第三章 重积分
2-4 曲面面积和对曲面的积分
2-4-1 空间曲面的定向与投影
2-4-2 空间曲面积分的定义与计算
第十四讲 曲面面积和对曲面的积分课后作业,
阅读：第四章 第五节 曲面面积和曲面积分 pp.125---134
预习,第六节 含参变量积分 pp.135---141
作业,习题5,pp,134--135,2; 3; 4,(2),(3) ; 5; 6.
4-4 对空间曲面积分
4-4-1 空间曲面的定向与投影
空间曲面的定向：
双侧曲面和单侧曲面,在曲面S其上任一点P，取一法向量,让沿在曲面上的任何曲线移动，当回到原处P时，法向量不会反向的曲面叫双侧曲线；否则称单侧曲面,对于双侧曲面，我们从直观上可以定义法线指向不变的这一侧为正向；而单侧曲面是无法定向的。以下我们只讨论双侧曲面。
空间曲面的微分：
空间曲面S上P点处的面微分是一个向量，其大小是该点处曲面切平面的一块微小面积，而方向平行于该点曲面的法线方向，因此，P点处的面微分是,是空间曲面S上P点处的单位法线方向,由于

其中， 分别是与坐标轴的夹角。这样，

=
这里，,
z
n
S 
y
dxdy
x D(x,y)
如果曲面用 表示：则
=
= 

如果曲面用 表示：则
=
= 

(3) 曲面用 表示;
; 
,
=,
其中，,,.

4-4-2 空间曲面积分的定义与计算
z n
S 
y
dx dy
x D(x,y)
定义：
=
计算：
(1) 曲面用 表示

=
=
(2) 曲面用 表示

=
其中，,,.
举例
z
6
y
6
x
例一：求柱面:

被上半球面:

所截取部分的面积。
z
6 z2 = 36 -6 y
D(y,z)
6 y
S1 和S2 的交线在坐标
面上之投影,

解：
=
=
=
求曲面对坐标面的矩及重心，
=
=
=
=
==
曲面重心：
例二，设S是上半球面,
在锥面
中所围的区域。计算
,设：
则,
=
==
z h
z1 (x,y) n
(
z2 (x,y) n
y
D(x,y)
x
例三，证明液体浮力定理。
证：设在微分曲面上的压力为：

力是向量，只有同方向才有可加性：


=
=
=
例四,设，为的模，设 外侧为正，
 外侧为正。为外侧法矢量，
若,则 ( C )
(A) ； (B)  ； (C) ； (D) .
解,对球心在原点的球面，其法线向量及面微分向量：



例五,曲面积分的取值范围是 ( C ).
(A); (B) ; (C) ; (D) ;
解：解条件极值问题：

驻点有三类：
第一类：：函数值
第二类：,,,函数值
第二类：,,,
函数值。
;
.