第四章 导数的应用
(The Applications Derivative of function)
第八讲 微分中值定理阅读,第4章4.1 pp.80—88,
预习,第4章4.2 pp.89—95,第4章4.3,96--111
练习 pp88--89 习题 4.1,1至 4; 5,(1); 8,(1),(2); 9,(2);
10,(2),(4).
作业 pp88--89 习题 4.1,5,(2); 8,(3),(4); 9,(1); 10,(1),(3).
重要通知,
第九周星期六下午在开放实验室进行微积分(I)小测验,
测验内容为罗比塔法则及以前的知识；
测验方式：计算机考试，时间一小时。
每班具体考试时间下周考前通知。
请每位同学务必在下周星期二以前，到网上
(网址为,info,Emathc,edu,cn )
阅读机考说明，并试做摸拟试卷。
4-1 增量分析与微分中值定理
4-1-1 函数局部性态的导数描述
定义 设,若,使得:
, (),
则称是的一个极小(大)值,称为的一个极小(大)值点,
例如,函数,以及都在点达到极小值;
函数,都在点达到极大值.
定理,(费马原理)设在点达到极值,若存在,则必有
.
证明,用反证法，若，不妨设,由
可知，,使得
,,
即,,
.
这与在点达到极值是矛盾的。所以必然是.
如果,则称是函数的一个 驻点.
上述指出：函数在点达到极值的必要条件是,
是函数的一个驻点,但驻点不是达到极值的充分条件.
例如考察函数,显然,因此是这个函数的一个驻点.但是不是的极值点.
若在可导，则它在附近的增减性可以描述如下：
在取极值=0
但这只是局部性质，由得不到直接的全局性质。比如，据此要证明：在一个区间上导数恒为零的函数是常数，都很困难！
4-1-2 函数区间性态的导数描述 微分中值定理
定理 (洛尔定理) 设在闭区间连续,在开区间可导,并且满足,则存在,使得.
证明,
如果在区间恒等于常数,则结论成立.
若在区间不为常数,则必有,使是在上的最大值
因为，根据连续函数的最大最小值定理,存在,使
得在分别达到它在区间上的最大值和最小值,由于
以及不为常数,之中至少有一个不是
区间的端点,不妨设.是在
上的最大值,由于在内部,所以是的极大
值,是的一个驻点,即.证毕.
注:洛尔定理的几何意义是,假定曲线两个端点的连线是水平的(其中,如过曲线(端点可以除外)处处有切线,那么至少有一点的切线是水平的.
定理(拉格朗日定理) 设在闭区间连续,在开区间可导,则存在,使得
证明,引进辅助函数以利用罗尔定理：令
则闭区间连续,在开区间可导,
并且,于是由洛尔定理推出存在：
,满足,即。
注1,拉格朗日定理经常写成如下形式:
,
或
其中.
注2,拉格朗日定理的几何意义是:
假定曲线在任意一点有切线,则存在,使得曲线在点的切线平行与曲线两个端点的连线(其中.
定理（柯西中值定理）:设函数，在连续，在可导，并且.则存在，使得
证明：由可以推出.
构造辅助函数
容易验证在在连续，在可导，并且满足。于是由洛尔定理推出存在，使得，由此就得到定理结论。
柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理中，取，就可得到拉格朗日定理。
4-1-3 微分中值定理的应用举例
微分中值定理包括洛尔定理，拉格朗日定理和柯西定理。有些时侯微分中值定理单指拉格朗日定理。
例1,若在中,,证明,在中是常数.
证明：,
例2,证明的任意两个零点之间至少存在的一个零点.
证明,设,则根据洛尔定理,
存在,满足.
推而广之有：设有阶导数,如果存在,使得,则存在,满足.
例3,证明,在中有个零点
在其上至少有一个零点。
在中无零点
在其上至多有个零点。
例4,求证方程恰好有三个不同实根.
证明,首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上：
记 ，计算得到
,
由连续函数的介值定理推出,至少有三个不同零点。
其次证明,因为,方程至多有三个不同实根。
例5,设函数在连续，在可导，则
.
证明：==A,
这说明：(1) 在求导数时，若,
则在点的导数值是导函数的极限值;
(2) 若导函数在上有定义，则它不可能有
第一类间断点。
例：,
,
例6,证明：
证明,(1) 证,为此设辅助函数,,则
;
,
(2) 证,为此设辅助函数,,则
; ,
设辅助函数.,
.
这种证明有问题吗？
用到不等式,.
例7,若，给定三点,
,,。
求求过这三点的二次函数;
设的二次项系数为,证明：
。
解1：(1) 令;
所求的二次函数是,,
其系数表示如下：
=.
(2)
= 似乎做不到底！
另做：
==
对函数在区间上用拉格伦日中值定理,得
=
再对函数;
在区间上用柯西中值定理,,
解2：(1) 令二次函数形式为：.
;
上式已满足条件：,
再由条件,求二次项系数,为此有方程：
=
(2) =
*=
**=
*这一步是对函数,在区间上用拉格伦日中值定理;
** 这一步是对函数;
在区间上用柯西中值定理的另解：令
=
由于函数在区间有三个不同零点：,因而,
,使得,即有：
。
(The Applications Derivative of function)
第八讲 微分中值定理阅读,第4章4.1 pp.80—88,
预习,第4章4.2 pp.89—95,第4章4.3,96--111
练习 pp88--89 习题 4.1,1至 4; 5,(1); 8,(1),(2); 9,(2);
10,(2),(4).
作业 pp88--89 习题 4.1,5,(2); 8,(3),(4); 9,(1); 10,(1),(3).
重要通知,
第九周星期六下午在开放实验室进行微积分(I)小测验,
测验内容为罗比塔法则及以前的知识；
测验方式：计算机考试，时间一小时。
每班具体考试时间下周考前通知。
请每位同学务必在下周星期二以前，到网上
(网址为,info,Emathc,edu,cn )
阅读机考说明，并试做摸拟试卷。
4-1 增量分析与微分中值定理
4-1-1 函数局部性态的导数描述
定义 设,若,使得:
, (),
则称是的一个极小(大)值,称为的一个极小(大)值点,
例如,函数,以及都在点达到极小值;
函数,都在点达到极大值.
定理,(费马原理)设在点达到极值,若存在,则必有
.
证明,用反证法，若，不妨设,由
可知，,使得
,,
即,,
.
这与在点达到极值是矛盾的。所以必然是.
如果,则称是函数的一个 驻点.
上述指出：函数在点达到极值的必要条件是,
是函数的一个驻点,但驻点不是达到极值的充分条件.
例如考察函数,显然,因此是这个函数的一个驻点.但是不是的极值点.
若在可导，则它在附近的增减性可以描述如下：
在取极值=0
但这只是局部性质，由得不到直接的全局性质。比如，据此要证明：在一个区间上导数恒为零的函数是常数，都很困难！
4-1-2 函数区间性态的导数描述 微分中值定理
定理 (洛尔定理) 设在闭区间连续,在开区间可导,并且满足,则存在,使得.
证明,
如果在区间恒等于常数,则结论成立.
若在区间不为常数,则必有,使是在上的最大值
因为，根据连续函数的最大最小值定理,存在,使
得在分别达到它在区间上的最大值和最小值,由于
以及不为常数,之中至少有一个不是
区间的端点,不妨设.是在
上的最大值,由于在内部,所以是的极大
值,是的一个驻点,即.证毕.
注:洛尔定理的几何意义是,假定曲线两个端点的连线是水平的(其中,如过曲线(端点可以除外)处处有切线,那么至少有一点的切线是水平的.
定理(拉格朗日定理) 设在闭区间连续,在开区间可导,则存在,使得
证明,引进辅助函数以利用罗尔定理：令
则闭区间连续,在开区间可导,
并且,于是由洛尔定理推出存在：
,满足,即。
注1,拉格朗日定理经常写成如下形式:
,
或
其中.
注2,拉格朗日定理的几何意义是:
假定曲线在任意一点有切线,则存在,使得曲线在点的切线平行与曲线两个端点的连线(其中.
定理（柯西中值定理）:设函数，在连续，在可导，并且.则存在，使得
证明：由可以推出.
构造辅助函数
容易验证在在连续，在可导，并且满足。于是由洛尔定理推出存在，使得，由此就得到定理结论。
柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理中，取，就可得到拉格朗日定理。
4-1-3 微分中值定理的应用举例
微分中值定理包括洛尔定理，拉格朗日定理和柯西定理。有些时侯微分中值定理单指拉格朗日定理。
例1,若在中,,证明,在中是常数.
证明：,
例2,证明的任意两个零点之间至少存在的一个零点.
证明,设,则根据洛尔定理,
存在,满足.
推而广之有：设有阶导数,如果存在,使得,则存在,满足.
例3,证明,在中有个零点
在其上至少有一个零点。
在中无零点
在其上至多有个零点。
例4,求证方程恰好有三个不同实根.
证明,首先可检查方程至少有三个不同实根。事实上：
记 ，计算得到
,
由连续函数的介值定理推出,至少有三个不同零点。
其次证明,因为,方程至多有三个不同实根。
例5,设函数在连续，在可导，则
.
证明：==A,
这说明：(1) 在求导数时，若,
则在点的导数值是导函数的极限值;
(2) 若导函数在上有定义，则它不可能有
第一类间断点。
例：,
,
例6,证明：
证明,(1) 证,为此设辅助函数,,则
;
,
(2) 证,为此设辅助函数,,则
; ,
设辅助函数.,
.
这种证明有问题吗？
用到不等式,.
例7,若，给定三点,
,,。
求求过这三点的二次函数;
设的二次项系数为,证明：
。
解1：(1) 令;
所求的二次函数是,,
其系数表示如下：
=.
(2)
= 似乎做不到底！
另做：
==
对函数在区间上用拉格伦日中值定理,得
=
再对函数;
在区间上用柯西中值定理,,
解2：(1) 令二次函数形式为：.
;
上式已满足条件：,
再由条件,求二次项系数,为此有方程：
=
(2) =
*=
**=
*这一步是对函数,在区间上用拉格伦日中值定理;
** 这一步是对函数;
在区间上用柯西中值定理的另解：令
=
由于函数在区间有三个不同零点：,因而,
,使得,即有：
。
