第三讲 函数的连续性
( The Continuity of function )
阅读,第二章2.4 pp.44—50,
预习,第三章3.1 pp.51—58,
练习 pp49--50 习题 2.4,1至 8; 9,(1),(2),(3); 10,(1),(3); 14; 15.
作业 pp49--50 习题 2.4,9,(4); 10,(2); 11; 12; 13.
2-4 函数连续的定义及其性质
2-4-1 函数连续性的定义定义：
函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，我们对函数连续性有三种描述：
其一，当自变量有微小变化时,其函数的变化也是微小的；
其二,自变量的微小变化不会引起因变量跳跃；
其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断.
以上只是连续性的直观理解,实质上是相意的反复,在数学上要确切地刻画函数连续性概念,必须用极限作定量地描述:
定义1,设函数在的某邻域中有定义,若,
则称函数在点连续,称为是的一个连续点;
否则就称在点间断,称为是的一个间断点.
注一,函数f在点x0连续蕴含以下三个条件，缺一不可:
(1) f在x0的某邻域有定义;
(2) f在点x0的极限存在;
极限值等于函数值。
以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。
注二：函数f在点x0连续意味着极限运算与函数运算可交换，即
定义2,设函数f在有定义,且,则称函数f
在点x0左连续;
设函数f在有定义,且,则称函数f
在点x0右连续.
定义3,如果函数在开区间中每一个点都连续,则称在
连续,记作;
如果函数在连续,并且在点右连续、在点左连续,
称在闭区间上连续,记作.
间断点分类：
根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类,
1 可去间断点,
若存在，但不等于,称是的可去间断点。
可去间断点是非本质上的间断，我们可改变的定义,令
,这样就变成重新定义后的函数的连续点.
例如在点没定义,但,因此是的可去间断点.如果令,则是的连续点.
第一类间断点,
如果与都存在但不相等,则称是的第一类间断点,此时，的函数值在发生跳跃,跃度等于(即).
例如符号函数,在点发生第一类间断;取整函数在每个整数点发生第一类间断.
第二类间断点,
如果两个单侧极限与中至少有一个不存在,则称是的第二类间断点.
例如点是函数和的第二类间断点.
2-4-2 函数连续性的基本性质连续性定义的等价形式：
若函数f在x0某邻域有定义，则以下命题是等价的：
(A) 函数f在x0连续 ;
(B) ;
(C) 函数f在x0既右连续,又左连续 ;
(D) 其中,
连续函数的有界性：
若函数f在x0连续,则f在x0的某邻域中有界，简称f在x0点有界。
单调函数的连续性：
若函数是单调函数，若不连续，则只能有第一类间断点。(用到单调有界必有极限)
设函数是单调 (减) 的函数，若函数的值域充满区间 ( ),则f是上的连续函数。
(4) 关于反函数的连续性：
定理,(反函数的连续性) 假定函数在连续,单调增加(或单调减少),则的值域是区间(或者),并且反函数在区间连续.
证明,(1) 反函数的存在是易证的,
且亦是单调函数。
(2) 今证连续性：由f的连续性可知，取区间
所有值，加上是单调
函数,根据单调函数连续性质，可得:
在区间上连续。
证明要用到连续函数的介值定理。
(5) 连续函数的运算性质：
(A) 设函数f,g在点x0都连续,则对于任意常数,函数也在点连续.
两个函数的乘积在点连续;
如果,商也在点连续.
若在连续,在连续,且,则复合函数 (注:) 在点连续.
以上各结论可以由关于极限的运算法则推出.
2-4-3 初等函数的连续性
重要结论是：所有初等函数在其定义区间内都是连续的。
(1) 基本初等函数的连续性：
由连续定义可验证基本初等函数：常数函数C,以及,, 的连续性;
例：的连续性问题，即欲证:
用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数:
=,,,,
的连续性;
用连续函数四则运算性质证明基本初等函数,
的连续性;
(2)初等函数的连续性：
最后运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在
其定义区间内处处连续,
研究初等函数的连续性.
(3)非初等函数及其连续性问题：
,等是否是初等函数？
2-4-4 在闭区间上连续函数的整体性质
(1) 有界性和取最值定理
定理1,设,则在有界.
定理2,设,则存在,使得
;
.
例1,设,不恒等于零,.求证下列两个结论至少有一个成立.
存在,使得
;
存在,使得
.
证明,假定存在使得,需证：
存在,使得.
,:
,的最大值点在。
在有界闭区间上连续存在,使得
.
即,是在的正最大值.
假定存在使得,类似可证明存在,
使得.
定理3 (零点定理) 设且,则存在
,使.
推论:(中值定理) 设,且,则对介于
之的每个实数,都存在,
使得.
证明：只要设，再利用以上定理即可。
例2:设,.求证:
若为奇数,则方程在至少有一个零点.
若为偶数,且存在使得,则在至少有两个零点.
证明:
设为奇数,则当时,,
当时,.
于是存在实数,使得当时,恒有;
当时,恒有.
任取,则有,
在区间由零点定理可知,存在,使得
.
(2)设为偶数,则和时,都有.
于是存在,
当和时,都有,。
今取,则由零点定理推出在区间和,分别存在和,
使得 ,.
例4,过饼上任一点，总能将它切成两等分吗？
( The Continuity of function )
阅读,第二章2.4 pp.44—50,
预习,第三章3.1 pp.51—58,
练习 pp49--50 习题 2.4,1至 8; 9,(1),(2),(3); 10,(1),(3); 14; 15.
作业 pp49--50 习题 2.4,9,(4); 10,(2); 11; 12; 13.
2-4 函数连续的定义及其性质
2-4-1 函数连续性的定义定义：
函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，我们对函数连续性有三种描述：
其一，当自变量有微小变化时,其函数的变化也是微小的；
其二,自变量的微小变化不会引起因变量跳跃；
其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断.
以上只是连续性的直观理解,实质上是相意的反复,在数学上要确切地刻画函数连续性概念,必须用极限作定量地描述:
定义1,设函数在的某邻域中有定义,若,
则称函数在点连续,称为是的一个连续点;
否则就称在点间断,称为是的一个间断点.
注一,函数f在点x0连续蕴含以下三个条件，缺一不可:
(1) f在x0的某邻域有定义;
(2) f在点x0的极限存在;
极限值等于函数值。
以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。
注二：函数f在点x0连续意味着极限运算与函数运算可交换，即
定义2,设函数f在有定义,且,则称函数f
在点x0左连续;
设函数f在有定义,且,则称函数f
在点x0右连续.
定义3,如果函数在开区间中每一个点都连续,则称在
连续,记作;
如果函数在连续,并且在点右连续、在点左连续,
称在闭区间上连续,记作.
间断点分类：
根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类,
1 可去间断点,
若存在，但不等于,称是的可去间断点。
可去间断点是非本质上的间断，我们可改变的定义,令
,这样就变成重新定义后的函数的连续点.
例如在点没定义,但,因此是的可去间断点.如果令,则是的连续点.
第一类间断点,
如果与都存在但不相等,则称是的第一类间断点,此时，的函数值在发生跳跃,跃度等于(即).
例如符号函数,在点发生第一类间断;取整函数在每个整数点发生第一类间断.
第二类间断点,
如果两个单侧极限与中至少有一个不存在,则称是的第二类间断点.
例如点是函数和的第二类间断点.
2-4-2 函数连续性的基本性质连续性定义的等价形式：
若函数f在x0某邻域有定义，则以下命题是等价的：
(A) 函数f在x0连续 ;
(B) ;
(C) 函数f在x0既右连续,又左连续 ;
(D) 其中,
连续函数的有界性：
若函数f在x0连续,则f在x0的某邻域中有界，简称f在x0点有界。
单调函数的连续性：
若函数是单调函数，若不连续，则只能有第一类间断点。(用到单调有界必有极限)
设函数是单调 (减) 的函数，若函数的值域充满区间 ( ),则f是上的连续函数。
(4) 关于反函数的连续性：
定理,(反函数的连续性) 假定函数在连续,单调增加(或单调减少),则的值域是区间(或者),并且反函数在区间连续.
证明,(1) 反函数的存在是易证的,
且亦是单调函数。
(2) 今证连续性：由f的连续性可知，取区间
所有值，加上是单调
函数,根据单调函数连续性质，可得:
在区间上连续。
证明要用到连续函数的介值定理。
(5) 连续函数的运算性质：
(A) 设函数f,g在点x0都连续,则对于任意常数,函数也在点连续.
两个函数的乘积在点连续;
如果,商也在点连续.
若在连续,在连续,且,则复合函数 (注:) 在点连续.
以上各结论可以由关于极限的运算法则推出.
2-4-3 初等函数的连续性
重要结论是：所有初等函数在其定义区间内都是连续的。
(1) 基本初等函数的连续性：
由连续定义可验证基本初等函数：常数函数C,以及,, 的连续性;
例：的连续性问题，即欲证:
用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数:
=,,,,
的连续性;
用连续函数四则运算性质证明基本初等函数,
的连续性;
(2)初等函数的连续性：
最后运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在
其定义区间内处处连续,
研究初等函数的连续性.
(3)非初等函数及其连续性问题：
,等是否是初等函数？
2-4-4 在闭区间上连续函数的整体性质
(1) 有界性和取最值定理
定理1,设,则在有界.
定理2,设,则存在,使得
;
.
例1,设,不恒等于零,.求证下列两个结论至少有一个成立.
存在,使得
;
存在,使得
.
证明,假定存在使得,需证：
存在,使得.
,:
,的最大值点在。
在有界闭区间上连续存在,使得
.
即,是在的正最大值.
假定存在使得,类似可证明存在,
使得.
定理3 (零点定理) 设且,则存在
,使.
推论:(中值定理) 设,且,则对介于
之的每个实数,都存在,
使得.
证明：只要设，再利用以上定理即可。
例2:设,.求证:
若为奇数,则方程在至少有一个零点.
若为偶数,且存在使得,则在至少有两个零点.
证明:
设为奇数,则当时,,
当时,.
于是存在实数,使得当时,恒有;
当时,恒有.
任取,则有,
在区间由零点定理可知,存在,使得
.
(2)设为偶数,则和时,都有.
于是存在,
当和时,都有,。
今取,则由零点定理推出在区间和,分别存在和,
使得 ,.
例4,过饼上任一点，总能将它切成两等分吗？
