4.二重积分的计算 (D是矩形 区域 )
复习 § 2,平行截面面积为已知的立体的体积
y0
x
z
ya
b
c d
D
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
z=f (x,y)
ba xy,xf )d(
dc yyQ )d(
)(yQ
yy yxfz ),(
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
I
是曲边梯形。
D
yxy,xfI d)d(
.
4,二重积分的计算 (D是矩形 区域 )
0
x
z
y
y
a
b
c d
D
dc ba xy,xfy )d(d
.
ba xy,xf )d(Q( y ) =
dc yyQ )d(I
同理，也可以先对 y 积分 b
a
d
c yyxfxI d),(d
.
.
D
yxy,xfI d)d(
z=f (x,y)
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
0
x
z
y
c d
D
z=f (x,y)
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
x=?(y)
x=?(y)
)(yQ
.
y
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
D,?(y)? x(y)
c? y? d
yy yxfz ),(
也是曲边梯形 !
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
D
yxy,xfI d)d(
.
dc yyQ )d(I =
0
x
z
y
x=?(y)
yc d
D
dc yψ yφ xyxfy )( ) )d,(d (
.
D,?(y)? x(y)
c? y? d
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
dc yyQ )d(
Q( y ) =
I =
z=f (x,y)
x=?(y)
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
I =
)(
)( )d(
yx
yx xy,xf
0
y
x
x2(y)x1 (y)
D
c
d
y
D
yxy,xfI d)d(
6,二重积分计算的两种积分顺序
0
y
x
c
d
y
D
x2(y)x1 (y)
I =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
dc yd
D
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
)( )( d),(xy xy yyxfI =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
ba xd
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x2a
2a
24,将积分换序
)d,(d a ax xax yyxfxI
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2 D
3
axy
.
yaax
.
yaax
.
DDD
I
)d,(d
a
a
a
a
y xyxfy
)d,(d
a yaa
a
y xyxfy
)d,(d a a yaa xyxfy
.
还有别的方法吗？
0
y
x2a
2a
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2
axy
yaax
.
yaax
.
)d,(d
a a
a
y xyxfy
)d,(d a yaa yaa xyxfy
.
DD
I
24,将积分换序
.
)d,(d a ax xax yyxfxI
复习 § 2,平行截面面积为已知的立体的体积
y0
x
z
ya
b
c d
D
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
z=f (x,y)
ba xy,xf )d(
dc yyQ )d(
)(yQ
yy yxfz ),(
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
I
是曲边梯形。
D
yxy,xfI d)d(
.
4,二重积分的计算 (D是矩形 区域 )
0
x
z
y
y
a
b
c d
D
dc ba xy,xfy )d(d
.
ba xy,xf )d(Q( y ) =
dc yyQ )d(I
同理，也可以先对 y 积分 b
a
d
c yyxfxI d),(d
.
.
D
yxy,xfI d)d(
z=f (x,y)
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
0
x
z
y
c d
D
z=f (x,y)
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
x=?(y)
x=?(y)
)(yQ
.
y
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
D,?(y)? x(y)
c? y? d
yy yxfz ),(
也是曲边梯形 !
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
D
yxy,xfI d)d(
.
dc yyQ )d(I =
0
x
z
y
x=?(y)
yc d
D
dc yψ yφ xyxfy )( ) )d,(d (
.
D,?(y)? x(y)
c? y? d
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
dc yyQ )d(
Q( y ) =
I =
z=f (x,y)
x=?(y)
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
I =
)(
)( )d(
yx
yx xy,xf
0
y
x
x2(y)x1 (y)
D
c
d
y
D
yxy,xfI d)d(
6,二重积分计算的两种积分顺序
0
y
x
c
d
y
D
x2(y)x1 (y)
I =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
dc yd
D
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
)( )( d),(xy xy yyxfI =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
ba xd
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x2a
2a
24,将积分换序
)d,(d a ax xax yyxfxI
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2 D
3
axy
.
yaax
.
yaax
.
DDD
I
)d,(d
a
a
a
a
y xyxfy
)d,(d
a yaa
a
y xyxfy
)d,(d a a yaa xyxfy
.
还有别的方法吗？
0
y
x2a
2a
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2
axy
yaax
.
yaax
.
)d,(d
a a
a
y xyxfy
)d,(d a yaa yaa xyxfy
.
DD
I
24,将积分换序
.
)d,(d a ax xax yyxfxI
