第十讲 函数图形及极值问题阅读,第4章4.3,pp.96—111,
预习,第4章4.4,pp.113—121
练习 pp111--113 习题 4.3,1至3; 4,(1),(3); 5,(1),(2); 8,(1),(3);
9,(1); 10; 13,(1),(3); 14,(1); 15,(1); 16; 17; 20,(1),
作业 pp111--113 习题 4.3,4,(2),(4); 5,(1),(2); 6; 7; 8,(2),(4);
9,(2),(3); 11; 12; ; 13,(2),(4); 14,(2); 15,(2),(3); 18; 20,(2),(4).
机考安排：
1,地点：学校开放实验室，(主楼地下室);
2,时间：第九周星期六下午。
3,各班时间安排：
14:00----15:00,13:40入场,
班级,自21-----自26 共六个班
15:30----16:30,15:10入场,
班级,自27,环21—23,建环2,文2,新闻2,
医学2,软件2,及其他同学
4,注意事项：
不带书本、纸张入场,场上发草稿纸;
考前分发密码，
在网站：info,Emathc,edu,cn上按密码进入打开试题
班 级
助教姓名
时间
上课地点
1
自21—自22
自23—自24
张 靖
星期三(5)
新水300
2
自25—自26,
自27,医学23
陈 明
星期三(6)
四教4102
3
环21—22;
环23; 建环2
张李军
星期四(5)
四教4305
4
文2,新闻2,
其他班级及重修同学
王 强
星期四(5)
文科楼206
4-3 函数的图形与极值
4-3-1 用导数分析函数图形：增减、凸凹、渐近趋势
(A) 函数单调性研究
定理,设在闭区间连续,在开区间可导,则:
如果也在连续,在可导,且,
则存在常数,是.
(2) 如果有(),则在单调.
(3) 如果有(),则在严格单调.
(4) 如果在单调,则在区间处处有
().
证明,
常数,
即存在常数,使.
,设,存在介于之间的,满足
假定在区间单调非减,,
当时,因为单调非减,所以,因此
.
例1,设在有二阶导数,并且,求证
是一次函数.
证明, 存在常数,使得.
存在使得.
例2,求证当时恒有.
证明,研究函数,我们有
,
当,在单调增.
及, 当时,,
即，当时,恒有 .
例3,求证对于任意,都有.
证明,设,不等式变成：,
(法 一) 设,今要证,,.
今要证,,.
,,
其中,,
(法二) 设,今要证,,.
,
,
其中，,
因.
(方法三) 把不等式变成：,.
设,今要证,,.
>0
因为：
(B) 函数的凸性
在研究函数图形时，仅仅知道其增减性是不够的,还有一个曲线的凸凹问题,
定义 设,如果,不等式
对任意两个满足,的非负实数和成立,则称在区间是下凸或称为凸的; 其几何意义是，曲线任何两点间的弦都在相应曲线之上。
如果
则称在区间上凸的,或称为凹的.
凸函数有如下重要性质：
在区间是下凸的,则,以及满足 的个非负数(称为凸组合),总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合，即
.
证明：利用数学归纳法。
(2) (用一阶导数判定函数的凸性)
设函数在区间连续,在可导,则在区间下凸
的充分必要条件是在区间单调增加.
y
y=f(x)
f(x1) f(x3)
f(x2)
a x1 x2 x3 b x
证：,,
且 ,
令,
.
则 ,
证必要性,f 是凸的
,
f 是凸的
,
,
分别让 和,得:
,
可见导凸函数的导函数是增加的。
证充分性, 利用有限增量公式，
,
(3) (用二阶导数判定函数的凸性)
设函数在区间有二阶导数,则在区间下凸的充分
必要条件是在区间恒有.
证明：利用(2)是显然的。
(4) (用切线位置判定函数的凸性)
设函数在区间连续,在可导,则在区间下凸
的充分必要条件是,
, 成立.
其几何意义是，曲线上任何点处的曲线的切线都在曲线之下。
证明,证必要性,f 是凸的,
,
让 ,即
证充分性,,
, 成立
,,及原的定义:
,
;
=.
定义,如果曲线上一点,在点的两侧有相反的凸性,则称
为曲线的一个拐点.
定理(拐点的必要条件),设函数有二阶导数,如果 点是曲线
的一个拐点,则必有.
y
y=f(x)
Q ((((
(s (y
P dy
(x
x x+(x x
(C) 曲线的曲率,
曲率是曲线弯曲程度的衡量。设曲线为,设曲线
在P点切线与x轴夹角是( ;
在Q点切线与x轴夹角是((((,
则曲线在P点处弯曲程度可用从P点到Q点单位弧长上切线的转角来度量，
即
,
如果这个极限存在，则称之为曲线在P点的曲率。
若函数二阶可导，则曲率很容易计算：
因为 ;
;
从而得到曲率公式：=.
曲率的倒数称为曲率半径：.
容易验证，园的曲率半径就是园的半径：
事实上， ，
=.
(D) 函数曲线的渐近线,
设函数在区间可导。
垂直渐近线：若;
非垂直渐近线:
有非垂直渐近线
定理,,曲线有渐近线的充要条
件是：,且.
若函数在可导且,则
.
注意,光有 则不一定有渐近线。
例1,考察函数,
定义域:.
增减区间,
求驻点,,一个驻点 ;
在区间上，,;
在区间上，,;
,极小点。
凸凹区间：,凸函数因,无渐近线。
例2 考察函数,
(1) 定义域,.
(2) 增减区间：求驻点,,
二个驻点:
,;
在上,,;
在上,,;
在上,,; ,极小点。
(3)凸凹区间：,
在定义域上,凸函数
(4)渐近线:
非垂直渐近线,
k =,
b==
=
=,
渐近线,。
非垂直渐近线,
k =,
b==
=,
渐近线,。
垂直渐近线,因
,则 是垂直渐近线,
4-3-2 一元函数的极值问题
(A) 函数极值的必要条件,
在点处可导，且是极值点,则必是其驻点。
(B) 函数极值的充分条件
对于存在导数的函数来说,驻点是极值的必要条件,
定理:(极值的第一充分条件) 假设函数在的某个邻域中存在一阶导数,并且在点两侧有相反的符号,则是的极值点.更具体地说,有以下结论:
如果在 内有; 在内有,
则在取极小值;
如果在内有;在内有,
则在取极大值.
证明,用导数与单调性关系很容易证明。
定理,(极值的第二充分条件) 假设函数在的某个邻域可
导,且,又设存在.
(1) 如果,则在取极小值;
(2) 如果,则在取极大值.
证明,只证(1)设,
=.
>0,使得在内恒有,
即,,可见在取极小值..
同样的方法可以证明结论(2).
(C) 函数在闭区间上的最大值和最小值
设,若欲求其最大(小)值点，可遵循以下步骤,
先求函数在中的全部极大(小)点,;
例.3 求函数在区间上的最大值与最小值.
解,由 ,即,
得到两个驻点,,.
比较函数值,,
得知,在点 取上的最大值;
在点取上的最小值.
例4求在的最大值和最小值.
解,=0,驻点,比较:
,,
因此,是函数的最小值点,是函数的最大值点.
例5,体积一定，表面积最小的闭封园柱形尺寸怎样确定？
解:
什么函数在什么区间上的极值问题：
设园柱半径为r，高为h，体积一定是V,
封闭柱面积：.
问题是：
求解：
求驻点,
分析：唯一驻、且有最小点，此为所求。
例5,蜂房问题：
问题是,对像蜂房这种正六角柱结构,底面的三个相等的菱形角为多少时，
能使等容积条件下所用材料最省?
设 正六棱柱底的
边长为 2 b,
菱形钭高对角线与六棱柱中心高夹角为,可得蜂房形
P
Q
2bSecx R
x H
T
2 b
可得蜂房形表面积关系,
=
与蜂房等容的无底正六棱柱表面积与蜂房表面积不重合部分为,
P
R
Q
H
2b T
=
;
因此建蜂房比建无底有盖等积六面体减少之面积是,
,
即，
这样,上述问题变为:
利用极限必要条件求出有驻点：
如果设菱形的角度,则有
,
,
,实际测量角度,.
预习,第4章4.4,pp.113—121
练习 pp111--113 习题 4.3,1至3; 4,(1),(3); 5,(1),(2); 8,(1),(3);
9,(1); 10; 13,(1),(3); 14,(1); 15,(1); 16; 17; 20,(1),
作业 pp111--113 习题 4.3,4,(2),(4); 5,(1),(2); 6; 7; 8,(2),(4);
9,(2),(3); 11; 12; ; 13,(2),(4); 14,(2); 15,(2),(3); 18; 20,(2),(4).
机考安排：
1,地点：学校开放实验室，(主楼地下室);
2,时间：第九周星期六下午。
3,各班时间安排：
14:00----15:00,13:40入场,
班级,自21-----自26 共六个班
15:30----16:30,15:10入场,
班级,自27,环21—23,建环2,文2,新闻2,
医学2,软件2,及其他同学
4,注意事项：
不带书本、纸张入场,场上发草稿纸;
考前分发密码，
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班 级
助教姓名
时间
上课地点
1
自21—自22
自23—自24
张 靖
星期三(5)
新水300
2
自25—自26,
自27,医学23
陈 明
星期三(6)
四教4102
3
环21—22;
环23; 建环2
张李军
星期四(5)
四教4305
4
文2,新闻2,
其他班级及重修同学
王 强
星期四(5)
文科楼206
4-3 函数的图形与极值
4-3-1 用导数分析函数图形：增减、凸凹、渐近趋势
(A) 函数单调性研究
定理,设在闭区间连续,在开区间可导,则:
如果也在连续,在可导,且,
则存在常数,是.
(2) 如果有(),则在单调.
(3) 如果有(),则在严格单调.
(4) 如果在单调,则在区间处处有
().
证明,
常数,
即存在常数,使.
,设,存在介于之间的,满足
假定在区间单调非减,,
当时,因为单调非减,所以,因此
.
例1,设在有二阶导数,并且,求证
是一次函数.
证明, 存在常数,使得.
存在使得.
例2,求证当时恒有.
证明,研究函数,我们有
,
当,在单调增.
及, 当时,,
即，当时,恒有 .
例3,求证对于任意,都有.
证明,设,不等式变成：,
(法 一) 设,今要证,,.
今要证,,.
,,
其中,,
(法二) 设,今要证,,.
,
,
其中，,
因.
(方法三) 把不等式变成：,.
设,今要证,,.
>0
因为：
(B) 函数的凸性
在研究函数图形时，仅仅知道其增减性是不够的,还有一个曲线的凸凹问题,
定义 设,如果,不等式
对任意两个满足,的非负实数和成立,则称在区间是下凸或称为凸的; 其几何意义是，曲线任何两点间的弦都在相应曲线之上。
如果
则称在区间上凸的,或称为凹的.
凸函数有如下重要性质：
在区间是下凸的,则,以及满足 的个非负数(称为凸组合),总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合，即
.
证明：利用数学归纳法。
(2) (用一阶导数判定函数的凸性)
设函数在区间连续,在可导,则在区间下凸
的充分必要条件是在区间单调增加.
y
y=f(x)
f(x1) f(x3)
f(x2)
a x1 x2 x3 b x
证：,,
且 ,
令,
.
则 ,
证必要性,f 是凸的
,
f 是凸的
,
,
分别让 和,得:
,
可见导凸函数的导函数是增加的。
证充分性, 利用有限增量公式，
,
(3) (用二阶导数判定函数的凸性)
设函数在区间有二阶导数,则在区间下凸的充分
必要条件是在区间恒有.
证明：利用(2)是显然的。
(4) (用切线位置判定函数的凸性)
设函数在区间连续,在可导,则在区间下凸
的充分必要条件是,
, 成立.
其几何意义是，曲线上任何点处的曲线的切线都在曲线之下。
证明,证必要性,f 是凸的,
,
让 ,即
证充分性,,
, 成立
,,及原的定义:
,
;
=.
定义,如果曲线上一点,在点的两侧有相反的凸性,则称
为曲线的一个拐点.
定理(拐点的必要条件),设函数有二阶导数,如果 点是曲线
的一个拐点,则必有.
y
y=f(x)
Q ((((
(s (y
P dy
(x
x x+(x x
(C) 曲线的曲率,
曲率是曲线弯曲程度的衡量。设曲线为,设曲线
在P点切线与x轴夹角是( ;
在Q点切线与x轴夹角是((((,
则曲线在P点处弯曲程度可用从P点到Q点单位弧长上切线的转角来度量，
即
,
如果这个极限存在，则称之为曲线在P点的曲率。
若函数二阶可导，则曲率很容易计算：
因为 ;
;
从而得到曲率公式：=.
曲率的倒数称为曲率半径：.
容易验证，园的曲率半径就是园的半径：
事实上， ，
=.
(D) 函数曲线的渐近线,
设函数在区间可导。
垂直渐近线：若;
非垂直渐近线:
有非垂直渐近线
定理,,曲线有渐近线的充要条
件是：,且.
若函数在可导且,则
.
注意,光有 则不一定有渐近线。
例1,考察函数,
定义域:.
增减区间,
求驻点,,一个驻点 ;
在区间上，,;
在区间上，,;
,极小点。
凸凹区间：,凸函数因,无渐近线。
例2 考察函数,
(1) 定义域,.
(2) 增减区间：求驻点,,
二个驻点:
,;
在上,,;
在上,,;
在上,,; ,极小点。
(3)凸凹区间：,
在定义域上,凸函数
(4)渐近线:
非垂直渐近线,
k =,
b==
=
=,
渐近线,。
非垂直渐近线,
k =,
b==
=,
渐近线,。
垂直渐近线,因
,则 是垂直渐近线,
4-3-2 一元函数的极值问题
(A) 函数极值的必要条件,
在点处可导，且是极值点,则必是其驻点。
(B) 函数极值的充分条件
对于存在导数的函数来说,驻点是极值的必要条件,
定理:(极值的第一充分条件) 假设函数在的某个邻域中存在一阶导数,并且在点两侧有相反的符号,则是的极值点.更具体地说,有以下结论:
如果在 内有; 在内有,
则在取极小值;
如果在内有;在内有,
则在取极大值.
证明,用导数与单调性关系很容易证明。
定理,(极值的第二充分条件) 假设函数在的某个邻域可
导,且,又设存在.
(1) 如果,则在取极小值;
(2) 如果,则在取极大值.
证明,只证(1)设,
=.
>0,使得在内恒有,
即,,可见在取极小值..
同样的方法可以证明结论(2).
(C) 函数在闭区间上的最大值和最小值
设,若欲求其最大(小)值点，可遵循以下步骤,
先求函数在中的全部极大(小)点,;
例.3 求函数在区间上的最大值与最小值.
解,由 ,即,
得到两个驻点,,.
比较函数值,,
得知,在点 取上的最大值;
在点取上的最小值.
例4求在的最大值和最小值.
解,=0,驻点,比较:
,,
因此,是函数的最小值点,是函数的最大值点.
例5,体积一定，表面积最小的闭封园柱形尺寸怎样确定？
解:
什么函数在什么区间上的极值问题：
设园柱半径为r，高为h，体积一定是V,
封闭柱面积：.
问题是：
求解：
求驻点,
分析：唯一驻、且有最小点，此为所求。
例5,蜂房问题：
问题是,对像蜂房这种正六角柱结构,底面的三个相等的菱形角为多少时，
能使等容积条件下所用材料最省?
设 正六棱柱底的
边长为 2 b,
菱形钭高对角线与六棱柱中心高夹角为,可得蜂房形
P
Q
2bSecx R
x H
T
2 b
可得蜂房形表面积关系,
=
与蜂房等容的无底正六棱柱表面积与蜂房表面积不重合部分为,
P
R
Q
H
2b T
=
;
因此建蜂房比建无底有盖等积六面体减少之面积是,
,
即，
这样,上述问题变为:
利用极限必要条件求出有驻点：
如果设菱形的角度,则有
,
,
,实际测量角度,.
