第五章 向量分析
5-6-1场论初步：三场与三度
5-6-1 三场：无旋场、无源场和调和场
5-6-2 三度算子在柱、球坐标系下的表示
第二十一讲 三场与三度课后作业,
课后作业,
阅读：第五章 第六节,无源场和保守场 pp,182---187
预习：第六章 第一节,无源场和保守场 pp,182---187
作业,习题6,pp.187---188,1; 2; 3,(2); 4,(2); 8; 9.
场论初步：三场与三度
5-6-1 三个曲型场
(一) 无旋场、保守场保守场、积分与路迳无关
假设 上的连续向量场
如果对于中的任意逐段光滑的有向曲线,积分只与曲线的起点,终点有关,而与曲线本身无关,则称该向量场是上的保守场.
有势场与势函数
如果存在上的可微函数使得,则称
是上的有势场,并称是向量场的势函数.
此时,的全微分等于
因此是这个微分形式的原函数.
有势的充要条件(一),
设是中的区域,
是上的向量场,则下列命题互相等价:
(1),是上的保守场.
(2).对于内部的任意一条闭曲线,有 .
(3),是上的有势场.
这个定理的证明与平面问题证明类似,故不再重复.
无旋场
设是中的区域,
是上的可微向量场,如果在上处处有
,
则称是上的无旋场.
区域是中的面单连通区域,是指内的任意一条简单闭曲线,都存在内的一个逐片光滑曲面,使得.
有势的充要条件(二),
设是中的面单连通区域,
是上的可微向量场,则下列命题互相等价:
(1),是上的保守场.
(2),是上的无旋场;
(3),的Jacobi矩阵是对称的。
证明,根据头个定理保守场一定是有势场,
不难验证有势场是无旋场,
,
反之,假设是上的无旋场,即处处有,
对于内的任意一条简单闭曲线,由于是中的面单连通区域,所以存在内的一个逐片光滑曲面 (的方向可以根据有向曲线的方向,按照有向曲面与其边界方向的关系确定),使得.由Stokes公式得到
.
因此推出是上的保守场,
无旋与Jacobi矩阵的对称性的关系更为显然。
证毕.
例1,验证向量场向量场
为保守场,并且求其势函数.
解,向量场在单连通区域上可微,并且处处满足
,
于是在上有势函数,令
因为积分与路线无关,所以这个积分可以沿任意一条起点为终点为的逐段光滑曲线进行.
例如,可以先从沿轴积分至点,然后从沿与轴平行的直线积分至;最后从沿与轴平行的直线积分至.
这个函数就是在上势函数,因为任意两个势函数之间只差一个常数,所以对于任意常数,
也是在上势函数.
我们再提醒大家注意,
有势函数等价于微分形式
有原函数,
因此求向量场的势函数与求微分形式的原函数这两个问题是等价的.
(二),无源场,管形场
无源场
若向量场在区域上处处有
,
则称向量场在区域上为无源场,
,如果向量场在区域上为无源场,则对于内的任意一个逐片光滑的闭曲面(外侧为正),恒有
其中是闭曲面所包围的区域.
无源场与旋度场的关系：
因为 ,所以，任意向量场的旋度场都是无源场,(假定向量场有足够的可微性),
反之,一个无源向量场必是另外一个 向量场的 旋度场,即定理,设是中的一个凸区域
是上的可微向量场,
如果 则存在向量场
,
使得 .
称为的向量势,
的向量势之间可差一个梯度场可见,无旋必有数量势；无源 必有向量势。
例2,设在中的点 放有质量的质点.这些质点在产生了一个引力场.
在每个点单位质量的质点受力等于(忽略一个常数因子)
其中
,
.不难验证,除了之外,处处有
因此,如果是一个逐片光滑的闭曲面,且所包围的区域内部不包含任意的,则有
其中是所包围的区域.
如果是一个只包围一个的半径充分小的球面,外侧为正,
则简单计算得到
事实江，假如内部包围点.
以为中心,以充分小的正数为半径作球面 .
并且用于表示之内,各小球面之外的区域.
应用Gauss公式,得到
由以上讨论可知,在引力场的某个区域中如果没有质量,
则处处有 .因此,引力场中的'源'来自质量.
例2,设在中的点
分别放有正电荷和负电荷
用表示由这些电荷产生的电场(忽略一个常数因子),则
其中
与上例同样的分析可以得到这样的结果:
对于任意一个其上不含电荷的逐片光滑的闭曲面,都有
其中为内部的电荷的代数和.
由此看出,电场的'源'来自电荷.正电荷为正'源',负电荷为负'源'.
可以直接验证,
这种场有所谓“流管”，其断面上通量为常量，因而有管形场之称。
(三),调和场
如果向量场
既是有势场,又是无源场,则称是调和场.
因为是有势场,所以存在势函数,即
.
又因为是无源场,所以
,即.
也就是说,调和场的势函数 满足(拉普拉斯)方程:
这是一个非常重要的偏微分方程,如果记
,
.
称为Laplace算子,
则Laplace方程又可以表示为
或者
,
满足上述方程的函数称为调和函数."调和(harmonic)"
上述例1和例2中的引力场和电场都是调和场.
由此可以推出调和函数的下述重要性质:
函数内部值由边界值确定
定理,设在有界单连通区域调和,在上可微,如果在上,则在内.
由定理6.4又容易得到以下推论:
推论,设函数有界单连通区域调和,在上可微,如果在上,则在内有.
5-6-2 梯度,旋度和散度算子在柱球坐标系下的表示
我们曾经提到过,向量场的梯度,散度和旋度是向量场本身所固有的量,与具体的坐标系的选取无关,
但是，它们在不同的坐标系中,它们有不同的形式,前面已经给出了它们在直角坐标下的形式,以下研究这三个量在柱坐标以及球坐标下的形式.
(1),梯度算子
在柱坐标系中,通过任意一个轴以外的点都有三个坐标曲面:与.它们分别是以轴为中心的圆柱面,以轴为边界的半平面以及与平面平行的平面.这三个坐标曲面相交成三条坐标曲线(图6.1).在任意一点,三条坐标曲线的正向(即增加的方向)单位切向量两两正交,并且组成右手系.梯度算子在柱坐标系中表示形式为
即对于任意函数,有
在球坐标系中,通过任意一个轴以外的点都有三个坐标曲面与.这三个坐标曲面相交成三条坐标曲线(图6.2).在任意一点,三条坐标曲线的正向(即增加的方向)单位切向量两两正交,并且组成右手系.梯度算子在球坐标系中表示形式为
即对于任意函数,有
(2),散度算子
散度算子 在柱坐标系中表示形式为
其中向量场为.
散度算子在球坐标系中表示形式为
其中向量场为
(3),旋度算子
旋度算子在柱坐标系中表示形式为
其中向量场为
旋度算子在球坐标系中表示形式为
=
其中向量场为
(4),Laplace算子
Laplace算子在柱坐标系中表示形式为
Laplace算子在球坐标系中表示形式为
5-6-1场论初步：三场与三度
5-6-1 三场：无旋场、无源场和调和场
5-6-2 三度算子在柱、球坐标系下的表示
第二十一讲 三场与三度课后作业,
课后作业,
阅读：第五章 第六节,无源场和保守场 pp,182---187
预习：第六章 第一节,无源场和保守场 pp,182---187
作业,习题6,pp.187---188,1; 2; 3,(2); 4,(2); 8; 9.
场论初步：三场与三度
5-6-1 三个曲型场
(一) 无旋场、保守场保守场、积分与路迳无关
假设 上的连续向量场
如果对于中的任意逐段光滑的有向曲线,积分只与曲线的起点,终点有关,而与曲线本身无关,则称该向量场是上的保守场.
有势场与势函数
如果存在上的可微函数使得,则称
是上的有势场,并称是向量场的势函数.
此时,的全微分等于
因此是这个微分形式的原函数.
有势的充要条件(一),
设是中的区域,
是上的向量场,则下列命题互相等价:
(1),是上的保守场.
(2).对于内部的任意一条闭曲线,有 .
(3),是上的有势场.
这个定理的证明与平面问题证明类似,故不再重复.
无旋场
设是中的区域,
是上的可微向量场,如果在上处处有
,
则称是上的无旋场.
区域是中的面单连通区域,是指内的任意一条简单闭曲线,都存在内的一个逐片光滑曲面,使得.
有势的充要条件(二),
设是中的面单连通区域,
是上的可微向量场,则下列命题互相等价:
(1),是上的保守场.
(2),是上的无旋场;
(3),的Jacobi矩阵是对称的。
证明,根据头个定理保守场一定是有势场,
不难验证有势场是无旋场,
,
反之,假设是上的无旋场,即处处有,
对于内的任意一条简单闭曲线,由于是中的面单连通区域,所以存在内的一个逐片光滑曲面 (的方向可以根据有向曲线的方向,按照有向曲面与其边界方向的关系确定),使得.由Stokes公式得到
.
因此推出是上的保守场,
无旋与Jacobi矩阵的对称性的关系更为显然。
证毕.
例1,验证向量场向量场
为保守场,并且求其势函数.
解,向量场在单连通区域上可微,并且处处满足
,
于是在上有势函数,令
因为积分与路线无关,所以这个积分可以沿任意一条起点为终点为的逐段光滑曲线进行.
例如,可以先从沿轴积分至点,然后从沿与轴平行的直线积分至;最后从沿与轴平行的直线积分至.
这个函数就是在上势函数,因为任意两个势函数之间只差一个常数,所以对于任意常数,
也是在上势函数.
我们再提醒大家注意,
有势函数等价于微分形式
有原函数,
因此求向量场的势函数与求微分形式的原函数这两个问题是等价的.
(二),无源场,管形场
无源场
若向量场在区域上处处有
,
则称向量场在区域上为无源场,
,如果向量场在区域上为无源场,则对于内的任意一个逐片光滑的闭曲面(外侧为正),恒有
其中是闭曲面所包围的区域.
无源场与旋度场的关系：
因为 ,所以，任意向量场的旋度场都是无源场,(假定向量场有足够的可微性),
反之,一个无源向量场必是另外一个 向量场的 旋度场,即定理,设是中的一个凸区域
是上的可微向量场,
如果 则存在向量场
,
使得 .
称为的向量势,
的向量势之间可差一个梯度场可见,无旋必有数量势；无源 必有向量势。
例2,设在中的点 放有质量的质点.这些质点在产生了一个引力场.
在每个点单位质量的质点受力等于(忽略一个常数因子)
其中
,
.不难验证,除了之外,处处有
因此,如果是一个逐片光滑的闭曲面,且所包围的区域内部不包含任意的,则有
其中是所包围的区域.
如果是一个只包围一个的半径充分小的球面,外侧为正,
则简单计算得到
事实江，假如内部包围点.
以为中心,以充分小的正数为半径作球面 .
并且用于表示之内,各小球面之外的区域.
应用Gauss公式,得到
由以上讨论可知,在引力场的某个区域中如果没有质量,
则处处有 .因此,引力场中的'源'来自质量.
例2,设在中的点
分别放有正电荷和负电荷
用表示由这些电荷产生的电场(忽略一个常数因子),则
其中
与上例同样的分析可以得到这样的结果:
对于任意一个其上不含电荷的逐片光滑的闭曲面,都有
其中为内部的电荷的代数和.
由此看出,电场的'源'来自电荷.正电荷为正'源',负电荷为负'源'.
可以直接验证,
这种场有所谓“流管”，其断面上通量为常量，因而有管形场之称。
(三),调和场
如果向量场
既是有势场,又是无源场,则称是调和场.
因为是有势场,所以存在势函数,即
.
又因为是无源场,所以
,即.
也就是说,调和场的势函数 满足(拉普拉斯)方程:
这是一个非常重要的偏微分方程,如果记
,
.
称为Laplace算子,
则Laplace方程又可以表示为
或者
,
满足上述方程的函数称为调和函数."调和(harmonic)"
上述例1和例2中的引力场和电场都是调和场.
由此可以推出调和函数的下述重要性质:
函数内部值由边界值确定
定理,设在有界单连通区域调和,在上可微,如果在上,则在内.
由定理6.4又容易得到以下推论:
推论,设函数有界单连通区域调和,在上可微,如果在上,则在内有.
5-6-2 梯度,旋度和散度算子在柱球坐标系下的表示
我们曾经提到过,向量场的梯度,散度和旋度是向量场本身所固有的量,与具体的坐标系的选取无关,
但是，它们在不同的坐标系中,它们有不同的形式,前面已经给出了它们在直角坐标下的形式,以下研究这三个量在柱坐标以及球坐标下的形式.
(1),梯度算子
在柱坐标系中,通过任意一个轴以外的点都有三个坐标曲面:与.它们分别是以轴为中心的圆柱面,以轴为边界的半平面以及与平面平行的平面.这三个坐标曲面相交成三条坐标曲线(图6.1).在任意一点,三条坐标曲线的正向(即增加的方向)单位切向量两两正交,并且组成右手系.梯度算子在柱坐标系中表示形式为
即对于任意函数,有
在球坐标系中,通过任意一个轴以外的点都有三个坐标曲面与.这三个坐标曲面相交成三条坐标曲线(图6.2).在任意一点,三条坐标曲线的正向(即增加的方向)单位切向量两两正交,并且组成右手系.梯度算子在球坐标系中表示形式为
即对于任意函数,有
(2),散度算子
散度算子 在柱坐标系中表示形式为
其中向量场为.
散度算子在球坐标系中表示形式为
其中向量场为
(3),旋度算子
旋度算子在柱坐标系中表示形式为
其中向量场为
旋度算子在球坐标系中表示形式为
=
其中向量场为
(4),Laplace算子
Laplace算子在柱坐标系中表示形式为
Laplace算子在球坐标系中表示形式为
