2002-2003学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案一．（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
1．设、、是三个随机事件，且，，，．试求、、这三个随机事件中至少有一个发生的概率．
解：
所求概率为．由概率的加法公式得
．
由于，由概率的单调性、非负性及题设中的条件，得．
，所以．
因此，
．
2．一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第2层起开始离开电梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率．
解：
设
每一位乘客从第2层至第20层的任何一层离开电梯是等可能的，因此每一位乘客有19种选法，20位乘客共有方法（样本点总数）．
如果没有两位乘客在同一层离开电梯，则从19层中任意选出10层，让这10位乘客在这10层中每层离开1人，有方法种（事件所含样本点数）．
所以，．
3．设二维随机变量的联合密度函数为
试求．
解：
4．设随机变量服从区间上的均匀分布，并且，，试求常数与．
解：
因为随机变量服从区间上的均匀分布，所以，．
由题设条件，，得方程组
，解此方程组，得，．
5．设总体的密度函数为
其中是未知参数．是取自该总体中的一个样本，试求的矩估计．
解：
因为．
所以，有．将替换成样本均值，得的矩估计量为
．
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问：
⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？
⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？
解：
设，
．
由题设，有 ，；，．
要求的概率为和．由Bayes公式，有
⑴ ．
⑵ ．
7．盒子中有5个球，编号分别为．从中随机取出3个球，令：取出的3个球中的最大号码．⑴ 求随机变量的分布律．⑵ 求随机变量的分布函数．
解：
⑴ 的取值为．且
，，．
所以，随机变量的分布律为：
3
4
5
⑵随机变量的分布函数为：
,
8．设二维随机变量的联合密度函数为
,
⑴ 试求常数；⑵ 求条件密度函数．
解：
⑴ 由联合密度函数的性质，有，因此
，
所以，．
⑵ 当时，
所以随机变量的边缘密度函数为．
所以当时，
9．一报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为（元），而且每份报纸售出的概率分别为．若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少450元的概率．
标准正态分布的分布函数的值：
解：
设：该天售出第份报纸的收入．
则的分布律为
，
，
所以，
令表示该天的总收入，则有 ．
由独立同分布场合下的大数定律，有
．
10．设总体服从区间上的均匀分布，其中是未知参数，是取自该总体的一个样本．⑴ 求出的极大似然估计量；⑵ 求出的极大似然估计量．
解：
⑴ 似然函数为
由的构造可知，若越小，则的值就越大．另一方面，未知参数要满足条件：
所以，，因此取即可使似然函数达到最大．
所以，的极大似然估计量为．
⑵ 由于，而且函数在时是严格增加的，具有单值的反函数．所以由极大似然估计量的性质，知的极大似然估计量为
．
三．（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），
11．设与是两个随机事件，且，．定义随机变量、如下：
,．
证明：如果与不相关，则与相互独立．
解：
如果与不相关，则．
而 ，，．
因此有，，这表明，随机事件与相互独立．
因此，随机事件与相互独立；随机事件与相互独立；随机事件与相互独立．
由随机事件与相互独立，得；
由随机事件与相互独立，得；
由随机事件与相互独立，得；
即， ．
这表明，随机变量与相互独立．
12．设总体存在二阶矩，记，．是取自该总体的一个样本，是样本方差．证明：．
解：
1．设、、是三个随机事件，且，，，．试求、、这三个随机事件中至少有一个发生的概率．
解：
所求概率为．由概率的加法公式得
．
由于，由概率的单调性、非负性及题设中的条件，得．
，所以．
因此，
．
2．一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第2层起开始离开电梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率．
解：
设
每一位乘客从第2层至第20层的任何一层离开电梯是等可能的，因此每一位乘客有19种选法，20位乘客共有方法（样本点总数）．
如果没有两位乘客在同一层离开电梯，则从19层中任意选出10层，让这10位乘客在这10层中每层离开1人，有方法种（事件所含样本点数）．
所以，．
3．设二维随机变量的联合密度函数为
试求．
解：
4．设随机变量服从区间上的均匀分布，并且，，试求常数与．
解：
因为随机变量服从区间上的均匀分布，所以，．
由题设条件，，得方程组
，解此方程组，得，．
5．设总体的密度函数为
其中是未知参数．是取自该总体中的一个样本，试求的矩估计．
解：
因为．
所以，有．将替换成样本均值，得的矩估计量为
．
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问：
⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？
⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？
解：
设，
．
由题设，有 ，；，．
要求的概率为和．由Bayes公式，有
⑴ ．
⑵ ．
7．盒子中有5个球，编号分别为．从中随机取出3个球，令：取出的3个球中的最大号码．⑴ 求随机变量的分布律．⑵ 求随机变量的分布函数．
解：
⑴ 的取值为．且
，，．
所以，随机变量的分布律为：
3
4
5
⑵随机变量的分布函数为：
,
8．设二维随机变量的联合密度函数为
,
⑴ 试求常数；⑵ 求条件密度函数．
解：
⑴ 由联合密度函数的性质，有，因此
，
所以，．
⑵ 当时，
所以随机变量的边缘密度函数为．
所以当时，
9．一报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为（元），而且每份报纸售出的概率分别为．若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少450元的概率．
标准正态分布的分布函数的值：
解：
设：该天售出第份报纸的收入．
则的分布律为
，
，
所以，
令表示该天的总收入，则有 ．
由独立同分布场合下的大数定律，有
．
10．设总体服从区间上的均匀分布，其中是未知参数，是取自该总体的一个样本．⑴ 求出的极大似然估计量；⑵ 求出的极大似然估计量．
解：
⑴ 似然函数为
由的构造可知，若越小，则的值就越大．另一方面，未知参数要满足条件：
所以，，因此取即可使似然函数达到最大．
所以，的极大似然估计量为．
⑵ 由于，而且函数在时是严格增加的，具有单值的反函数．所以由极大似然估计量的性质，知的极大似然估计量为
．
三．（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），
11．设与是两个随机事件，且，．定义随机变量、如下：
,．
证明：如果与不相关，则与相互独立．
解：
如果与不相关，则．
而 ，，．
因此有，，这表明，随机事件与相互独立．
因此，随机事件与相互独立；随机事件与相互独立；随机事件与相互独立．
由随机事件与相互独立，得；
由随机事件与相互独立，得；
由随机事件与相互独立，得；
即， ．
这表明，随机变量与相互独立．
12．设总体存在二阶矩，记，．是取自该总体的一个样本，是样本方差．证明：．
解：
