第六章 定积分
(The definite integration )
第十六讲 定积分的计算方法课后作业,
阅读：第六章6.4,6.5,6.6,pp176---193,
预习：第七章7.1,7.2,7.3,pp199---210.
练习 pp.182---184,习题 6.4,1; 2; 3,7,8中的单数序号小题; 11;
17; 20,
pp.186---188,习题 6.5,1; 2; 3,中的单数序号小题; 4; 6;
8; 9; 11; 24; 26; 27.
作业 pp.182---184,习题 6.4,3,中的双数序号小题; 5; 6;
7,(6),(8),(10); 8,(2),(4); 9; 10; 15; 16; 18; 21,
17; 20,
pp.186---188,习题 6.5,3,中的双数序号小题; 6; 7; 10; 12;
14; 18; 20,(1),(2); 21,(3); 22; 25; 29.
6-4 定积分的计算方法
6-4-1 变量置换法
定理：设(连续),如果函数满足下列条件：
在上连续可导,且;
;
则 .
由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用N--L公式即可证
明。
定理：设(可积),如果函数满足下列条件：
(1) 在上连续可导,且单调 ;
(2) ;
则 .
这个证稍麻烦，要把两边化成积分和,对
用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。
例1,若是上的可积的奇函数;
若是上的可积的偶函数
例2,证明,若,则
(1);
(2) 
证：令 ,,
=
=
.
求,
=
例3,若,求极限
.
解：=
==
=
例4,若函数是以为周期的可积周期函数,证明：
(1) ,;
(2) 研究函数是否也是周期函数？
证明：
(1) 
做变换：,
;
 =
(2)  是否是周期函数，要看

是否成立。而
.
结论是,若被积函数是周期函数，则
是周期函数的充要条件是：。
若,则=周期函数线性函数.
因为,这样函数是周期函数，且有
;
则 是周期函数。这样：
,
.
例5,计算.
解,=
=
=
=
=
例6,计算.
解1：=
=
=
=
=
==
()
解2：=2
=
=
=
=
=
=
,
令,,

6-4-2 分部积分法由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只是可随式的推导及时代入积分限即可,

对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别是递推型用得多。
例7 计算
解,先求的原函数.令,则,于是

于是

例8 计算=
=
=

例9,计算
解,
=
=.
,,.
可证,.

==
,,
=
=
例10,台劳公式的积分形式,

=
=
=
=
若连续则有：

=.
远正是台劳公式的Lagrange佘项例11．计算定积分：
[解法一]
积分区间对称，能否利用奇、偶函数积分性质？
令 


故 ,即非奇非偶。
但 

是奇函数

则
[解法二] 
=
=
因为  是偶函数，
所以  是奇函数。
于是有 
=
[解法三] 用换元法:令 ，
记：,则有
=

例12．设上连续，且满足,
证明::,
[证] 证法一：反证法.
证法二：罗尔定理：令 ,
则 ;


;
.