2003-2004学年第一学期概率统计重修课考试试卷答案一．计算题（本题满分30分，共有5道小题，每道小题6分）．
1．设、是随机事件，，，求．
解：
由于，所以
所以，，
．
2．设连续型随机变量的密度函数为 ，求与．
解：
因为
所以，
所以，，．
3．袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，求这2只球的颜色不相同的概率．
解：
设，则
．
4．设随机变量服从区间上的均匀分布，求．
解：
由于随机变量服从区间上的均匀分布，所以，．
所以，．
所以，．
5．设总体的密度函数为
其中为未知参数，是从总体中抽取的一个样本，求的矩估计量．
解：
．
得方程，解方程，得．
将替换成，得的矩估计量为．
二．计算题（本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分）．
6．已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女生的比例为2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？
解：
设，，则由Bayes公式，得
．
7．设连续型随机变量的分布函数为
试求：⑴,系数与；⑵,概率；⑶,随机变量的密度函数．
解：
⑴,由，，得
解方程组 ,得，
所以，
⑵,
⑶,的密度函数为
．
8．设二维随机变量服从平面区域
上的均匀分布．
⑴,试求二维随机变量的联合密度函数；
⑵,求随机变量及各自的边缘密度函数；
⑶,求，及；
⑷ 判断随机变量与是否相互独立？是否不相关？
解：
⑴．平面区域的面积为，所以，二维随机变量的联合密度函数为
⑵,当时，
所以，随机变量的边缘密度函数为
；
同理，随机变量的边缘密度函数为
,
⑶,由对称性，得
⑷ 由于，所以，随机变量与不相关．但是，
所以，随机变量与不相互独立．
9．设随机变量，，试求随机变量的密度函数．
解：
随机变量的密度函数为
设随机变量的分布函数为，则有
①,如果，即，则有；
②,如果，则有
即
所以，
即
．
10．某单位有200台分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话．假定每台分机是否使用外线是相互独立的，试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线，才能以99%以上的概率保证分机使用外线时不等待．
（已知，其中是标准正态分布的分布函数．）
解：
设，则
设：该单位某时刻使用外线的分机数．则,
设需要给单位安装条外线，则要使分机使用外线时不等待，必须，所以，
由题意，，即
查表，得
所以，
因此，至少要装18条外线，才能满足要求．
三．计算题（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）．
11．设总体的密度函数为
,
其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．
⑴,求未知参数的矩估计；
⑵,求．
解：
⑴,,
所以，,将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为
⑵,，而
所以，
12．设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布．令随机变量
．
⑴ 试求随机变量的密度函数．⑵ 试求．
解：
⑴ 由题意，得
，
．
设随机变量的分布函数为，则
当时，；
当时，
作极坐标变换，则有
所以，随机变量的分布函数为
所以，随机变量的密度函数为
⑵
．
13．已知总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．
解：
．
所以当样本观测值为时，似然函数为
所以，．
令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．
1．设、是随机事件，，，求．
解：
由于，所以
所以，，
．
2．设连续型随机变量的密度函数为 ，求与．
解：
因为
所以，
所以，，．
3．袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，求这2只球的颜色不相同的概率．
解：
设，则
．
4．设随机变量服从区间上的均匀分布，求．
解：
由于随机变量服从区间上的均匀分布，所以，．
所以，．
所以，．
5．设总体的密度函数为
其中为未知参数，是从总体中抽取的一个样本，求的矩估计量．
解：
．
得方程，解方程，得．
将替换成，得的矩估计量为．
二．计算题（本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分）．
6．已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女生的比例为2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？
解：
设，，则由Bayes公式，得
．
7．设连续型随机变量的分布函数为
试求：⑴,系数与；⑵,概率；⑶,随机变量的密度函数．
解：
⑴,由，，得
解方程组 ,得，
所以，
⑵,
⑶,的密度函数为
．
8．设二维随机变量服从平面区域
上的均匀分布．
⑴,试求二维随机变量的联合密度函数；
⑵,求随机变量及各自的边缘密度函数；
⑶,求，及；
⑷ 判断随机变量与是否相互独立？是否不相关？
解：
⑴．平面区域的面积为，所以，二维随机变量的联合密度函数为
⑵,当时，
所以，随机变量的边缘密度函数为
；
同理，随机变量的边缘密度函数为
,
⑶,由对称性，得
⑷ 由于，所以，随机变量与不相关．但是，
所以，随机变量与不相互独立．
9．设随机变量，，试求随机变量的密度函数．
解：
随机变量的密度函数为
设随机变量的分布函数为，则有
①,如果，即，则有；
②,如果，则有
即
所以，
即
．
10．某单位有200台分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话．假定每台分机是否使用外线是相互独立的，试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线，才能以99%以上的概率保证分机使用外线时不等待．
（已知，其中是标准正态分布的分布函数．）
解：
设，则
设：该单位某时刻使用外线的分机数．则,
设需要给单位安装条外线，则要使分机使用外线时不等待，必须，所以，
由题意，，即
查表，得
所以，
因此，至少要装18条外线，才能满足要求．
三．计算题（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）．
11．设总体的密度函数为
,
其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．
⑴,求未知参数的矩估计；
⑵,求．
解：
⑴,,
所以，,将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为
⑵,，而
所以，
12．设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布．令随机变量
．
⑴ 试求随机变量的密度函数．⑵ 试求．
解：
⑴ 由题意，得
，
．
设随机变量的分布函数为，则
当时，；
当时，
作极坐标变换，则有
所以，随机变量的分布函数为
所以，随机变量的密度函数为
⑵
．
13．已知总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．
解：
．
所以当样本观测值为时，似然函数为
所以，．
令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．
