第五章 不定积分
(The indefinite integration )
第十二讲 原函数及不定积分课后作业,
阅读：第五章 5.1,pp124---125; 5.2,pp125---129; 5.3,pp131---132;
预习：第五章 5.4,pp135---137; 5.5,pp138---141; 5.6:pp,143---149
练习 pp.129---131,习题 5.2,1; 3; 4; 7中的单号题; 10; 11.
pp.133---134,习题 5.3,1,2,3,4各题中的单号题; 6; 7; 9.
作业 pp.129---131,习题 5.2,2; 5; 6; 7中的双号题; 8; 9; 12.
pp.133---134,习题 5.3,1,2,3,4各题中的双号题; 5; 8; 10; 11.
引言：
运算与其逆运算；
问题与其反问题。
5-1 原函数和不定积分
5-1-1 原函数概念及性质
(一) 原函数概念
定义 如果在某区间上恒有,则称是
在区间上的一个原函数.
例如,在区间,是的一个原函数;
在区间,是的一个原函数.
在区间,,是的一个原函数;
也是的一个原函数等等,
因,可知：
是在上的原函数,也是在
上的原函数
注：一个函数在某区间I上是否存在原函数，这有侍下一章研究，但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。
(二) 原函数的性质
性质一：都是在区间上的原函数,则存在常数,
使得.或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数。
证明, 是在区间上的两个原函数
.
性质二：若都是在区间上的一个原函数,则
函数集合是的所有原函数。
证明,首先,,
,;
再者,
,
.
重要结论,若在区间上存在原函数,则在区间
上的所有原函数都可以写成的形式.
5-1-2 不定积分概念及性质不定积分定义,如果在区间上存在原函数,则所有原函
数的集合 ,称为在区间
上的不定积分.记作 或写成：
(二) 不定积分的性质
性质一,求不定积分是求导数微分的逆运算：即
(1) 若有原函数,
则 ,.
（2）若 ,可导,且导函数连续,则
,
定理,(不定积分运算的线性性) 若有原函数,则
（1）
(2）若，则
例1,在区间,是的原函数,;
在区间,是的原函数,;
例2:设,求在区间上的不定积分.
解,在区间上,是的所有原函数;
在区间上,是的所有原函数.由于任一原函数在区间内可导，当然连续,由此条件可知，只有当,
时，
在区间才连续可微,且处处有.
因此,在区间是的一个原函数.且
5-1-3 基本积分表
由于求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。
(一) 基本积分表
以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.
(1)
(2)
(3) ()
(4)
(5) ,(
(6) ,(
(7) ,
(8) ,
(9) ,( )
**,
(11) ,(
(12) **,(
例3 求不定积分
解：=
例5 求不定积分
解:利用三角恒等式得到
.
例6 求不定积分
解,==
=
=
5.2 凑微分法 (第一换元法)
凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定积分中的运用。
,且连续可导
,
即，就是的原函数.因此得到结论:
定理:(凑微分法) 若,连续可导，则
例7 求不定积分
解：令 ,
例8,求不定积分
解,令,则有
;
;
;
例9,求不定积分和.
解,.
因为,所以有
同样的方法可以得到,
凑微分法的基本思路是，先做小积分，即，使得
凑成己有的积分公式
形式。
常用凑微分公式,
; ;
,
, ;
,,
,.
例10,求不定积分和.
解1,
解2,
=
解2,
=
解4,
同样的方法可以得到
;
例4:求不定积分
解:由于,
=
例11:求.因为,所以
解,.
例12:求
解:因为,所以
求
例13,
例14,
例15,
例16,
=.
=
=
=
(The indefinite integration )
第十二讲 原函数及不定积分课后作业,
阅读：第五章 5.1,pp124---125; 5.2,pp125---129; 5.3,pp131---132;
预习：第五章 5.4,pp135---137; 5.5,pp138---141; 5.6:pp,143---149
练习 pp.129---131,习题 5.2,1; 3; 4; 7中的单号题; 10; 11.
pp.133---134,习题 5.3,1,2,3,4各题中的单号题; 6; 7; 9.
作业 pp.129---131,习题 5.2,2; 5; 6; 7中的双号题; 8; 9; 12.
pp.133---134,习题 5.3,1,2,3,4各题中的双号题; 5; 8; 10; 11.
引言：
运算与其逆运算；
问题与其反问题。
5-1 原函数和不定积分
5-1-1 原函数概念及性质
(一) 原函数概念
定义 如果在某区间上恒有,则称是
在区间上的一个原函数.
例如,在区间,是的一个原函数;
在区间,是的一个原函数.
在区间,,是的一个原函数;
也是的一个原函数等等,
因,可知：
是在上的原函数,也是在
上的原函数
注：一个函数在某区间I上是否存在原函数，这有侍下一章研究，但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。
(二) 原函数的性质
性质一：都是在区间上的原函数,则存在常数,
使得.或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数。
证明, 是在区间上的两个原函数
.
性质二：若都是在区间上的一个原函数,则
函数集合是的所有原函数。
证明,首先,,
,;
再者,
,
.
重要结论,若在区间上存在原函数,则在区间
上的所有原函数都可以写成的形式.
5-1-2 不定积分概念及性质不定积分定义,如果在区间上存在原函数,则所有原函
数的集合 ,称为在区间
上的不定积分.记作 或写成：
(二) 不定积分的性质
性质一,求不定积分是求导数微分的逆运算：即
(1) 若有原函数,
则 ,.
（2）若 ,可导,且导函数连续,则
,
定理,(不定积分运算的线性性) 若有原函数,则
（1）
(2）若，则
例1,在区间,是的原函数,;
在区间,是的原函数,;
例2:设,求在区间上的不定积分.
解,在区间上,是的所有原函数;
在区间上,是的所有原函数.由于任一原函数在区间内可导，当然连续,由此条件可知，只有当,
时，
在区间才连续可微,且处处有.
因此,在区间是的一个原函数.且
5-1-3 基本积分表
由于求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。
(一) 基本积分表
以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.
(1)
(2)
(3) ()
(4)
(5) ,(
(6) ,(
(7) ,
(8) ,
(9) ,( )
**,
(11) ,(
(12) **,(
例3 求不定积分
解：=
例5 求不定积分
解:利用三角恒等式得到
.
例6 求不定积分
解,==
=
=
5.2 凑微分法 (第一换元法)
凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定积分中的运用。
,且连续可导
,
即，就是的原函数.因此得到结论:
定理:(凑微分法) 若,连续可导，则
例7 求不定积分
解：令 ,
例8,求不定积分
解,令,则有
;
;
;
例9,求不定积分和.
解,.
因为,所以有
同样的方法可以得到,
凑微分法的基本思路是，先做小积分，即，使得
凑成己有的积分公式
形式。
常用凑微分公式,
; ;
,
, ;
,,
,.
例10,求不定积分和.
解1,
解2,
=
解2,
=
解4,
同样的方法可以得到
;
例4:求不定积分
解:由于,
=
例11:求.因为,所以
解,.
例12:求
解:因为,所以
求
例13,
例14,
例15,
例16,
=.
=
=
=
