第四章 重积分第六节 含参变量的积分
4-6-1 含参积分的概念及性质
4-6-2 广义含参积分
第十五讲 含参变量积分的概念与性质课后作业,
阅读：第四章 第六节,含参变量积分 pp.135---141
预习：第五章 第一节,曲线积分 pp,142---151
作业,
1,计算下列含参变量积分的导数
(1) ;
(2) .
2,设为可微函数,且,求.
3,求椭园积分及 的导函数,并以函数和表示之; 证明满足微分方程
.
4,计算
提示,利用 .
5,设为可微分两次的函数,为可微函数,证明,函数
满足弦振动方程
及初值条件,,.
4-6-1 含参积分的概念
含参积分是函数的又一种常用的表示形式,在理论上和实际上都有重要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它所定义的函数的分析性质，即 连续性、可微性与可积性。
引例 椭园曲线,的弧长为,
=;
令 ,;
虽然积分，在时,不能表成初等形式,但确定了一个的函数,这个积分称为含参变量的积分,其一般定义为含参积分定义 设在矩形域上连续,则对任意的,积分存在,并确定了的一个函数,记作 ,称为含参变量的积分。
注,含参变量积分大多是不能用初等函数表示,因此,含参变量积分是表示非初等函数的一个重要方法。
为方便，记为.
4-6-2函数的一致连续性函数在点连续的定义义是,
,使当时 .
一般说来,的选取不仅与有关,而且与有关。
例 在(0,1)内连续,设,要使
,
即 ,取,则,
,
取 ,
则当时,.
显然,在区间内对任意给定的,没有一个与无关的，使得时,成立。
但 在,内,则当时,只要取,
此时,,当时,对,都成立。
对于上述两种情况,我们称在(0,1)区间上不一致连续,而在区间上一致连续。
定义 设函数在区间上连续,如果,存在只依赖于的,使当且时,均有,则称在上一致连续。
它等价命题是,
定理 有界闭区间上的连续函数一致连续。
有关一致连续的定义和定理可以推广到多元,下面以二元函数为例定义 设在域上连续,如果,,使当,且,时,,均有,则称在域上一致连续。
定理 若在有界闭区域上连续,则它在上一致连续。
4-6-3含参积分的解析性质连续性定理 若在,上连续,
则 在上连续,即 ,均有
,
证明,设,,
由
.
由于在有界闭区域上连续,从而一致连续,因此 对于上述,存在不依赖于的,使得当且时,
,,
于是 ,
故在点连续,本定理得证。
注,上述定理表明,积分对参变量的极限运算与对变量的积分运算的顺序可变换,这个性质也称为积分号下求极限。
可导性定理(1) 设及在有界闭区域,上连续,, .
证明 记 ,则 .
=, .
由于在区域上连续,根据连续性定理,可得
==
这表明,若满足定理的条件,则由含参积分定义的函数在内可微,且对参变量的求导与对x的积分运算可变换顺序,这个性质也称为 积分号下求微商。
可导性定理(2) 设
(i)及在,上连续;
(ii) 在上可微,且时,满足,
。 则
证明 ,记, ,
将上式等号右边的三个积分分别记为,
它们分别在点处的导数是：
.
=,
其中在与之间,由的可微性及的连续性可得 .
同理可得 ,
本定理得证。
上式通常称为莱布尼兹公式,这个公式也可以利用复合函数求导的方法证明,这时将含变量积分看成是与的复合。
可积性定理 设在矩形域,上连续,则
.
证明 取作变量 ,即考虑函数
和
;
=
则,
又由 。
本定理得证。
表示在连续的条件下,其对,对的积分次序可交换,这个性质也称为积分号下求积分。
以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质,下面利用这些性质,计算一些积分。
例1 计算,其中。
解
为确定积分常数，将积分变形：
;
故 ,
最后得 .
例2 设,求
解 ,
利用万能变换,;
=
=
==0;
因为：
又因
例3 计算 , .
解 解法一 由于 ,
故
解法二 将原式中固定,把看成参变量,记
,
则 ,
积分可得 .
因为,所以 ,
.
例4 设=?,=?
;
=;
;
=.
4-6-1 含参积分的概念及性质
4-6-2 广义含参积分
第十五讲 含参变量积分的概念与性质课后作业,
阅读：第四章 第六节,含参变量积分 pp.135---141
预习：第五章 第一节,曲线积分 pp,142---151
作业,
1,计算下列含参变量积分的导数
(1) ;
(2) .
2,设为可微函数,且,求.
3,求椭园积分及 的导函数,并以函数和表示之; 证明满足微分方程
.
4,计算
提示,利用 .
5,设为可微分两次的函数,为可微函数,证明,函数
满足弦振动方程
及初值条件,,.
4-6-1 含参积分的概念
含参积分是函数的又一种常用的表示形式,在理论上和实际上都有重要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它所定义的函数的分析性质，即 连续性、可微性与可积性。
引例 椭园曲线,的弧长为,
=;
令 ,;
虽然积分，在时,不能表成初等形式,但确定了一个的函数,这个积分称为含参变量的积分,其一般定义为含参积分定义 设在矩形域上连续,则对任意的,积分存在,并确定了的一个函数,记作 ,称为含参变量的积分。
注,含参变量积分大多是不能用初等函数表示,因此,含参变量积分是表示非初等函数的一个重要方法。
为方便，记为.
4-6-2函数的一致连续性函数在点连续的定义义是,
,使当时 .
一般说来,的选取不仅与有关,而且与有关。
例 在(0,1)内连续,设,要使
,
即 ,取,则,
,
取 ,
则当时,.
显然,在区间内对任意给定的,没有一个与无关的，使得时,成立。
但 在,内,则当时,只要取,
此时,,当时,对,都成立。
对于上述两种情况,我们称在(0,1)区间上不一致连续,而在区间上一致连续。
定义 设函数在区间上连续,如果,存在只依赖于的,使当且时,均有,则称在上一致连续。
它等价命题是,
定理 有界闭区间上的连续函数一致连续。
有关一致连续的定义和定理可以推广到多元,下面以二元函数为例定义 设在域上连续,如果,,使当,且,时,,均有,则称在域上一致连续。
定理 若在有界闭区域上连续,则它在上一致连续。
4-6-3含参积分的解析性质连续性定理 若在,上连续,
则 在上连续,即 ,均有
,
证明,设,,
由
.
由于在有界闭区域上连续,从而一致连续,因此 对于上述,存在不依赖于的,使得当且时,
,,
于是 ,
故在点连续,本定理得证。
注,上述定理表明,积分对参变量的极限运算与对变量的积分运算的顺序可变换,这个性质也称为积分号下求极限。
可导性定理(1) 设及在有界闭区域,上连续,, .
证明 记 ,则 .
=, .
由于在区域上连续,根据连续性定理,可得
==
这表明,若满足定理的条件,则由含参积分定义的函数在内可微,且对参变量的求导与对x的积分运算可变换顺序,这个性质也称为 积分号下求微商。
可导性定理(2) 设
(i)及在,上连续;
(ii) 在上可微,且时,满足,
。 则
证明 ,记, ,
将上式等号右边的三个积分分别记为,
它们分别在点处的导数是：
.
=,
其中在与之间,由的可微性及的连续性可得 .
同理可得 ,
本定理得证。
上式通常称为莱布尼兹公式,这个公式也可以利用复合函数求导的方法证明,这时将含变量积分看成是与的复合。
可积性定理 设在矩形域,上连续,则
.
证明 取作变量 ,即考虑函数
和
;
=
则,
又由 。
本定理得证。
表示在连续的条件下,其对,对的积分次序可交换,这个性质也称为积分号下求积分。
以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质,下面利用这些性质,计算一些积分。
例1 计算,其中。
解
为确定积分常数，将积分变形：
;
故 ,
最后得 .
例2 设,求
解 ,
利用万能变换,;
=
=
==0;
因为：
又因
例3 计算 , .
解 解法一 由于 ,
故
解法二 将原式中固定,把看成参变量,记
,
则 ,
积分可得 .
因为,所以 ,
.
例4 设=?,=?
;
=;
;
=.
