第五章 不定积分
(The indefinite integration )
第十三讲 积分方法及“可积”函数类课后作业,
阅读：第五章 5.4,pp.135---137; 5.5,pp.138---141;
预习：第五章 5.6:pp,143---149; 5.7:pp.151--155
练习 pp.137---132,习题 5.4,1; 3; 4 中的单号题; 10; 11.
pp.142---143,习题 5.5,1,2,3,7,8 各题中的单号题.
作业 pp.137---132,习题 5.4,1; 2; 3 中的双号题; 3; 6.
pp.142---143,习题 5.5,1,2,3,7,8 各题中的双号题; 4; 6.
5-4变量置换法凑微分法是通过局部的积分,即,将欲求的积分向己有的积分公式转化.
这是实际上是作了一个变量置换：,将
,
如果凑微分目标不明，亦可先用变量置换先化简被积分式子，即引进新的自变量,将积分
=.
如果能够求出函数的原函数,并且反函数存在,于是就得到不定积分;
=.
或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单,也是进了一步。
定理：若可导，且有反函数,则有
=.
t
a 
x
这就是不定积分的变量置换法。要注意的是，最后结果应换回最原始的自变量。
例1,求
解,(1) 设变量，换被积分式:
令,则
,
(2)算积分

=
(3) 回代自变量
,得 ,,

例2,求
解,(1) 设变量，换被积分式:
令,则,
(2)算积分

==
=
(3) 回代自变量
,,,

例3,求
解,令,则,
=
另解：=
=
=
5-5 分部积分法
分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式，运用它可以将一个积分换成另一个积分。
假定函数可微,则

由此得到

两端积分得到

这就是分部积分公式,它将两个积分互相转化,只要能求出其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分,


什么函数微分后会“简单”些？ 宜于取作
幂函数; 对数函数； 反正弦、反正切函数.
什么函数积分后会“简单”些？ 宜于取作
经积分微分后会“简单”情况不变的函数,可作,亦可为
正弦、佘弦函数，指数函数
例4:求
解,取,
=
=

例5:求
解,=

对于再运用分部积分公式,
=

于是 
由以上两个例子看出,对于形如

的积分运用分部积分公式时,需要取
,,,.
例6:求
解,==

例7,求
解,

例8,求
解：=
=
=

.
=
=
=


类似典型题有：
==
=
=;

例9,求
解,
=


得到递推公式:

利用容易求得的
,
就可以利用上面得到的递推公式计算 ,
对于分部积分有三种典型类：
是多项式函数；是有理分式函数.
第一种，化简型：如
; ;
;
第二种，循环型：如
; ;
; 
第三种，递推型：如
; ;
在基本积分表中加上几个公式：
 ( );
 ( );
 ( );