 0 (?)
例十三,求极限=?
解：==0
===
===
=
=
==
关于无穷小的运算:
当,则
当A为非零常数时，

当,则