空间曲线的基本知识
第九讲 向量函数的微分与积分课后作业,
阅读：第三章 第一节向量函数的导数与积分pp,81---85
预习：第三章 第二节 曲线的弧长 pp.85---87
第三节 向量函数的导数与积分 pp.87---94
作业,
1,证明是常向量的充要条件是。
2,证明
4,设向量函数满足，证明是常向量。
5,证明为共面向量函数。
6,证明：,为共面向量函数的充要条件是。
7,试证明
与
是同一条曲线的两种不同的表示式。
第一节 向量函数的微分与积分本章将介绍微分几何中一些初等的内容，主要是研究三维空间中曲线、曲面的一点附近的性质和某些整体性质。具体是三维空间中的曲线在一点处的切线、法平面、密切平面、副法线、从切平面、主法线的方程；曲线上的活动标架（Frenet标架）；曲线的曲率和挠率的计算以及某些特殊的平面曲线和空间曲线。
3-1向量函数及其分析运算
3.1.1 向量函数首先,考虑向量函数,的一些分析性质如极限、连续、微分、积分等。
如果令,通常称为点的向径，也称为点的位置向量。 则的图形是从变到
时，点的轨迹，当
时，点的轨迹是中的一条连续的空间曲线 (（如右图所示）。
当不随t变化而分别为常数时，则称为常向量，表示中的一个点。
例如，在空间直角坐标系Oxyz中，向量函数：
，
是通过点、方向向量为的一条直线；
又如
是一条圆柱螺线，它是点P（起始位置为，距z轴始终为）以等角速度绕z轴旋转，以等速度沿z轴方向移动的轨迹。
在平面直角坐标系Oxy中，向量函数
表示一条颊曲线，例如,
,表示以原点为中心，以为半径的圆；,表示一个椭圆。
,表示的曲线叫阿基米德螺线，其极坐标方程为
。
3.1.2 向量函数的分析性考虑向量函数, 的极限、连续可和微性性质。
(1) 极限：定义,等价于
恒有。
其中 。
向量函数极限运算的下列性质：
若,,,都存在,则
(1)
(2)
(3)
(4)
其中是数值函数
(2) 连续,若向量函数r(t)在B(t0,()有定义，且
则称在 处连续。
显然，在 处连续的充要条件是它的分量x(t)、y(t)、z(t)在t0连续。
同样由性质(1)-(4)可知，若数值函数((t)和向量函数、,在t0连续，则、、、均在t0连续。
若向量函数在某个区间上每点都连续，则称在该区间上连续。
(3) 导数与微分,
向量函数在点处的微分为
向量函数在点处的导数：
，
导向量的几何意义：
设向量函数(2-1)在上可微，它对应的连续曲线为C（如上图）。对应曲线C上两个点，它们决定一个向量，即
,
当时，与同向：当时，与反向。因此，当时，的极限为非零向量时，它是由线C在点t0处的切线向量，其正方向指向t增加的方向.
如果，则称t0点曲线C的正则点；
否则称t0点为奇点；
当曲线C上的点都是正则点时，就称C为正则曲线；
当在[a,b]上处处有不等于零的连续导函数时，曲线C称为光滑曲线。
是曲线C在点t0处切线存在的充分条件，但非必要条件，例如 是半三次抛物线的参数方程，在t=0处（即在原点O处），,
故原点是曲线的奇点，但曲线在原点有切线y=z=0。
向量函数具有下列求导法则：
(1) ；
(2) ；
(3) ,特别；
(4) ；
(5) ；
(6) 对复合向量函数有。
例如：
向量函数的高阶导函数：
向量函数的导数称为的二阶导数，记作，更高阶的导数依此类推，我们有
。
若向量函数的n阶导函数连续，则称是Cn类的向量函数，记作。
向量函数的充要条件是它的每一个分量。
为了能讨论图形的更多的几何性质，以后在讨论向量函数时，都假定在所需要的阶数内是可微的，不再作单独说明。
(4) 向量函数的Taylor公式：
设向量函数则其中三个数值函数在点处可展成(n-1)阶泰勒公式，得
,
,
,
其中(1,(2,(3,是三个在t与t+(t之间的值，t看成固定值，以上三式等价于下面量函数的式子：
其中。
上式称为向量函数在点t((a,b)处的n-1阶泰勒公式。注意其中一般不能写成,,的形式，因为中三个分量分别取值于(1,(2,(3，而它们一般是不相等的，这和数量函数的泰勒公式不同。
由于都是t的连续函数，而(1,(2,(3又都在t和t+(t之间，所以
=,
是穷小向量，即
因而Taylor公式还可以写成
3.1.3 向量函数的积分
(1)原函数与不定积分：若向量函数在区间[a,b]上连续，且有向量函数,使得,则称是区间[a,b]上的一个原向量函数,简称原函数。 称向量函数簇 为的不定积分。
同数值函数类似，若是的一个原函数，则的任何原函数与只差一常向量C,的全体原函数记成
.
下列不定积分的运算法则成立，请自行证明。
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
其中是常数，是常向量。
(2) 定积分：同样我们可以定义向量函数在区间[a,b]上的定积分：
。
设是的一个原函数，我们有牛顿一莱布尼兹公式
。
3.1.4 三个特殊的向量函数下面介绍三个特殊的向量函数（或特殊的空间曲线），一方面为后面的内容作必要的准备，另一方面也给读者指出一种方法，也就是利用向量函数及其导数所满足的代数关系，来判别、研究向量函数r(t)所具备的几何性质。
(1),定长向量函数若常数，则称为定长向量函数。
由常数，将等式两边对t求导，即得
为定长向量函数的充要条件:
,
即。
定长向量函数的图形是一条位于以原点为中心的一个球面上的曲线。上式表明，曲线在该球面上的充要条件是，它在每点处的切向量与该点的向径向量垂直。
(2),定向向量函数与一固定方向平行的非零向量函数称为定向向量函数，
即
其中：是一固定方向所对应的单位向量，是一个数值函数，显然，。
为定向向量函数的充要条件是
。
即必要性是显然的，证充分性：若(其中为单位向量），且,即
则，，即；又因为单位向量，所以，即，因此，即为常向量。
(3),与固定向量垂直的向量函数与一非零常向量a垂直的非零向量函数r(t)称为与一定向垂直（或平行于固定平面）的向量函数。
向量函数与一定向垂直的充要条件是混合积：
。
事实上，若为常向量（不妨取）且，则，即垂直于同一个常向量，因而共面，其混合积为零。
反之，若，即线性相关。不妨设与线性无关，即(否则，为定向向量函数，从而它与一定向垂直），于是可用,线性表示，即存在(，((R，使得
.
记,则,可断言:为定向向量函数.
事实上，
所以，是与定向垂直的向量函数。
即是空间的平面曲线的充要条件是
第九讲 向量函数的微分与积分课后作业,
阅读：第三章 第一节向量函数的导数与积分pp,81---85
预习：第三章 第二节 曲线的弧长 pp.85---87
第三节 向量函数的导数与积分 pp.87---94
作业,
1,证明是常向量的充要条件是。
2,证明
4,设向量函数满足，证明是常向量。
5,证明为共面向量函数。
6,证明：,为共面向量函数的充要条件是。
7,试证明
与
是同一条曲线的两种不同的表示式。
第一节 向量函数的微分与积分本章将介绍微分几何中一些初等的内容，主要是研究三维空间中曲线、曲面的一点附近的性质和某些整体性质。具体是三维空间中的曲线在一点处的切线、法平面、密切平面、副法线、从切平面、主法线的方程；曲线上的活动标架（Frenet标架）；曲线的曲率和挠率的计算以及某些特殊的平面曲线和空间曲线。
3-1向量函数及其分析运算
3.1.1 向量函数首先,考虑向量函数,的一些分析性质如极限、连续、微分、积分等。
如果令,通常称为点的向径，也称为点的位置向量。 则的图形是从变到
时，点的轨迹，当
时，点的轨迹是中的一条连续的空间曲线 (（如右图所示）。
当不随t变化而分别为常数时，则称为常向量，表示中的一个点。
例如，在空间直角坐标系Oxyz中，向量函数：
，
是通过点、方向向量为的一条直线；
又如
是一条圆柱螺线，它是点P（起始位置为，距z轴始终为）以等角速度绕z轴旋转，以等速度沿z轴方向移动的轨迹。
在平面直角坐标系Oxy中，向量函数
表示一条颊曲线，例如,
,表示以原点为中心，以为半径的圆；,表示一个椭圆。
,表示的曲线叫阿基米德螺线，其极坐标方程为
。
3.1.2 向量函数的分析性考虑向量函数, 的极限、连续可和微性性质。
(1) 极限：定义,等价于
恒有。
其中 。
向量函数极限运算的下列性质：
若,,,都存在,则
(1)
(2)
(3)
(4)
其中是数值函数
(2) 连续,若向量函数r(t)在B(t0,()有定义，且
则称在 处连续。
显然，在 处连续的充要条件是它的分量x(t)、y(t)、z(t)在t0连续。
同样由性质(1)-(4)可知，若数值函数((t)和向量函数、,在t0连续，则、、、均在t0连续。
若向量函数在某个区间上每点都连续，则称在该区间上连续。
(3) 导数与微分,
向量函数在点处的微分为
向量函数在点处的导数：
，
导向量的几何意义：
设向量函数(2-1)在上可微，它对应的连续曲线为C（如上图）。对应曲线C上两个点，它们决定一个向量，即
,
当时，与同向：当时，与反向。因此，当时，的极限为非零向量时，它是由线C在点t0处的切线向量，其正方向指向t增加的方向.
如果，则称t0点曲线C的正则点；
否则称t0点为奇点；
当曲线C上的点都是正则点时，就称C为正则曲线；
当在[a,b]上处处有不等于零的连续导函数时，曲线C称为光滑曲线。
是曲线C在点t0处切线存在的充分条件，但非必要条件，例如 是半三次抛物线的参数方程，在t=0处（即在原点O处），,
故原点是曲线的奇点，但曲线在原点有切线y=z=0。
向量函数具有下列求导法则：
(1) ；
(2) ；
(3) ,特别；
(4) ；
(5) ；
(6) 对复合向量函数有。
例如：
向量函数的高阶导函数：
向量函数的导数称为的二阶导数，记作，更高阶的导数依此类推，我们有
。
若向量函数的n阶导函数连续，则称是Cn类的向量函数，记作。
向量函数的充要条件是它的每一个分量。
为了能讨论图形的更多的几何性质，以后在讨论向量函数时，都假定在所需要的阶数内是可微的，不再作单独说明。
(4) 向量函数的Taylor公式：
设向量函数则其中三个数值函数在点处可展成(n-1)阶泰勒公式，得
,
,
,
其中(1,(2,(3,是三个在t与t+(t之间的值，t看成固定值，以上三式等价于下面量函数的式子：
其中。
上式称为向量函数在点t((a,b)处的n-1阶泰勒公式。注意其中一般不能写成,,的形式，因为中三个分量分别取值于(1,(2,(3，而它们一般是不相等的，这和数量函数的泰勒公式不同。
由于都是t的连续函数，而(1,(2,(3又都在t和t+(t之间，所以
=,
是穷小向量，即
因而Taylor公式还可以写成
3.1.3 向量函数的积分
(1)原函数与不定积分：若向量函数在区间[a,b]上连续，且有向量函数,使得,则称是区间[a,b]上的一个原向量函数,简称原函数。 称向量函数簇 为的不定积分。
同数值函数类似，若是的一个原函数，则的任何原函数与只差一常向量C,的全体原函数记成
.
下列不定积分的运算法则成立，请自行证明。
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
其中是常数，是常向量。
(2) 定积分：同样我们可以定义向量函数在区间[a,b]上的定积分：
。
设是的一个原函数，我们有牛顿一莱布尼兹公式
。
3.1.4 三个特殊的向量函数下面介绍三个特殊的向量函数（或特殊的空间曲线），一方面为后面的内容作必要的准备，另一方面也给读者指出一种方法，也就是利用向量函数及其导数所满足的代数关系，来判别、研究向量函数r(t)所具备的几何性质。
(1),定长向量函数若常数，则称为定长向量函数。
由常数，将等式两边对t求导，即得
为定长向量函数的充要条件:
,
即。
定长向量函数的图形是一条位于以原点为中心的一个球面上的曲线。上式表明，曲线在该球面上的充要条件是，它在每点处的切向量与该点的向径向量垂直。
(2),定向向量函数与一固定方向平行的非零向量函数称为定向向量函数，
即
其中：是一固定方向所对应的单位向量，是一个数值函数，显然，。
为定向向量函数的充要条件是
。
即必要性是显然的，证充分性：若(其中为单位向量），且,即
则，，即；又因为单位向量，所以，即，因此，即为常向量。
(3),与固定向量垂直的向量函数与一非零常向量a垂直的非零向量函数r(t)称为与一定向垂直（或平行于固定平面）的向量函数。
向量函数与一定向垂直的充要条件是混合积：
。
事实上，若为常向量（不妨取）且，则，即垂直于同一个常向量，因而共面，其混合积为零。
反之，若，即线性相关。不妨设与线性无关，即(否则，为定向向量函数，从而它与一定向垂直），于是可用,线性表示，即存在(，((R，使得
.
记,则,可断言:为定向向量函数.
事实上，
所以，是与定向垂直的向量函数。
即是空间的平面曲线的充要条件是
