第四章 重积分
4-2 二重积分的计算
4-2-1基本思路
4-2-2 二重积分在直角坐标系下的计算
4-2-3 二重积分在极坐标系下的计算
4-2-4 二重积分在一般坐标系下的计算
第十二讲 二重积的计算课后作业,
阅读：第四章 第二节,pp.102---107,、第三节,pp.109---113
预习,第四节 三重积分的计算 pp.114---123
作业,习题2,pp,108--109,1,(3),(5),(6); 2,(2),(3),(4);
3(书上错写成2),(3),(4); 4(书上错写成3),(2),(4);
5(书上错写成4); 7(书上错写成9); 8(书上错写成10);
习题3,pp,113--114,2; 3; 4; 5.
4-2-1基本思路计算重积分(multiple integral)以定义上看是要求积分和式的极限,,显然，这在实际上是不可行的。
实际计算重积分的基本思路是：在重积分存在的前提下，利用特殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线，来对积分域作分划，以此化成做两个相串的定积分，叫做累次积分,
而化累次积分的实质是把重极限化成累次极限来计算。因此，同一个重积分,在不同的坐标系中(例如直角坐标系、极坐标系等)可以化为不同形式的累次积分.
4-2-2 二重积分在直角坐标系下的计算现在来考察二重积分化
为累次积分的过程。我们首先假设二重积分存在，因而在任何分划和任何取法下，极限值相同。
yn y2((I)
y=y2(x)
( yj ((I,(j )
y=y1(x)
y0 y1((I)
x0 x1 (xi xn
现在考虑一种特殊的分划,用两簇坐标线,
,
来来划分积分域,而用联立不等式
=
=
=
==
=
若重极限存在,又有一个累次极限的内层极限，如
存在,
则累次极限存在,且与重极限相同。
以上推导证明，归纳起有如下定理.
定理 设是中的一个有界闭域，函数在上连续，且可用联立不等式
表示，其中，则有
,
称为在上先对后对的累次积分.
证明 由于，存在，在以上的证明中：重极限
* =
等于累次极限
的条件:,存在”成立，
因而定理正确。
* 等式 =
成立有待证明：因为含积分区域边界的那些,并不能用表示,但是，如覆盖边界的那些之和的极限为零，即：
,
前面等式在连续时成立。这个条件可由边界是由有限段逐段光滑曲线构成的条件保证。
在直角坐标系中，面积元
=，
这时可写成
这里的只能作为一个整体记号来理解,代表直角坐标系下的面积元。
同理若积分域可用联立不等式
表示时，在可积条件下，二重积分也可以化为先关于后关于的累次积分，即
对于一般的积分区域，通过适当增加辅助线的方法，将其分成一些小块，而每一小块都至少满足上述一种联立不等式，这样一来利用重积分的对区域可加性就得到了的值
例1计算二重积分，其中
解：=
==.
=
例2计算二重积分，其中
解 由于积分域的联立不等式为
所以
,
显然有：
关于奇、偶函数在对称区域内积分的结论:
若被积函数是关于的奇函数，即有
,
而积分域又关于是对称的,(或者说，分为对称于轴的两部分：)，即有
.
则有 ,或 ;
则有：若被积函数是关于的偶函数，即有
,
而积分域又关于是对称的(或者说，分为对称于轴的两部分：)，即有
.
则有 ,
y
2
y = x
y x = y
0 2 x
或
例3计算二重积分，其中积分域由直线，轴及围成.
解
=
y
1 (1,1)
y = x
0,5 y = x2
0.25
0 0.5 1 x
例4.
解,
=
z
0 a y
a
x
=
例5,半径为的两个圆柱的轴线垂直相交，
试求公共部分的体积.
解 将两个圆柱的轴线分别取作轴和轴，交点取作坐标原点.由对称性可知，所求体积是两圆柱公共部分在第一卦限中的部分的体积的八倍，而正是一个底为
，
顶为 的曲顶柱体，因此的体积是
=
(((
(((2(()
((
(((
D
((
(((1(() (( (
x
0
整个公共部分的体积为
4-2-3 二重积分在极坐标系下的计算
极坐标系下的面积元素,
=
=
=
=
y
D2
-4 -2 D1 2 4
0 x
例6,计算：,
其中：
.
解：+
+
=+
+=
例7,计算：,其中：
解：=
y
l1 d(
l2
v = vj+(v
u= ui v = vj
u = ui+(u
x
==
4-2-4二重积分在一般曲线坐标系下的计算
用两簇曲线
v
v1
du dv
v1+(v
u1 u1+(u u
曲线坐标线在坐标系下
相应的曲线方程：,
它在中相应边向量：
;
类似，曲线坐标线,在
坐标系下相应的曲线方程,,
它在中相应边向量：
,
在曲线坐标系,,
反函数为 下，面积元素:
因此，
=
极坐标系就是一种曲线坐标,,
反函数：
=
.
=
=
=
例8,计算：,其中：由四条曲线：
围成解,做变换 ,
=
=
=
y v
y2=3x
y 2 = x 3
x y =3 1
x y =1 x 1 3 u
=
例8,计算：,其中：
由四条曲线, 围成解：令,
=
=,
其中，,
4-2 二重积分的计算
4-2-1基本思路
4-2-2 二重积分在直角坐标系下的计算
4-2-3 二重积分在极坐标系下的计算
4-2-4 二重积分在一般坐标系下的计算
第十二讲 二重积的计算课后作业,
阅读：第四章 第二节,pp.102---107,、第三节,pp.109---113
预习,第四节 三重积分的计算 pp.114---123
作业,习题2,pp,108--109,1,(3),(5),(6); 2,(2),(3),(4);
3(书上错写成2),(3),(4); 4(书上错写成3),(2),(4);
5(书上错写成4); 7(书上错写成9); 8(书上错写成10);
习题3,pp,113--114,2; 3; 4; 5.
4-2-1基本思路计算重积分(multiple integral)以定义上看是要求积分和式的极限,,显然，这在实际上是不可行的。
实际计算重积分的基本思路是：在重积分存在的前提下，利用特殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线，来对积分域作分划，以此化成做两个相串的定积分，叫做累次积分,
而化累次积分的实质是把重极限化成累次极限来计算。因此，同一个重积分,在不同的坐标系中(例如直角坐标系、极坐标系等)可以化为不同形式的累次积分.
4-2-2 二重积分在直角坐标系下的计算现在来考察二重积分化
为累次积分的过程。我们首先假设二重积分存在，因而在任何分划和任何取法下，极限值相同。
yn y2((I)
y=y2(x)
( yj ((I,(j )
y=y1(x)
y0 y1((I)
x0 x1 (xi xn
现在考虑一种特殊的分划,用两簇坐标线,
,
来来划分积分域,而用联立不等式
=
=
=
==
=
若重极限存在,又有一个累次极限的内层极限，如
存在,
则累次极限存在,且与重极限相同。
以上推导证明，归纳起有如下定理.
定理 设是中的一个有界闭域，函数在上连续，且可用联立不等式
表示，其中，则有
,
称为在上先对后对的累次积分.
证明 由于，存在，在以上的证明中：重极限
* =
等于累次极限
的条件:,存在”成立，
因而定理正确。
* 等式 =
成立有待证明：因为含积分区域边界的那些,并不能用表示,但是，如覆盖边界的那些之和的极限为零，即：
,
前面等式在连续时成立。这个条件可由边界是由有限段逐段光滑曲线构成的条件保证。
在直角坐标系中，面积元
=，
这时可写成
这里的只能作为一个整体记号来理解,代表直角坐标系下的面积元。
同理若积分域可用联立不等式
表示时，在可积条件下，二重积分也可以化为先关于后关于的累次积分，即
对于一般的积分区域，通过适当增加辅助线的方法，将其分成一些小块，而每一小块都至少满足上述一种联立不等式，这样一来利用重积分的对区域可加性就得到了的值
例1计算二重积分，其中
解：=
==.
=
例2计算二重积分，其中
解 由于积分域的联立不等式为
所以
,
显然有：
关于奇、偶函数在对称区域内积分的结论:
若被积函数是关于的奇函数，即有
,
而积分域又关于是对称的,(或者说，分为对称于轴的两部分：)，即有
.
则有 ,或 ;
则有：若被积函数是关于的偶函数，即有
,
而积分域又关于是对称的(或者说，分为对称于轴的两部分：)，即有
.
则有 ,
y
2
y = x
y x = y
0 2 x
或
例3计算二重积分，其中积分域由直线，轴及围成.
解
=
y
1 (1,1)
y = x
0,5 y = x2
0.25
0 0.5 1 x
例4.
解,
=
z
0 a y
a
x
=
例5,半径为的两个圆柱的轴线垂直相交，
试求公共部分的体积.
解 将两个圆柱的轴线分别取作轴和轴，交点取作坐标原点.由对称性可知，所求体积是两圆柱公共部分在第一卦限中的部分的体积的八倍，而正是一个底为
，
顶为 的曲顶柱体，因此的体积是
=
(((
(((2(()
((
(((
D
((
(((1(() (( (
x
0
整个公共部分的体积为
4-2-3 二重积分在极坐标系下的计算
极坐标系下的面积元素,
=
=
=
=
y
D2
-4 -2 D1 2 4
0 x
例6,计算：,
其中：
.
解：+
+
=+
+=
例7,计算：,其中：
解：=
y
l1 d(
l2
v = vj+(v
u= ui v = vj
u = ui+(u
x
==
4-2-4二重积分在一般曲线坐标系下的计算
用两簇曲线
v
v1
du dv
v1+(v
u1 u1+(u u
曲线坐标线在坐标系下
相应的曲线方程：,
它在中相应边向量：
;
类似，曲线坐标线,在
坐标系下相应的曲线方程,,
它在中相应边向量：
,
在曲线坐标系,,
反函数为 下，面积元素:
因此，
=
极坐标系就是一种曲线坐标,,
反函数：
=
.
=
=
=
例8,计算：,其中：由四条曲线：
围成解,做变换 ,
=
=
=
y v
y2=3x
y 2 = x 3
x y =3 1
x y =1 x 1 3 u
=
例8,计算：,其中：
由四条曲线, 围成解：令,
=
=,
其中，,
