第四章 重积分第七节重积分例讲
7-1 二重积分例一，计算二重积分 ,
其中.
解：
y
1
D2
D1
0 1 x

=
=;

==
y
(=Sin(/2
(=Sin(/4
(=Cos(/2
0 x
(=Cos(/4

例二,求二重积分:,
.
解：=
==
=
例三,求二重积分:,其中
,.
解：考虑极坐标系,.
=
==
因为：=
=
==
 =
==
y
A
O1
D1
O x
D2
例四,求二重积分:

解：如图，切点,
小园园心;
;

==;
=
==;
=
=; 
例五，(021) ，其中：。
解：
==
=.
例六,证明；,,
y
a r
证明：




由,得
由此得 
;
即：
例七,若,单调减,设
是在上曲边梯形的重心坐标;
是在上曲边梯形的重心坐标;
证明：
证明,







因：
则，
=
例八，若,证明：
.
证明：
首先有：=
;
再者：有：

令 

,
即
综合在一起有,
另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于正数,则乘积的最大值为,即 
 当时,取最大值，即.
7-2 三重积分例九,求三重积分:
,其中
.
解：由函数与域的对称性；
=
球坐标系,;
柱坐标系,;
直角坐标系,
先对积分,

例十,设,,
是半径为，球心在原点的球面所围成之域，
且,,
证明,,
其中，；是域的体积,。
证,;



;
即,
,
例十一，求半径为密度为常数的球体,
所产生的引力场。
解：


=
=


,
.
在球坐标系下：
,

.
7-3曲面积分例十二,是椭球面的上半部分,点,为在点处之切平面,为原点到平面的距离，求  ()
解：切平面：
.
原点到的距离;
.
例十三，设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程,(设长度单位为厘米，时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9 ) 问高为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
雪堆体积：
=
雪堆表面积：
= =
融化规律：
; 100小时.