2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________．
解：
两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：
，
而其中有一颗为1点有两种可能：
，
因此所求概率（条件概率）为．
应填：．
2．设二维随机变量的联合密度函数为
则________．
解：
由，得
所以，．
应填：
3．设总体，是从中抽取的一个样本，样本量为，则的联合概率密度函数_________________________．
解：
由于总体，所以总体的概率密度函数为
，
并且是从中抽取的一个样本，即是简单随机样本，所以样本中的个分量是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本的联合概率密度函数
应填：．
4．设总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，则参数的矩估计量__________________．
解：
所以，．将替换成样本均值，得参数的矩估计量为
．
应填：．
5．显著性检验是指____________________________________．
解：
显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．
应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设随机变量，，而且与不相关，令，，且与也不相关，则有
.； .； .； .．
【 】
解：
再由于随机变量，，而且与不相关，所以
，，．
因此，．
这表明：随机变量与不相关，当且仅当，当且仅当．
应选：．
2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为．令表示测试中发生故障的仪器数，则
.； .；
.； .．
【 】
解：
由于表示测试中发生故障的仪器数，所以的取值为，并且的分布律为
所以
．
应选：．
3．若表示二维随机变量的相关系数，则“”是“存在常数、使得”的
.必要条件，但非充分条件； .充分条件，但非必要条件；
.充分必要条件； .既非充分条件，也非必要条件．
【 】
解：
由相关系数的性质，可知“”是“存在常数、使得的充分必要条件．
应选：．
4．根据辛钦大数定律，样本均值是总体期望的
.矩估计量； .最大似然估计量； .无偏估计量； .相合估计量．
【 】
解：
辛钦大数定律指出：设是独立同分布的随机变量序列，且存在，则对任意给定的，有
，
即
这表明，样本均值是总体期望的相合估计量．
应选：．
5．设总体服从参数的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机选出容量为一个样本，则该样本的样本均值的方差为
,； ,； ,； ,．
【 】
解：
由于总体服从参数的泊松（Poisson）分布，所以．又从该总体中随机选出容量为一个样本，则若令是其样本均值，则．
应选：．
三．（本题满分10分）
某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为．
⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率．
⑵ 求他第二次考试及格的概率．
⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率．
⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率．
解：
设，．
则由题设，，，．
⑴ ．
⑵ ．
⑶ ．
⑷ ．
四．（本题满分10分）
设顾客在某银行等待服务的时间（单位：分钟）是服从的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．
⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．
⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙．
解：
由于随机变量服从的指数分布，所以的概率密度函数为
．
⑴
⑵ 设表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则．
所以，．
这表明，是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙．
五．（本题满分10分）
一射手进行射击，击中目标的概率为，射击直至击中2次目标时为止．令表示首次击中目标所需要的射击次数，表示总共所需要的射击次数．
⑴ 求二维随机变量的联合分布律．
⑵ 求随机变量的边缘分布律．
⑶ 求在时，的条件分布律．并解释此分布律的意义．
解：
⑴ 随机变量的取值为；而随机变量的取值为，并且
,（其中）
．
⑵ ，
．
即随机变量的边缘分布律为 ．
⑶ 由于
因此在时，的条件分布律为
这表明，在的条件下，的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值．
六．（本题满分10分）
一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取元、元、元各个值的概率分别为、、．某天该食品店出售了只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为元的概率．
（附表：标准正态分布的数值表：
解：
设表示该食品店出售的第只蛋糕的价格，则的分布律为
所以，，
，
所以，．
因此，是独立同分布的随机变量，故
．
七．（本题满分10分）
设总体的密度函数为
．
其中是已知常数，而是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的最大似然估计量．
解：
似然函数为
所以，．
所以，．
令：，即，
得到似然函数的唯一驻点．
所以参数的最大似然估计量为．
八．（本题满分10分）
设总体，总体，是从总体中抽取的一个样本，是从总体中抽取的一个样本．并且随机变量
相互独立．记是样本的样本方差，是样本的样本方差．再设
证明：是的无偏估计．
解：
由于总体，是从总体中抽取的一个样本，所以
．
又由于总体，是从总体中抽取的一个样本，所以
．
所以，，
．
所以，
所以，是的无偏估计．
九．（本题满分10分）
检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：
假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为．
（附表：分布的分位点表：
解：
设表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则．
由于总体方差未知，故用检验统计量
当成立时，．
由于显著性水平，，所以．因此检验的拒绝域为
由样本观测值，得
，
所以，
所以，不拒绝，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为．
1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________．
解：
两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：
，
而其中有一颗为1点有两种可能：
，
因此所求概率（条件概率）为．
应填：．
2．设二维随机变量的联合密度函数为
则________．
解：
由，得
所以，．
应填：
3．设总体，是从中抽取的一个样本，样本量为，则的联合概率密度函数_________________________．
解：
由于总体，所以总体的概率密度函数为
，
并且是从中抽取的一个样本，即是简单随机样本，所以样本中的个分量是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本的联合概率密度函数
应填：．
4．设总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，则参数的矩估计量__________________．
解：
所以，．将替换成样本均值，得参数的矩估计量为
．
应填：．
5．显著性检验是指____________________________________．
解：
显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．
应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设随机变量，，而且与不相关，令，，且与也不相关，则有
.； .； .； .．
【 】
解：
再由于随机变量，，而且与不相关，所以
，，．
因此，．
这表明：随机变量与不相关，当且仅当，当且仅当．
应选：．
2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为．令表示测试中发生故障的仪器数，则
.； .；
.； .．
【 】
解：
由于表示测试中发生故障的仪器数，所以的取值为，并且的分布律为
所以
．
应选：．
3．若表示二维随机变量的相关系数，则“”是“存在常数、使得”的
.必要条件，但非充分条件； .充分条件，但非必要条件；
.充分必要条件； .既非充分条件，也非必要条件．
【 】
解：
由相关系数的性质，可知“”是“存在常数、使得的充分必要条件．
应选：．
4．根据辛钦大数定律，样本均值是总体期望的
.矩估计量； .最大似然估计量； .无偏估计量； .相合估计量．
【 】
解：
辛钦大数定律指出：设是独立同分布的随机变量序列，且存在，则对任意给定的，有
，
即
这表明，样本均值是总体期望的相合估计量．
应选：．
5．设总体服从参数的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机选出容量为一个样本，则该样本的样本均值的方差为
,； ,； ,； ,．
【 】
解：
由于总体服从参数的泊松（Poisson）分布，所以．又从该总体中随机选出容量为一个样本，则若令是其样本均值，则．
应选：．
三．（本题满分10分）
某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为．
⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率．
⑵ 求他第二次考试及格的概率．
⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率．
⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率．
解：
设，．
则由题设，，，．
⑴ ．
⑵ ．
⑶ ．
⑷ ．
四．（本题满分10分）
设顾客在某银行等待服务的时间（单位：分钟）是服从的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．
⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．
⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙．
解：
由于随机变量服从的指数分布，所以的概率密度函数为
．
⑴
⑵ 设表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则．
所以，．
这表明，是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙．
五．（本题满分10分）
一射手进行射击，击中目标的概率为，射击直至击中2次目标时为止．令表示首次击中目标所需要的射击次数，表示总共所需要的射击次数．
⑴ 求二维随机变量的联合分布律．
⑵ 求随机变量的边缘分布律．
⑶ 求在时，的条件分布律．并解释此分布律的意义．
解：
⑴ 随机变量的取值为；而随机变量的取值为，并且
,（其中）
．
⑵ ，
．
即随机变量的边缘分布律为 ．
⑶ 由于
因此在时，的条件分布律为
这表明，在的条件下，的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值．
六．（本题满分10分）
一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取元、元、元各个值的概率分别为、、．某天该食品店出售了只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为元的概率．
（附表：标准正态分布的数值表：
解：
设表示该食品店出售的第只蛋糕的价格，则的分布律为
所以，，
，
所以，．
因此，是独立同分布的随机变量，故
．
七．（本题满分10分）
设总体的密度函数为
．
其中是已知常数，而是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的最大似然估计量．
解：
似然函数为
所以，．
所以，．
令：，即，
得到似然函数的唯一驻点．
所以参数的最大似然估计量为．
八．（本题满分10分）
设总体，总体，是从总体中抽取的一个样本，是从总体中抽取的一个样本．并且随机变量
相互独立．记是样本的样本方差，是样本的样本方差．再设
证明：是的无偏估计．
解：
由于总体，是从总体中抽取的一个样本，所以
．
又由于总体，是从总体中抽取的一个样本，所以
．
所以，，
．
所以，
所以，是的无偏估计．
九．（本题满分10分）
检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：
假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为．
（附表：分布的分位点表：
解：
设表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则．
由于总体方差未知，故用检验统计量
当成立时，．
由于显著性水平，，所以．因此检验的拒绝域为
由样本观测值，得
，
所以，
所以，不拒绝，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为．
