各位老师：
第十四周我开会去了。学生的课都安排好了。
第十五周的习题课上定积分的应用。因我在西安开会，星期四才能返校。现将习题课安排建议如下：
定积分应用以几何应用：求面积，弧长，旋转体体积和面积；导物理应用：主要是求变力作功，图形的重心为主。这些题目以书上练习题的难度为限。，可选作其中一些。
下面的题可选二、三个作提高题，切不可多用。
谭泽光 2002,12,6
定 积 分 应 用
1．设有曲线族,对于每个正数(),曲线与曲线交于唯一的一点(其中)，用表示曲线与曲线围成的区域的面积；表示曲线与围成的区域的面积.求证在上述曲线族中存在唯一的一条曲线,使得达到最小值.
[解] 与的关系是,，在区间单调减少。
于是反函数存在与 是 一 一 对应的。
所以,，。
问题转化为：作为的函数， 在区间有唯一最小值。
,

求导数,
,
于是在区间中存在，使得。通过计算知，
在区间： 上，恒有,。
所以函数在区间有唯一驻点，并在该驻点处达到最小值。
点是闭曲面, 内的定点。求以点为球心的球面，使被包含在内的那部分面积为最大。
[解] 设 为 ,
当时，有球面面积 
当时，两球面与的交线为圆,
从方程中消去、，得 
故是平面  上的圆
是一个半径为的球的球冠的面积,该球冠的高为

求,视为“圆  上一段弧绕轴旋转而得”
 
因为  
从而 
球冠面积为 
对求导得 
令 ，的区间上的唯一驻点 
由于 ,
所以，在唯一驻点  处取得最大值 ,
所求球面的半径为,,此题要点空间几何知识。
二、定积分证明
1,设在上二阶可导，且，试证,.
[证] 利用泰勒公式,令 ，写出在点处的带拉格朗日余项的一阶
泰勒公式 
因为，所以有 
再利用定积分的性质，得到

因为 

故有 
2,设在上连续且单调增，证明,.
[证法一] 利用变上限定积分，利用单调性：
令 ,
因为在上连续，故有

又因为在上单调增，故有 ，从而，
在上单调增,又 ，所以有 ，即

[证法二] 利用定积分的性质：
因为在上单调增，故有 
从而有 
注意到 ，从而，
于是有 ,即 
[证法三] 利用积分中值定理：

（ 其中,）
而 
因为在上单调增，且，
所以，
从而 
即 
[证法四]
因为在上单调增，所以，，有

固定，对积分，得

即 
再对积分，得

利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到

即 
设，且对于满足的任意连续函数,都有 ，证明：必恒为常数.
[证法一] 利用积分中值定理，有
 
于是，有 
取 ，则 ，从而,
 （1）
由题设又有  （2）
由（1），（2）两式可得 ，即

故 ,即 
[证法二] 令 
[证法三] 记 ，于是有 
取