第五章 不定积分
(The indefinite integration )
第十三讲 积分方法及“可积”函数类课后作业,
阅读：第五章 5.6,pp,143---149; 5.7:pp.151--155
预习：第六章 6.1,pp,158---159; 6.2,pp.159--166
练习 pp.137---132,习题 5.6,1,2,3,4,5 中的单号题.
作业 pp.137---132,习题 5.6,1,2,3,4,5 中的双号题.
pp.155---157,习题 5.7,2; 5; 7; 11; 14; 16; 22; 24; 25; 29;
35; 41; 45; 49; 53; 56; 58; 63..
5-6 有理函数的积分
5-6-1 最简分式的积分
设为多项式,则分式称为有理式,任意有理式都都能表示成最简分式和，所谓最简分式是：
(1) ; (2) ;
(3) ;
(4) ,
这些函数的不定积分总有有限形式。
例9.,形如的积分
(1) 如果,则有两个相异实根,这时

=
(2) 如果,则有重根,这时
=
(3) 如果,则没有实根,此时

=
例10,形如的积分(),首先将积分改写成

其中第一个积分为

第二个积分

例12,形如的积分,首先将积分改写成
=

其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解.
例13:求
解,


例14,求
解,=
=
=
==
5-6-2 有理函数的积分
一般有理分式的积分做法是：先用代数方法将化成最简分式之和，再运用己有公式求之。从这里可知：
有理分式函数总有有限形式的原函数，而且其原函数只可能包括以下三类函数：有理分式函数，对数函数，反正切函数。
例14,求
解1,=
=.
通分后比较分子，得恒等式：

;
比较的同等幂系数，得五个关于系数的线性方程，解之而得：
;
.
;
;
=;
解2,=
=
==
=.
其中：
==
解3,
==
=
=
=
其中：
==




5-7 其他可积成有限形式的函数类
5-7-1 三角有理式的积分
由经有限次四则运算得到的函数,记作称为三角有理式,三角有理函数的积分

借助于万能变换,
,
可以其变为的有理函数积分
=.
求出这个积分之后,用代入就求出结果,
对于 
可用 ,
=
但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算.在求三角有理式积分时,最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化,最后求得结果.
例15:求
解,

相同的方法可以得到
=
=

=
例17:求
解,=


例17,求
解,方法1,=
=
=


方法2,=
=


例18,求的递推公式(正整数)
解,求递推公式一般用分部积分法




所以
,
将换成,就得到

5-7-2 简单根式的积分
解决这个问题的基本思路是，利用变量置换使其“有理化”。
如,
这只要去掉根号就行：
若 ,则
若 ,则
=
这均可以利用三角变换将其化成三角有理式的积分问题。
又如,,
先令 ,,

=,
这样就化成只含二次三项式根式的形式。
若  则作一次变换就行了。
这种变换成有理式的思路可以用于许多函数类：
再如：对 ,可令 ,,.
==。
当然，在做具体题目时，一定要具体分析，不能完全套用类型。
例19,==
=
*=
=
=
对*第二个积分：令 ,

对*第三个积分：令 ,

==
=
5-7-3 不能积成有限形式的积分
在某个区间连续的函数(在这个区间上)一定有原函数.但是,在初等函数中,只有很少的一部分函数存在初等原函数.大多数初等函数的原函数虽然存在,但是却不是初等函数.例如下列函数的原函数都不是初等函数,,,,
,,
一般情形下， 不是初等函数