§ 2 边缘分布
边缘分布函数
边缘分布律
边缘概率密度返回主目录边缘分布的定义
的边缘分布．，关于二维随机变量或者的分布为或者也有分布．我们称或者，分量是一维随机变量，因此或者则它的分量是一个二维随机变量，，如果
YX
YXYX
YXY
XYX
§ 2 边缘分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
已知联合分布函数求边缘分布函数
，，的分布函数为，设二维随机变量 yxFYX的分布函数为X
则分量
xFXxXP YxXP,
yxFy, l i m,xF 返回主目录的分布函数为同理，分量 Y
yFYyYPyYYP,
yxFx, l i myF,
§ 2 边缘分布解：
的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
3a r c t a n2a r c t a n yCxBAyxF,
yx,；、、试求：⑴．常数 CBA
的边缘分布函数．及⑵,YX
，得⑴．由分布函数的性质
,F1?
22
CBA
例 1
返回主目录例 1（续）
．，,221 2 CBA
22a r c t a n?CxBA
由以上三式可得，
的边缘分布函数为⑵,X
yxFxF yX, lim
,xF0
yF,0 3a r c t a n2 yCBA?
3a r c t a n22a r c t a n21lim 2 yxy
2a r c t a n21 x,x
§ 2 边缘分布返回主目录例 1（续）
yxFyF xY, lim
3a r c t a n22a r c t a n21lim 2 yxx
2a r c t a n2
1 y?
,y
的边缘分布函数为同理,Y
§ 2 边缘分布返回主目录已知联合分布律求边缘分布律
，已知其联合分布律为，量对于二维离散型随机变 YX
的分布律：现求随机变量 X
，，，,21 jiyYxXPP jiij
ii xXPP,，,21?i
ii xXPP, j ji yYxXP, j ijp
§ 2 边缘分布
jj yYPP, i ji yYxXP, i ijp
的分布律为：同理，随机变量 Y
返回主目录已知联合分布律求边缘分布律下表表示的边缘分布律也可以由以及 YX
Y
X 1
y
2
y …
j
y
…
i
p
1
x
11
p
12
p …
j
p
1 …?1
p
2
x
21
p
22
p …
j
p
2 …?2
p
i
x
1i
p
2i
p …
ij
p
…?ip
j
p
1?
p
2?
p …
j
p
…
§ 2 边缘分布返回主目录例 2
分布律．
各自的边缘及的联合分布律与，，试求记所取的数为中随机地取出一个数，到，再从记所取的数为个数中随机取出一个，这，，，从
YXYXY
XX 1
44321
解：,，，，的取值都是与 4321YX,而且 XY?
0 jYiXPji,时，所以，当
§ 2 边缘分布时，由乘法公式，得当 ji?
jYiXPP ij,iXjYPiXP
ii 4
11
4
1
再由 j iji pp i ijj pp及返回主目录例 2（续）
Y
X
1 2 3 4?i
p
1
4
1
0 0 0
4
1
2
8
1
8
1
0 0
4
1
3
12
1
12
1
12
1
0
4
1
4
16
1
16
1
16
1
16
1
4
1
j
p
48
25
48
13
48
7
48
3
§ 2 边缘分布
的边缘分布律为及与，可得 YXYX
返回主目录例 3
解：
布律．律及它们各自的边缘分二等品数的联合分布件产品中的一等品数与的情况下，分别计算取出⑵．不放回场合这两种合，次．试在⑴．有放回场取出一件，共抽取
．现从这批产品中每次，三等品占占
，二等品件，其中一等品占一批产品共
5
5
%20%50
%3050
件产品中的一等品数；：取出的令,5X
件产品中的二等品数．：取出的 5Y
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
，，，，，的取值都是与 54321,0YX
⑴．在有放回场合下
，若 5 ji 0jYiXP,有
，若 5 jijYiXP,有
jiji
jiji
5
2.05.03.0
!5!!
!5
的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5?i
p
0 0,0 0 0 3 2 0,0 0 4 0 0 0,0 2 0 0 0 0,0 5 0 0 0 0,0 6 2 5 0 0,0 3 1 2 5 0,1 6 8 0 7
1 0,0 0 2 4 0 0,0 2 4 0 0 0,0 9 0 0 0 0,1 5 0 0 0 0,0 9 3 7 5 0 0,3 6 0 1 5
2 0,0 0 7 2 0 0,0 5 4 0 0 0,1 3 5 0 0 0,1 1 2 5 0 0 0 0,3 0 8 7
3 0,0 1 0 8 0 0,0 5 4 0 0 0,0 6 7 5 0 0 0 0 0,1 3 2 3
4 0,0 0 8 1 0 0,0 2 0 2 5 0 0 0 0 0,0 2 8 3 5
5 0,0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 0,0 0 2 4 3
j
p
0,0 3 1 2 5 0,1 5 6 2 5 0,3 1 2 5 0,3 1 2 5 0,1 5 6 2 5 0,0 3 1 2 5
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
⑵．在不放回场合下
，若 5 ji 0jYiXP,有
，若 5 ji
jYiXP,有 5
50
5
102515
C
CCC
jiji
的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5?i
p
0 0,0 0 0 1 0,0 0 2 5 0,0 1 7 0 0,0 4 8 8 0,0 5 9 7 0,0 2 5 0 0,1 5 3 1
1 0,0 0 1 5 0,0 2 1 2 0,0 9 5 6 0,1 6 2 8 0,0 8 9 6 0 0,3 7 0 7
2 0,0 0 5 9 0,0 5 5 8 0,1 4 8 7 0,1 1 4 0 0 0 0,3 2 4 4
3 0,0 0 9 7 0,0 5 3 7 0,0 6 4 4 0 0 0 0,1 2 7 8
4 0,0 0 6 4 0,0 1 6 1 0 0 0 0 0,0 2 2 5
5 0,0 0 1 4 0 0 0 0 0 0,0 0 1 4
j
p
0,0 2 5 0,1 4 9 3 0,3 2 5 7 0,3 2 5 6 0,1 4 9 3 0,0 2 5
§ 2 边缘分布返回主目录已知联合密度函数求边缘密度函数
密度函数为
，已知其联合，量对于二维连续型随机变 YX
yxf,
的边缘密度函数：现求随机变量 XxfX
xXPxF X由
x
dudyyuf,
,xF
§ 2 边缘分布
dyyxfxf X,得返回主目录已知联合密度函数求边缘密度函数同理，由
y
dvdxvxf,
yF,yYPyF Y
dxyxfyf Y,得
§ 2 边缘分布返回主目录例 4
度函数．
各自的边缘密、函数及的联合密度，机变量上的均匀分布．试求随服从区域，随机变量所围，及直线是由抛物线设平面区域
YX
YX
D
YX
xyxy
D
2
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1
返回主目录例 4（续）
解：
的面积为⑴．区域 D
的联合密度函数为，所以，二维随机变量 YX
Dyx
Dyxyxf
，
，，
0
6
x
x
dxdyA
2
1
0
1
0
32
3
1
2
1
xx
3
1
2
1
6
1?
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
例 4（续）
的边缘密度函数为⑵．随机变量 X
dyyxfxf X,
所以，
其它0
106
2
xxxxf
X
26 xx
时，当 10 x
x
x
x
x
2
2
x
x
dy
2
6
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
Dyx Dyxyxf,，,06
例 4（续）
的边缘密度函数为同理，随机变量 Y
dxyxfyf Y,
所以，
其它0
106 yyyyf
Y
yy 6
时，当 10 y
y
y
y
y
y
y
dx6
§ 2 边缘分布
y
o 1
yx?
x
yx?
Dyx Dyxyxf,，,06
例 5
解：
的联合密度函数为，设二维连续型随机变量 YX
其它
，
0
0 yxcxeyxf
y；试求：⑴．常数 c 的边缘密度函数．及⑵,YX
，得⑴．由密度函数的性质
d x d yyxf,1
y
y
dxcxedy
00
§ 2 边缘分布
x
y xy?
返回主目录例 5（续）
时，⑵．当 0?x
dyyxfxf X,
0
2
2
dyeyc
y
cc 22
1?c所以，
x
y
dyxe
xxe
的边缘密度函数为所以,X
00
0
x
xxexf x
X
§ 2 边缘分布
x
y xy?
其它,0
0 yxxeyxf y
返回主目录例 5（续）
dxyxfyf Y,?
y
y
dxxe
0
yey 2
2
1
的边缘密度函数为所以,Y
00
0
2
1 2
y
yeyyf
y
Y
时，⑶．当 0?y
§ 2 边缘分布
x
y xy?
其它,0
0 yxxeyxf y
返回主目录例 6
解：
rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~
的边缘密度函数．及试求 YX
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
yyxrx
r
r
yxf,
的联合密度函数为,YX
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
进行配方，得对中，在
y
yyxrx
r
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
dyyxfxf X,
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
yyxrx
r
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2 212
1
xxry
r
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
所以，
dy
x
r
y
r
e
r
xf
x
X
2
1
1
2
2
2
2
2
21
12
1
e x p
12
1 2
1
2
1
1
1
2
2
21
1
xry
r
u作变换，令：
2
2 1 r
dydu
则，
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
dueexf
ux
X?
22
1
2
2
1
2
1
2
1?
2
2
1 2
1
2
1
2
1
x
e
2
1
2
1
2
12
1?
x
e
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1?
211~,这表明,NX
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
因此有的地位是对称的，与的密度函数可知，，由 YXYX
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1?
222~,这表明,NY
几条结论：通过本题，我们有以下
§ 2 边缘分布返回主目录结 论 （一）
布是一元正态分布．二元正态分布的边缘分
§ 2 边缘分布
rNYX,，，，，即若 222121~
222~,NY211~,NX
则有，
结 论 （二）
无关．布中的常数的参数与二元正态分上述的两个边缘分布中
r
返回主目录
§ 2 边缘分布结 论 （三）
结论（二）表明：如果122212111 ~ rNYX,，，，,
222212122 ~ rNYX,，，，,
），（其中 21 rr?
的分布相同，与但是 21 XX 的分布相同．与 21 YY
的分布不相同，，与，则,2211 YXYX
联合分布．们不能由边缘分布求出这表明，一般来讲，我返回主目录
边缘分布函数
边缘分布律
边缘概率密度返回主目录边缘分布的定义
的边缘分布．，关于二维随机变量或者的分布为或者也有分布．我们称或者，分量是一维随机变量，因此或者则它的分量是一个二维随机变量，，如果
YX
YXYX
YXY
XYX
§ 2 边缘分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
已知联合分布函数求边缘分布函数
，，的分布函数为，设二维随机变量 yxFYX的分布函数为X
则分量
xFXxXP YxXP,
yxFy, l i m,xF 返回主目录的分布函数为同理，分量 Y
yFYyYPyYYP,
yxFx, l i myF,
§ 2 边缘分布解：
的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
3a r c t a n2a r c t a n yCxBAyxF,
yx,；、、试求：⑴．常数 CBA
的边缘分布函数．及⑵,YX
，得⑴．由分布函数的性质
,F1?
22
CBA
例 1
返回主目录例 1（续）
．，,221 2 CBA
22a r c t a n?CxBA
由以上三式可得，
的边缘分布函数为⑵,X
yxFxF yX, lim
,xF0
yF,0 3a r c t a n2 yCBA?
3a r c t a n22a r c t a n21lim 2 yxy
2a r c t a n21 x,x
§ 2 边缘分布返回主目录例 1（续）
yxFyF xY, lim
3a r c t a n22a r c t a n21lim 2 yxx
2a r c t a n2
1 y?
,y
的边缘分布函数为同理,Y
§ 2 边缘分布返回主目录已知联合分布律求边缘分布律
，已知其联合分布律为，量对于二维离散型随机变 YX
的分布律：现求随机变量 X
，，，,21 jiyYxXPP jiij
ii xXPP,，,21?i
ii xXPP, j ji yYxXP, j ijp
§ 2 边缘分布
jj yYPP, i ji yYxXP, i ijp
的分布律为：同理，随机变量 Y
返回主目录已知联合分布律求边缘分布律下表表示的边缘分布律也可以由以及 YX
Y
X 1
y
2
y …
j
y
…
i
p
1
x
11
p
12
p …
j
p
1 …?1
p
2
x
21
p
22
p …
j
p
2 …?2
p
i
x
1i
p
2i
p …
ij
p
…?ip
j
p
1?
p
2?
p …
j
p
…
§ 2 边缘分布返回主目录例 2
分布律．
各自的边缘及的联合分布律与，，试求记所取的数为中随机地取出一个数，到，再从记所取的数为个数中随机取出一个，这，，，从
YXYXY
XX 1
44321
解：,，，，的取值都是与 4321YX,而且 XY?
0 jYiXPji,时，所以，当
§ 2 边缘分布时，由乘法公式，得当 ji?
jYiXPP ij,iXjYPiXP
ii 4
11
4
1
再由 j iji pp i ijj pp及返回主目录例 2（续）
Y
X
1 2 3 4?i
p
1
4
1
0 0 0
4
1
2
8
1
8
1
0 0
4
1
3
12
1
12
1
12
1
0
4
1
4
16
1
16
1
16
1
16
1
4
1
j
p
48
25
48
13
48
7
48
3
§ 2 边缘分布
的边缘分布律为及与，可得 YXYX
返回主目录例 3
解：
布律．律及它们各自的边缘分二等品数的联合分布件产品中的一等品数与的情况下，分别计算取出⑵．不放回场合这两种合，次．试在⑴．有放回场取出一件，共抽取
．现从这批产品中每次，三等品占占
，二等品件，其中一等品占一批产品共
5
5
%20%50
%3050
件产品中的一等品数；：取出的令,5X
件产品中的二等品数．：取出的 5Y
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
，，，，，的取值都是与 54321,0YX
⑴．在有放回场合下
，若 5 ji 0jYiXP,有
，若 5 jijYiXP,有
jiji
jiji
5
2.05.03.0
!5!!
!5
的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5?i
p
0 0,0 0 0 3 2 0,0 0 4 0 0 0,0 2 0 0 0 0,0 5 0 0 0 0,0 6 2 5 0 0,0 3 1 2 5 0,1 6 8 0 7
1 0,0 0 2 4 0 0,0 2 4 0 0 0,0 9 0 0 0 0,1 5 0 0 0 0,0 9 3 7 5 0 0,3 6 0 1 5
2 0,0 0 7 2 0 0,0 5 4 0 0 0,1 3 5 0 0 0,1 1 2 5 0 0 0 0,3 0 8 7
3 0,0 1 0 8 0 0,0 5 4 0 0 0,0 6 7 5 0 0 0 0 0,1 3 2 3
4 0,0 0 8 1 0 0,0 2 0 2 5 0 0 0 0 0,0 2 8 3 5
5 0,0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 0,0 0 2 4 3
j
p
0,0 3 1 2 5 0,1 5 6 2 5 0,3 1 2 5 0,3 1 2 5 0,1 5 6 2 5 0,0 3 1 2 5
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
⑵．在不放回场合下
，若 5 ji 0jYiXP,有
，若 5 ji
jYiXP,有 5
50
5
102515
C
CCC
jiji
的边缘分布律为、的联合分布律及，得 YXYX
§ 2 边缘分布返回主目录例 3（续）
Y
X
0 1 2 3 4 5?i
p
0 0,0 0 0 1 0,0 0 2 5 0,0 1 7 0 0,0 4 8 8 0,0 5 9 7 0,0 2 5 0 0,1 5 3 1
1 0,0 0 1 5 0,0 2 1 2 0,0 9 5 6 0,1 6 2 8 0,0 8 9 6 0 0,3 7 0 7
2 0,0 0 5 9 0,0 5 5 8 0,1 4 8 7 0,1 1 4 0 0 0 0,3 2 4 4
3 0,0 0 9 7 0,0 5 3 7 0,0 6 4 4 0 0 0 0,1 2 7 8
4 0,0 0 6 4 0,0 1 6 1 0 0 0 0 0,0 2 2 5
5 0,0 0 1 4 0 0 0 0 0 0,0 0 1 4
j
p
0,0 2 5 0,1 4 9 3 0,3 2 5 7 0,3 2 5 6 0,1 4 9 3 0,0 2 5
§ 2 边缘分布返回主目录已知联合密度函数求边缘密度函数
密度函数为
，已知其联合，量对于二维连续型随机变 YX
yxf,
的边缘密度函数：现求随机变量 XxfX
xXPxF X由
x
dudyyuf,
,xF
§ 2 边缘分布
dyyxfxf X,得返回主目录已知联合密度函数求边缘密度函数同理，由
y
dvdxvxf,
yF,yYPyF Y
dxyxfyf Y,得
§ 2 边缘分布返回主目录例 4
度函数．
各自的边缘密、函数及的联合密度，机变量上的均匀分布．试求随服从区域，随机变量所围，及直线是由抛物线设平面区域
YX
YX
D
YX
xyxy
D
2
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1
返回主目录例 4（续）
解：
的面积为⑴．区域 D
的联合密度函数为，所以，二维随机变量 YX
Dyx
Dyxyxf
，
，，
0
6
x
x
dxdyA
2
1
0
1
0
32
3
1
2
1
xx
3
1
2
1
6
1?
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
例 4（续）
的边缘密度函数为⑵．随机变量 X
dyyxfxf X,
所以，
其它0
106
2
xxxxf
X
26 xx
时，当 10 x
x
x
x
x
2
2
x
x
dy
2
6
§ 2 边缘分布
y
o
y=x
y=x2
1 x
Dyx Dyxyxf,，,06
例 4（续）
的边缘密度函数为同理，随机变量 Y
dxyxfyf Y,
所以，
其它0
106 yyyyf
Y
yy 6
时，当 10 y
y
y
y
y
y
y
dx6
§ 2 边缘分布
y
o 1
yx?
x
yx?
Dyx Dyxyxf,，,06
例 5
解：
的联合密度函数为，设二维连续型随机变量 YX
其它
，
0
0 yxcxeyxf
y；试求：⑴．常数 c 的边缘密度函数．及⑵,YX
，得⑴．由密度函数的性质
d x d yyxf,1
y
y
dxcxedy
00
§ 2 边缘分布
x
y xy?
返回主目录例 5（续）
时，⑵．当 0?x
dyyxfxf X,
0
2
2
dyeyc
y
cc 22
1?c所以，
x
y
dyxe
xxe
的边缘密度函数为所以,X
00
0
x
xxexf x
X
§ 2 边缘分布
x
y xy?
其它,0
0 yxxeyxf y
返回主目录例 5（续）
dxyxfyf Y,?
y
y
dxxe
0
yey 2
2
1
的边缘密度函数为所以,Y
00
0
2
1 2
y
yeyyf
y
Y
时，⑶．当 0?y
§ 2 边缘分布
x
y xy?
其它,0
0 yxxeyxf y
返回主目录例 6
解：
rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~
的边缘密度函数．及试求 YX
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
yyxrx
r
r
yxf,
的联合密度函数为,YX
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
进行配方，得对中，在
y
yyxrx
r
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
dyyxfxf X,
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
12
1
yyxrx
r
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2 212
1
xxry
r
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
所以，
dy
x
r
y
r
e
r
xf
x
X
2
1
1
2
2
2
2
2
21
12
1
e x p
12
1 2
1
2
1
1
1
2
2
21
1
xry
r
u作变换，令：
2
2 1 r
dydu
则，
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
dueexf
ux
X?
22
1
2
2
1
2
1
2
1?
2
2
1 2
1
2
1
2
1
x
e
2
1
2
1
2
12
1?
x
e
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1?
211~,这表明,NX
§ 2 边缘分布返回主目录例 6（续）
因此有的地位是对称的，与的密度函数可知，，由 YXYX
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1?
222~,这表明,NY
几条结论：通过本题，我们有以下
§ 2 边缘分布返回主目录结 论 （一）
布是一元正态分布．二元正态分布的边缘分
§ 2 边缘分布
rNYX,，，，，即若 222121~
222~,NY211~,NX
则有，
结 论 （二）
无关．布中的常数的参数与二元正态分上述的两个边缘分布中
r
返回主目录
§ 2 边缘分布结 论 （三）
结论（二）表明：如果122212111 ~ rNYX,，，，,
222212122 ~ rNYX,，，，,
），（其中 21 rr?
的分布相同，与但是 21 XX 的分布相同．与 21 YY
的分布不相同，，与，则,2211 YXYX
联合分布．们不能由边缘分布求出这表明，一般来讲，我返回主目录
