第二章 第五节
微分学在几何方面的应用及多元函数的Taylor公式
课后作业,
阅读：第二章 第四节 4.3,pp,56---58; 第五节 5.2,pp,60---63
预习：第二章第五节 5.2,pp,60---63
作业,第二章 习题4,pp,59---60,
6,(3),(5); 7,(1),(2) ; 8; 10; 12; 13.
补充：1,求函数在点的二阶带格伦日余项的Taylor公式。
2,求函数在点的三阶带拉格伦日余项的Taylor公式。
第六讲 微分学在几何上的应用及多元函数的Taylor公式
2-5-1 空间曲线和曲面的光滑性
(1) 空间曲线的切线
设是空间中的一条曲线，
其参数方程 (parameter equation)
为
若记，
则曲线C的参数方程又可以写作
当参数表示时间时，上述方程组或向量函数可以看成表示的是质点的运动规律；这时曲线C表示的就是质点的运动轨迹.
设为曲线C上的一点，在C上任取另外一点 ，过两点作割线,则此割线的一个方向向量为
如果函数都在处可导，那么当时，向量就趋向于极限向量
当 时，
则称非零向量为曲线在点处的切向量(tangent vector).
经过点并且以为方向向量的直线称为曲线在点处的切线(tangent line)，其参数方程是
另外，过点并且垂直于曲线在该点切线的平面称为曲线在点处的法平面(normal plane)，它的（点法式）方程为
例1 求螺线 ；
在点 处的切线与法平面.
解 由于点对应的参数为，所以螺线在处的切向量是
因而所求切线的参数方程为
法平面方程为 ,
空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线，因此，从方程形式上讲，曲线除了具有参数方程外，还具有一般方程（隐函数形式）,关于曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论.
(2) 空间曲面的切平面
(A) 空间曲面的三种表示：
显函数表示：
隐函数表示:
参数方程表示,双参数
空间曲面的切平面：
下面讨论两个问题:
其一,曲面在一点的切平面是如何定义的？
其二,如何求曲面上在一点的切平面方程？
定义 设是一张空间曲面，是上的一点，若所有过且在曲面上的曲线在处的切线共面，则称此平面为曲面在处的切平面(tangent plane)；过且与切平面垂直的直线称为曲面在处的法线(normal line).
切平面的定义可以有好几种，我们之所以用这一定义，是因为，这是根据曲面的固有性质，与其方程形式没有关系.
而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念。
另外，还有一种较好的定义：设是一张空间曲面，是上的一点，是过点的一张平面,曲面上任一点到平面的距离为,若时，=,则称此平面为曲面在处的切平面
(i) 切平面的方程首先讨论：如果曲面的切平面的存在，其切平面的方程是什么？
显然，这与曲面的方程表示有关。
若曲面由显函数表示：
因为，所有在曲面上过的曲线在处的切线都在切平面上曲线和的切线在上
平面的法向:
曲面过切平面方程:
,
其中，
法线方程是
接着要研究：函数满足什么条件时，其切平面存在？
若曲面由显函数表示在点可微,则曲面在点有不平行轴的切平面.
证：若曲线,是曲面上过点,
其中的光滑曲线,即函数在可导。
现在要证明，此曲线过的切线在平面:
上。其法线方向是：
事实上，曲线在处的切线向量是:
,
显然有,,
即：曲线过的切线在平面上。
实际上，函数表示在点可微是 曲面在点有不平行轴的切平面的充分必要条件。
(ii) 用隐函数和参数方程表示的曲面的切平面方程：
若曲面由隐函数表示,
过的曲线为： ,
两边求微分：
曲面过切平面方程
法线方程是,
或
另外，设在有
，即三个偏导数 中至少有一个不为零时，不妨设，这时由隐函数定理可以推出在的某个邻域中唯一地定义了一个函数，满足 ,由隐函数微分法得
,
这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。
若曲面由参数方程 表示
若记，则上式的向量形式为
设是上的一点，当固定时，方程确定了曲面上的一条曲线，
它在处的切向量是
同样地，方程 确定了曲面上的另一条曲线，它在点处的切向量是
若这两个向量不共线的条件下，曲面在处的法向量是
记（以下所有偏导数都在求值）
则单位法向量
因此曲面在处的切平面方程是
法线方程为
例2 设曲面由方程确定，试求在时的法线与切平面方程.
解 根据曲面方程可知，曲面上与对应的点为.由于
所以曲面在点处的法向量为
因此所求的法线方程是
切平面方程是
由此可见当时，由方程确定的曲面在处的法向量为.
例3 证明球面与锥面正交(orthogonal).
解 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直.
记
曲面上任一点处的法向量是
或者
曲面上任一点处的法向量为.
设点是两曲面的公共点，则在该点有
即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交.
从切平面的定义我们知道，曲面上过任意一条曲线在处的切线都在在处的切平面上.反过来，我们也可以证明（见习题），切平面上任意一条过的直线，都可以在曲面上找到一条过的曲线，使后者在处的切线即为前者.于是我们能够得到这样的结论：曲面在点处的切平面恰好由曲面上经过点的所有曲线的切线组成,
(3) 空间曲线的交面式：
一条空间曲线，可以看作通过它的两个曲面与的交线，若设的方程为，的方程为，则的方程是
如果在曲线上的点处两个梯度向量
不共线，则向量
是在点处的一个切向量.
例4 求曲线
在点处的切线方程.
解 取，，则
所以曲线在处的切向量为
于是所求的切线方程为
2-5-2 多元函数的Taylor公式我们知道，一元函数的Taylor公式.是研究函数在一点处性态的有力工具。
如果函数在点有阶导数,则它在点的某邻域内有带皮亚诺型余项的Taylor公式:
如果函数在某个包含点的区间内处处有阶导数,则对于任意的,有
这就是带有拉格朗日型余项的阶Taylor公式.
对于多元函数来说，我们也有类似的结论，这就是多元函数的泰勒公式.下面我们先讨论二元函数的Taylor公式.
二元函数的Taylor公式
利用一元化的思想，将二元函数展公式的问题转化为一元问题：
设有,点及点
,今研究函数在线段上的增量变化：因为线段可以表示为:
,
这样 函数在线段上的值 是
,
且 ,,
.
=
+
定理 设二元函数在点的某个邻域中有 至阶的连续导数，是中一点，则有
+
此式称为二元函数在处的带有拉格朗日型余项的阶Taylor公式.
当时，Taylor变为
这个结论类似于一元函数的微分中值定理.
当时，Taylor变为
其中，,
称为海色矩阵。
当时，Taylor变为
多元函数的Taylor公式同样思路对于元函数来说，有带拉格朗日余项的阶Taylor公式,但常用的是一阶带拉格朗日余项Taylor公式:
,称为海色()矩阵。
二阶一阶带皮亚诺余项Taylor公式:
多元向量函数的Taylor公式若,其Taylor公式考虑成由各分量函数的Taylor展开构成，一般只用到一阶带皮亚诺余项的Taylor公式,
;
向量函数的估值公式
=
= =
=.
微分学在几何方面的应用及多元函数的Taylor公式
课后作业,
阅读：第二章 第四节 4.3,pp,56---58; 第五节 5.2,pp,60---63
预习：第二章第五节 5.2,pp,60---63
作业,第二章 习题4,pp,59---60,
6,(3),(5); 7,(1),(2) ; 8; 10; 12; 13.
补充：1,求函数在点的二阶带格伦日余项的Taylor公式。
2,求函数在点的三阶带拉格伦日余项的Taylor公式。
第六讲 微分学在几何上的应用及多元函数的Taylor公式
2-5-1 空间曲线和曲面的光滑性
(1) 空间曲线的切线
设是空间中的一条曲线，
其参数方程 (parameter equation)
为
若记，
则曲线C的参数方程又可以写作
当参数表示时间时，上述方程组或向量函数可以看成表示的是质点的运动规律；这时曲线C表示的就是质点的运动轨迹.
设为曲线C上的一点，在C上任取另外一点 ，过两点作割线,则此割线的一个方向向量为
如果函数都在处可导，那么当时，向量就趋向于极限向量
当 时，
则称非零向量为曲线在点处的切向量(tangent vector).
经过点并且以为方向向量的直线称为曲线在点处的切线(tangent line)，其参数方程是
另外，过点并且垂直于曲线在该点切线的平面称为曲线在点处的法平面(normal plane)，它的（点法式）方程为
例1 求螺线 ；
在点 处的切线与法平面.
解 由于点对应的参数为，所以螺线在处的切向量是
因而所求切线的参数方程为
法平面方程为 ,
空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线，因此，从方程形式上讲，曲线除了具有参数方程外，还具有一般方程（隐函数形式）,关于曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论.
(2) 空间曲面的切平面
(A) 空间曲面的三种表示：
显函数表示：
隐函数表示:
参数方程表示,双参数
空间曲面的切平面：
下面讨论两个问题:
其一,曲面在一点的切平面是如何定义的？
其二,如何求曲面上在一点的切平面方程？
定义 设是一张空间曲面，是上的一点，若所有过且在曲面上的曲线在处的切线共面，则称此平面为曲面在处的切平面(tangent plane)；过且与切平面垂直的直线称为曲面在处的法线(normal line).
切平面的定义可以有好几种，我们之所以用这一定义，是因为，这是根据曲面的固有性质，与其方程形式没有关系.
而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念。
另外，还有一种较好的定义：设是一张空间曲面，是上的一点，是过点的一张平面,曲面上任一点到平面的距离为,若时，=,则称此平面为曲面在处的切平面
(i) 切平面的方程首先讨论：如果曲面的切平面的存在，其切平面的方程是什么？
显然，这与曲面的方程表示有关。
若曲面由显函数表示：
因为，所有在曲面上过的曲线在处的切线都在切平面上曲线和的切线在上
平面的法向:
曲面过切平面方程:
,
其中，
法线方程是
接着要研究：函数满足什么条件时，其切平面存在？
若曲面由显函数表示在点可微,则曲面在点有不平行轴的切平面.
证：若曲线,是曲面上过点,
其中的光滑曲线,即函数在可导。
现在要证明，此曲线过的切线在平面:
上。其法线方向是：
事实上，曲线在处的切线向量是:
,
显然有,,
即：曲线过的切线在平面上。
实际上，函数表示在点可微是 曲面在点有不平行轴的切平面的充分必要条件。
(ii) 用隐函数和参数方程表示的曲面的切平面方程：
若曲面由隐函数表示,
过的曲线为： ,
两边求微分：
曲面过切平面方程
法线方程是,
或
另外，设在有
，即三个偏导数 中至少有一个不为零时，不妨设，这时由隐函数定理可以推出在的某个邻域中唯一地定义了一个函数，满足 ,由隐函数微分法得
,
这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。
若曲面由参数方程 表示
若记，则上式的向量形式为
设是上的一点，当固定时，方程确定了曲面上的一条曲线，
它在处的切向量是
同样地，方程 确定了曲面上的另一条曲线，它在点处的切向量是
若这两个向量不共线的条件下，曲面在处的法向量是
记（以下所有偏导数都在求值）
则单位法向量
因此曲面在处的切平面方程是
法线方程为
例2 设曲面由方程确定，试求在时的法线与切平面方程.
解 根据曲面方程可知，曲面上与对应的点为.由于
所以曲面在点处的法向量为
因此所求的法线方程是
切平面方程是
由此可见当时，由方程确定的曲面在处的法向量为.
例3 证明球面与锥面正交(orthogonal).
解 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直.
记
曲面上任一点处的法向量是
或者
曲面上任一点处的法向量为.
设点是两曲面的公共点，则在该点有
即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交.
从切平面的定义我们知道，曲面上过任意一条曲线在处的切线都在在处的切平面上.反过来，我们也可以证明（见习题），切平面上任意一条过的直线，都可以在曲面上找到一条过的曲线，使后者在处的切线即为前者.于是我们能够得到这样的结论：曲面在点处的切平面恰好由曲面上经过点的所有曲线的切线组成,
(3) 空间曲线的交面式：
一条空间曲线，可以看作通过它的两个曲面与的交线，若设的方程为，的方程为，则的方程是
如果在曲线上的点处两个梯度向量
不共线，则向量
是在点处的一个切向量.
例4 求曲线
在点处的切线方程.
解 取，，则
所以曲线在处的切向量为
于是所求的切线方程为
2-5-2 多元函数的Taylor公式我们知道，一元函数的Taylor公式.是研究函数在一点处性态的有力工具。
如果函数在点有阶导数,则它在点的某邻域内有带皮亚诺型余项的Taylor公式:
如果函数在某个包含点的区间内处处有阶导数,则对于任意的,有
这就是带有拉格朗日型余项的阶Taylor公式.
对于多元函数来说，我们也有类似的结论，这就是多元函数的泰勒公式.下面我们先讨论二元函数的Taylor公式.
二元函数的Taylor公式
利用一元化的思想，将二元函数展公式的问题转化为一元问题：
设有,点及点
,今研究函数在线段上的增量变化：因为线段可以表示为:
,
这样 函数在线段上的值 是
,
且 ,,
.
=
+
定理 设二元函数在点的某个邻域中有 至阶的连续导数，是中一点，则有
+
此式称为二元函数在处的带有拉格朗日型余项的阶Taylor公式.
当时，Taylor变为
这个结论类似于一元函数的微分中值定理.
当时，Taylor变为
其中，,
称为海色矩阵。
当时，Taylor变为
多元函数的Taylor公式同样思路对于元函数来说，有带拉格朗日余项的阶Taylor公式,但常用的是一阶带拉格朗日余项Taylor公式:
,称为海色()矩阵。
二阶一阶带皮亚诺余项Taylor公式:
多元向量函数的Taylor公式若,其Taylor公式考虑成由各分量函数的Taylor展开构成，一般只用到一阶带皮亚诺余项的Taylor公式,
;
向量函数的估值公式
=
= =
=.
