第五章 向量分析
第十七讲 曲线积分课后作业,
阅读：第五章 第一节,曲线积分 pp,142---151
预习：第五章 第二节,Green公式 pp,152---158
作业,习题1,p.152,2; 3; 4; 7; 8; 9; 10.
补充题
1,计算下列第一类曲线积分：
(1) 其中C为以0(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的三条边。
(2) ,其中C为星形线：x=acos3t,y=asin3t (0(t(2()
(3) ，其中C为螺线
。
(4) ，其中C是球面与平面的交线。
2,求空间曲线,从O(0,0,0)到A(3,3,2) 的弧长;
4,求圆柱面介于曲面与z=0间的面积(a>0)。
5,求摆线x=a(t－sint),y=a(1－cost)在t([0,(]的弧段的重心(假定质量分布均匀)。
5-1 曲线积分
5-1-1第一型曲线积分的概念与计算引言、背景第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计
5-1-2第二型曲线积分的概念与计算引言、背景第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算
5-1-3 两型曲线积分的关系
5-1-1第一型曲线积分的概念与计算第一型曲线积分的概念
定义,先看一个实例，然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。
例 设有一个曲线()状的物体。 如果它的质量分布不均匀，其线密度为，如何求它的总质量呢？
线状物体的质量对线段是可加的。因此，我们把曲线（即）分成个小弧段，分点为。每一个子弧段(其长度记作,=1,2,…,n)的线密度可以近似看作不变的常数，它近似等于弧段上任一点处的线密度，于是子弧段的质量(Mi可以近似地表示为：
，
整条线状物体的质量为 ,
显然，当 时，上述和式的极限值就是所求的M，即
上式中的和式极限叫做函数在曲线C(即)上的第一类曲线积分。下面给出一般的定义。
定义,设中的一条曲线 (记作C)是逐段光滑的，函数f (x,y,z)定义在曲线C上，把C任意地分成n个子弧段 ()，其长度记为，并在 上任取一点，作黎曼和：,再记，如果，和式的极限存在，则称其极限值为函数在曲线C上第一类曲线积分，记作或，即
.
其中曲线C(即 )称为积分路径，称为被积函数， 称为被积分式，称为曲线元素(或弧微分)。
如果是中的一条平面曲线，是定义在上的二元函数，同样可以定义二元函数在平面曲线上的第一类曲线积分为
,
第一型曲线积分的性质存在性：上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数 在曲线C上分段连续。
可加性：
估值定理与中值定理
第一型曲线积分的应用几何上的应用：柱面面积。
物理方面的应用如重心,
我们根据第一类曲线积分的概念，也容易写出空间曲线关于三个坐标平面的静力矩：
于是空间曲线的重心（或质心）的坐标为
.
我们也易得曲线绕z轴转动的轴动惯量
，
读者也不难写出曲线绕x,y轴转动的转动惯量。
空间曲线积分的几何意义：当上式中的时，表示曲线的长度。
平面曲线的几何意义：表示由曲线形成的柱面之面积。
第一类曲线积分也有与定积分类似的性质，我们不再一一列出，这里只指出与路径有关的两条性质。
(1) 函数在曲线和上的第一类曲线积分相等，即
此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。
(2) 如果曲线C由曲线C1与C2组成，则
这些性质对第一类平面曲线积分也都成立。
2) 第一类曲线积分的计算及其应用设曲线C(即 )的参数方程为
又设函数在曲线C上连续，根据曲线C的弧长l的微分
，
再根据在曲线C上的第一类曲线积分的定义，即得
对于第一类平面曲线积分，如果积分路径C以参数方程给出，也有与空间曲线积分类似的结果；如果积分路径C的方程为,，则函数在曲线C上的第一类曲线积分可化为下面的定积分，即
如果曲线C的方程为参数方程,则
例一，计算，其中C是单位圆的右半圆周，即。
解 由曲线C的方程得，故
,
于是
另一种解法：半圆周C的参数方程为
，
于是
例2 计算，其中C是封闭路径OABO。
解 ，
其中
(此时)；
()
故 .
例3 计算螺线一段弧,, (其中r,v,(为常数) 绕z轴旋转的转动惯量 (假定螺线质量均匀分布，线密度(＝1)。
解 ，其中,
.
,
例4 已知半圆圈C：,的质量分布不均匀，
其线密度，试求其重心。
解 将C的方程表示为参数方程,
C的质量M为
由对称性可知，=0，再由半圆圈C关于x轴的静力矩：
即得 ,
5-1-2第二型曲线积分的概念与计算
2-1 定义
(一) 引言,从数学上看,物理学中的场(field),就是定义在三维空间和时间上的多元数量和向量函数,
(稳态数量场), (稳态向量场);
或 (动态数量场),(动态数量场).
其中，是某空间域,时间域例如静 电荷产生的静电场，运动电荷产生的磁场，引力场以及热源产生的温度场等。这里就涉及到作功，能量，流量，源，通量，场强等许多物理或力学量以及它们之间的关系，这些正是本章的实际背景。
(二) 定义
B
L
A
有向曲线,与弧微分向量
设是连续曲线,规定起点,终点,称为一条有向曲线(oriented curve),通常,平面曲线用:
,或表示;
空间曲线用
,或表示,
这里, 是三个连续可微函数,并且满足条件,.
这样的曲线称为光滑曲线(smooth curve).
对于这种曲线相应的弧微分向量为：
平面曲线弧微分向量定义为,,
其中,是曲线在一点的弧微分；是其单位切向量,
由于：,所以有：
同样，对于空间曲线弧微分向量:
以上表明：参数增长的方面决定了曲线方向.因此为讨论方便,取曲线的参数方程时,最好使参数增长方向与正好是你希望的曲线方向.
背景：
例 力场, 中单位质量沿有向光滑曲线,自点 至,求力所作的功.
B
L
A
在,质点沿小段曲线前进时,力所作功
于是质点从至,力所作的功等于
=
=;
有此背景,很自然地引入第二型曲线积分的概念.
定义:设,且,是内一条有向光滑曲线,首先任分为小段，第段有向弧记作,再在上任取一点,若积分和式的极限:
存在，则称之为沿有向曲线的第二型(对坐标的)曲线积分，记成
显然，质点沿有向曲线运动时,力场所作的功就是在上的积分.
注意：(1) 被积函数取值在曲线上；
(2) 是有向弧微分分别在坐标轴上的三个投 影，它们是可正可负的；
(3) 第二型积分通常都是这种组合积分形式出现。
(三) 性质,
存在性可加性第二型曲线积分的有向性,若是方向与相反的有向曲线，则由定义可知,,
这是因为的单位切向量与的单位切向量方向相反.
2-2 第二型曲线积分的计算
若曲线,,
=
例1:计算曲线积分,其中
.
是由到的线段;
是空间螺线;它的起终点也是和.
解,对于,,
对于,,
=
=
例2:计算第二型曲线积分
y
L3 1
L2 L1
-1 1 x
其中为平面上以点(-1,1),(1,-1)和(1,1)为顶点的三角形周边,逆时针方向为正.
解:如图所示,将分成.
:,
:,从到,则
:,
因此
.
例3:假定在中每点的电场强度为
曲线的方程为,
其正方向为:从轴正向往原点看去为逆时针方向.
试求电场沿闭曲线的环流量:=?.
解,有向闭曲线的方程为 以平面上的极坐标中的为参数,则有,
y
C2
C1
0 x
例4,求
:包含原点的半径为的国是一条闭的光滑的有向曲线，正方是逆时钟方向,
:不包含原点的半径为的国是一条闭的光滑的有向曲线，正方是逆时钟方向,
解,
=
=
=
=
y
dl dn
D
x
例5,设平面流场，流速向量
,
是一条闭的光滑的有向曲线，
正方是逆时钟方向,
求流出这闭曲线之流量。
解：流过小弧段
= 的流量：
,
.
2-3 两型曲线积分的关系
由于：=,
其中，是曲线的切向量与轴的夹角,
因此有：
.
第十七讲 曲线积分课后作业,
阅读：第五章 第一节,曲线积分 pp,142---151
预习：第五章 第二节,Green公式 pp,152---158
作业,习题1,p.152,2; 3; 4; 7; 8; 9; 10.
补充题
1,计算下列第一类曲线积分：
(1) 其中C为以0(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的三条边。
(2) ,其中C为星形线：x=acos3t,y=asin3t (0(t(2()
(3) ，其中C为螺线
。
(4) ，其中C是球面与平面的交线。
2,求空间曲线,从O(0,0,0)到A(3,3,2) 的弧长;
4,求圆柱面介于曲面与z=0间的面积(a>0)。
5,求摆线x=a(t－sint),y=a(1－cost)在t([0,(]的弧段的重心(假定质量分布均匀)。
5-1 曲线积分
5-1-1第一型曲线积分的概念与计算引言、背景第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计
5-1-2第二型曲线积分的概念与计算引言、背景第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算
5-1-3 两型曲线积分的关系
5-1-1第一型曲线积分的概念与计算第一型曲线积分的概念
定义,先看一个实例，然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。
例 设有一个曲线()状的物体。 如果它的质量分布不均匀，其线密度为，如何求它的总质量呢？
线状物体的质量对线段是可加的。因此，我们把曲线（即）分成个小弧段，分点为。每一个子弧段(其长度记作,=1,2,…,n)的线密度可以近似看作不变的常数，它近似等于弧段上任一点处的线密度，于是子弧段的质量(Mi可以近似地表示为：
，
整条线状物体的质量为 ,
显然，当 时，上述和式的极限值就是所求的M，即
上式中的和式极限叫做函数在曲线C(即)上的第一类曲线积分。下面给出一般的定义。
定义,设中的一条曲线 (记作C)是逐段光滑的，函数f (x,y,z)定义在曲线C上，把C任意地分成n个子弧段 ()，其长度记为，并在 上任取一点，作黎曼和：,再记，如果，和式的极限存在，则称其极限值为函数在曲线C上第一类曲线积分，记作或，即
.
其中曲线C(即 )称为积分路径，称为被积函数， 称为被积分式，称为曲线元素(或弧微分)。
如果是中的一条平面曲线，是定义在上的二元函数，同样可以定义二元函数在平面曲线上的第一类曲线积分为
,
第一型曲线积分的性质存在性：上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数 在曲线C上分段连续。
可加性：
估值定理与中值定理
第一型曲线积分的应用几何上的应用：柱面面积。
物理方面的应用如重心,
我们根据第一类曲线积分的概念，也容易写出空间曲线关于三个坐标平面的静力矩：
于是空间曲线的重心（或质心）的坐标为
.
我们也易得曲线绕z轴转动的轴动惯量
，
读者也不难写出曲线绕x,y轴转动的转动惯量。
空间曲线积分的几何意义：当上式中的时，表示曲线的长度。
平面曲线的几何意义：表示由曲线形成的柱面之面积。
第一类曲线积分也有与定积分类似的性质，我们不再一一列出，这里只指出与路径有关的两条性质。
(1) 函数在曲线和上的第一类曲线积分相等，即
此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。
(2) 如果曲线C由曲线C1与C2组成，则
这些性质对第一类平面曲线积分也都成立。
2) 第一类曲线积分的计算及其应用设曲线C(即 )的参数方程为
又设函数在曲线C上连续，根据曲线C的弧长l的微分
，
再根据在曲线C上的第一类曲线积分的定义，即得
对于第一类平面曲线积分，如果积分路径C以参数方程给出，也有与空间曲线积分类似的结果；如果积分路径C的方程为,，则函数在曲线C上的第一类曲线积分可化为下面的定积分，即
如果曲线C的方程为参数方程,则
例一，计算，其中C是单位圆的右半圆周，即。
解 由曲线C的方程得，故
,
于是
另一种解法：半圆周C的参数方程为
，
于是
例2 计算，其中C是封闭路径OABO。
解 ，
其中
(此时)；
()
故 .
例3 计算螺线一段弧,, (其中r,v,(为常数) 绕z轴旋转的转动惯量 (假定螺线质量均匀分布，线密度(＝1)。
解 ，其中,
.
,
例4 已知半圆圈C：,的质量分布不均匀，
其线密度，试求其重心。
解 将C的方程表示为参数方程,
C的质量M为
由对称性可知，=0，再由半圆圈C关于x轴的静力矩：
即得 ,
5-1-2第二型曲线积分的概念与计算
2-1 定义
(一) 引言,从数学上看,物理学中的场(field),就是定义在三维空间和时间上的多元数量和向量函数,
(稳态数量场), (稳态向量场);
或 (动态数量场),(动态数量场).
其中，是某空间域,时间域例如静 电荷产生的静电场，运动电荷产生的磁场，引力场以及热源产生的温度场等。这里就涉及到作功，能量，流量，源，通量，场强等许多物理或力学量以及它们之间的关系，这些正是本章的实际背景。
(二) 定义
B
L
A
有向曲线,与弧微分向量
设是连续曲线,规定起点,终点,称为一条有向曲线(oriented curve),通常,平面曲线用:
,或表示;
空间曲线用
,或表示,
这里, 是三个连续可微函数,并且满足条件,.
这样的曲线称为光滑曲线(smooth curve).
对于这种曲线相应的弧微分向量为：
平面曲线弧微分向量定义为,,
其中,是曲线在一点的弧微分；是其单位切向量,
由于：,所以有：
同样，对于空间曲线弧微分向量:
以上表明：参数增长的方面决定了曲线方向.因此为讨论方便,取曲线的参数方程时,最好使参数增长方向与正好是你希望的曲线方向.
背景：
例 力场, 中单位质量沿有向光滑曲线,自点 至,求力所作的功.
B
L
A
在,质点沿小段曲线前进时,力所作功
于是质点从至,力所作的功等于
=
=;
有此背景,很自然地引入第二型曲线积分的概念.
定义:设,且,是内一条有向光滑曲线,首先任分为小段，第段有向弧记作,再在上任取一点,若积分和式的极限:
存在，则称之为沿有向曲线的第二型(对坐标的)曲线积分，记成
显然，质点沿有向曲线运动时,力场所作的功就是在上的积分.
注意：(1) 被积函数取值在曲线上；
(2) 是有向弧微分分别在坐标轴上的三个投 影，它们是可正可负的；
(3) 第二型积分通常都是这种组合积分形式出现。
(三) 性质,
存在性可加性第二型曲线积分的有向性,若是方向与相反的有向曲线，则由定义可知,,
这是因为的单位切向量与的单位切向量方向相反.
2-2 第二型曲线积分的计算
若曲线,,
=
例1:计算曲线积分,其中
.
是由到的线段;
是空间螺线;它的起终点也是和.
解,对于,,
对于,,
=
=
例2:计算第二型曲线积分
y
L3 1
L2 L1
-1 1 x
其中为平面上以点(-1,1),(1,-1)和(1,1)为顶点的三角形周边,逆时针方向为正.
解:如图所示,将分成.
:,
:,从到,则
:,
因此
.
例3:假定在中每点的电场强度为
曲线的方程为,
其正方向为:从轴正向往原点看去为逆时针方向.
试求电场沿闭曲线的环流量:=?.
解,有向闭曲线的方程为 以平面上的极坐标中的为参数,则有,
y
C2
C1
0 x
例4,求
:包含原点的半径为的国是一条闭的光滑的有向曲线，正方是逆时钟方向,
:不包含原点的半径为的国是一条闭的光滑的有向曲线，正方是逆时钟方向,
解,
=
=
=
=
y
dl dn
D
x
例5,设平面流场，流速向量
,
是一条闭的光滑的有向曲线，
正方是逆时钟方向,
求流出这闭曲线之流量。
解：流过小弧段
= 的流量：
,
.
2-3 两型曲线积分的关系
由于：=,
其中，是曲线的切向量与轴的夹角,
因此有：
.
