一,离散型随机变量的概念与性质第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量的定义如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量．
§ 2离散型随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
,，，,nxxx 21
并设
,2,1 npxXP nn
则称上式或
X 1x 2x,? nx?
P 1p 2p,? np?
为离散型随机变量 X 的分布律．
返回主目录说 明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．
即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质,
0?np
n,有⑴．对任意的自然数
1
n
np⑵．
返回主目录例 1
从 1～ 10这 10个数字中随机取出 5个数字，令：
X：取出的 5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 5,6,7,8,9,10,并且
10655
10
4
1,，, k
C
CkXP k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
252
70
25 2
12 6
返回主目录例 2
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 -3,-1,1,3,并且
X -3 -1 1 3
P
8
1
8
3
8
3
8
1
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 3
设离散型随机变量 X 的分布律为
X 0 1 2 3 4 5
P
16
1
16
3
16
1
16
4
16
3
16
4
则
2102 XPXPXPXP
16
1
16
3
16
1
16
5?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 3（续）
543 XPXPXP
16
4
16
3
16
7?
2135.0 XPXPXP
16
1
16
3
16
4?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 4
设随机变量 X 的分布律为
，,2141
ncnXP n,试求常数 c
解：由随机变量的性质，得
11 4
11
n
n
n
cnXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量该级数为等比级数，故有
11 4
11
n
n
n
cnXP
4
1
1
4
1
c
所以,3?c
返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过,以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律,(信号灯的工作是相互独立的 ).
P{X=3}=(1-p)3p
例 5
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量解,以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
X 的分布律为：
X
pk
0 1 2 3 4
p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp,k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
例 5(续 )
返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量以 p = 1/2 代入得：
X
pk
0 1 2 3 4
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例 5(续 )
返回主目录二、一些常用的离散型随机变量第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
1) Bernoulli分布如果随机变量 X 的分布律为
pXPpXP 110,
X 0 1
P 1- p p或则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,
为参数其中 10 ppBX,记作 1~ 返回主目录
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Bernoulli分布的概率背景进行一次 Bernoulli试验，设：
qpAPpAP 1，
令,X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的次数．
或者说：令
不发生若事件发生若事件
A
AX
0
1
pBX,1~则 返回主目录例 6
15 件产品中有 4件次品,11件正品．从中取出 1件令
X：取出的一件产品中的次品数．则 X 的取值为 0 或者 1，并且
154115110 XPXP,
．，即,?
15
41~ BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
2）二 项 分 布如果随机变量 X 的分布律为
nkppCkXP knkkn,，,?101
为参数为自然数，其中 10 pn
pnBX
pnX
，记作的二项分布，，服从参数为则称随机变量
~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录说 明显然，当 n=1 时分布．服从此时,B er n o u l l iX
pBX,1~
项分布的一个特例．
分布是二这说明,B e r n o u ll i
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录二项 分布的概率背景进行 n重 Bernoulli试验，设在每次试验中
qpAPpAP 1，
令 X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的次数．
pnBX,则 ~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录分布律的验证
⑴,由于
10 p
以及 n 为自然数，可知
nkppC knkkn,，,?1001
⑵,又由二项式定理，可知
111
0
n
n
k
knkk
n ppppC
nkppCkXP knkkn,，,?101
所以是分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 7
一张考卷上有 5道选择题，每道题列出 4个可能答案，
其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对 4道题的概率是多少？
解：每答一道题相当于做一次 Bernoulli试验，
的题数：该学生靠猜测能答对设,X
41 APA,则答对一道题则答 5道题相当于做 5重 Bernoulli试验．
415~,则 BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 7（续）
所以
44 XPP 道题至少能答对
54 XPXP
54
4
5 4
1
4
3
4
1?
C
64
1?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布
则，，若 pnBX ~
pq
kq
kpn
kXP
kXP
111
1
kXP?
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
kXP?
能次数．称为该二项分布的最可达到其最大值的 0k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录可以证明：
；不是整数，则如果 pnkpn 11 0
；
或是整数，则如果
11
11 0
pn
pnkpn
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 8
对同一目标进行 300次独立射击，设每次射击时的命中率均为 0.44，试求 300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？
解：对目标进行 300次射击相当于做 300重 Bernoulli
试验．令：
．射击中命中目标的次数,300X
则由题意．,44.0300~ BX
,它不是整数由于 44.13244.01300
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 8（续）
因此，最可能射击的命中次数为
13244.1320k
其相应的概率为
1 6 81 3 21 3 23 0 0 56.044.01 3 2 CXP
0 4 6 3 6.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
3） Poisson 分布如果随机变量 X 的分布律为
，，,210! kekkXP k
为常数其中 0
则称随机变量 X 服从 参数为 λ的 Poisson 分布,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录分布律的验证
⑴ 由于
0
可知对任意的自然数 k，有
0
!
e
k
k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
00 !! k
k
k
k
keek
所以
ee 1?
，，,210
!
ke
k
kXP
k
是分布律．
返回主目录
Poisson分布的应用
Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
自然界及工程技术中的许多随机指标都服从
Poisson分布．
例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从 Poisson分布的．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 9
设随机变量 X 服从参数为 λ的 Poisson分布，且已知
21 XPXP
解：
随机变量 X 的分布律为
,试求 4?XP
，，,210! kekkXP k
由已知
21 XPXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 9（续）
得
ee !2!1
21
由此得方程 022
得解,2
不合题意，舍去另一个解 0
所以，
24!424 eXP 2
3
2 e
0 9 0 2 2.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 10
概率．
“疗效显著”的次感冒，试求此药对他他得了
，此药一年，在这一年中是无效的．现某人服用的人来讲，则余（疗效一般）；而对其降为的人来讲，可将参数显著）；对另
（疗效降为数的人来讲，可将上述参冒的药，它对分布，现有一种预防感的冒次数服从参数设一个人在一年内的感
3
%254
%45
1%30
5
P o i s s o n
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 10（续）
解：设 B={ 此人在一年中得 3次感冒 }
该药疗效显著?1A该药疗效一般?2A
该药无效?3A 则由 Bayes公式，得
332211
11
1 ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
5
3
4
3
1
3
1
3
!3
5
25.0
!3
4
45.0
!3
1
30.0
!3
1
30.0
eee
e
1301.0?
返回主目录
Poisson定理证明：
有关．如果验总数中发生的概率，它与试在试验代表事件试验中，以设在
n
ApB e r n o u l l i n
0limnn np
ekppC
k
kn
n
k
n
k
nn ！则 1lim
nnnp令：
knnkn
kn
n
k
n
k
n
nnk
knnnn
ppC
1
121
1
！
则
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Poisson定理的证明 (续 )
kn
n
k
n
nn
k
nnk
1112111
!
对于固定的 k，有
kk
nnnnnn np limlimlim 得由
n
n
n
kn
n
n
n
kn
n
n nn
1lim1lim e
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
Poisson定理的证明 (续 )
所以，
knnknkn
n
ppC?
1lim
kn
n
k
n
n nn
k
nnk
1112111
!
lim?
kn
n
nn
k
nn nn
k
nnk
1lim112111limlim
!
1?
e
k
k
！
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
Poisson定理的应用由 Poisson 定理，可知
，，若随机变量 pnBX ~
比较小时，比较大，则当 pn
np令：
knkkn ppCkXP 1则有
e
k
k
!
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 11
设每次射击命中目标的概率为 0.012，现射击 600次，
求至少命中 3次目标的概率（用 Poisson分布近似计算）．
解：设 B={ 600次射击至少命中 3次目标 }
进行 600次射击可看作是一 600重 Bernoulli试验,
．次射击命中目标的次数,6 0 0X
．，则 0 1 2.06 0 0~ BX
．取分布近似计算，用
2.7012.0600
P o i s s o n
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 11（续）
所以，
3 XPBP31 XP
2101 XPXPXP
2.7
2
2.72.7
2
2.72.71 eee
9 7 4 5.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01,在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理,问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？
解,设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X,则 X~ b(300,0.01），需要确定最小的 N 的取值，使得：
.01.0}{ NXP
例 12
返回主目录
.99.0
!
3}{
0
3
N
k
k
k
eNXP
.01.0
!
3
!
31
0 1
33
N
k Nk
kk
k
e
k
e
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8,因此至少需配备 8 个工人。
.01.0}{ NXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，
发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理,考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由 4人维护，每人负责 20 台其二，由 3 人,共同维护 80 台,
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13
返回主目录
}.2{)()( 14321 XPAPAAAAP
.0175.0
!
)2.0(
! 2
2.0
2
k
k
k
k
k
e
k
e
解,按第一种方法,以 X 记,第 1 人负责的 20 台中同一时刻发生故障的台数,，则 X ~ b (20,0.01）,
以 Ai 表示事件,第 i 人负责的台中发生故障不能及时维修”,则 80 台中发生故障而不能及时维修 的概率为：
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
返回主目录按第二种方法,以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数,则 Y~ b(80,0.01）,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：
.0 0 9 1.0
!
)8.0(}4{
4
8.0
k
k
k
eYP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。 运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。 返回主目录
4）几 何 分 布若随机变量 X 的分布律为
，,211 kpqkXP k
100 qpqp,，其中的几何分布．服从参数为则称随机变量 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录分 布 律 的 验 证
⑴ 由条件
01 pq k有
，，可知对任意的自然数,kqp 00
⑵ 由条件可知
1
1
1
1
k
k
k
k qppq qp 1
1 1?
综上所述，可知
，,211 kpqkXP k
是一分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录几何分布的概率背景在 Bernoulli试验中，
pqAPpAP 1,
试验进行到 A 首次出现为止．
：所需试验次数．令,X
的几何分布．服从参数为则 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量即，,211 kpqkXP k
返回主目录例 14
对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为 0.64，射击进行到击中目标时为止，令：
X：所需射击次数．
试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行 2次射击才能击中目标的概率．
解,,，，，的取值为 nX 21
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
次射击时击中目标次射击均未击中，第前 nnP
nXP
1
次射击时击中目标第次射击均未击中前 nPnP 1
例 14（续）
由独立性，得 X 的分布律为：
,2,164.036.0 1 nnXP n
22 XPP 次才命中至少命中
2
1 64.036.0
k
k
36.01
36.064.0
36.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
5）超 几 何 分 布如果随机变量 X 的分布律为
nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10
均为自然数．，，其中 nMN
的超几何分布．，，服从参数为则称随机变量 nMNX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录超几何分布的概率背景一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件．
令,X：取出 n 件产品中的次品数,则 X 的分布律为
nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10
分布的超几何，，服从参数为此时，随机变量 nMNX
§ 2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布返回主目录
§ 2离散型随机变量离散型随机变量的定义如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量．
§ 2离散型随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
,，，,nxxx 21
并设
,2,1 npxXP nn
则称上式或
X 1x 2x,? nx?
P 1p 2p,? np?
为离散型随机变量 X 的分布律．
返回主目录说 明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．
即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质,
0?np
n,有⑴．对任意的自然数
1
n
np⑵．
返回主目录例 1
从 1～ 10这 10个数字中随机取出 5个数字，令：
X：取出的 5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 5,6,7,8,9,10,并且
10655
10
4
1,，, k
C
CkXP k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
252
70
25 2
12 6
返回主目录例 2
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 -3,-1,1,3,并且
X -3 -1 1 3
P
8
1
8
3
8
3
8
1
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 3
设离散型随机变量 X 的分布律为
X 0 1 2 3 4 5
P
16
1
16
3
16
1
16
4
16
3
16
4
则
2102 XPXPXPXP
16
1
16
3
16
1
16
5?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 3（续）
543 XPXPXP
16
4
16
3
16
7?
2135.0 XPXPXP
16
1
16
3
16
4?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 4
设随机变量 X 的分布律为
，,2141
ncnXP n,试求常数 c
解：由随机变量的性质，得
11 4
11
n
n
n
cnXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量该级数为等比级数，故有
11 4
11
n
n
n
cnXP
4
1
1
4
1
c
所以,3?c
返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过,以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律,(信号灯的工作是相互独立的 ).
P{X=3}=(1-p)3p
例 5
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量解,以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
X 的分布律为：
X
pk
0 1 2 3 4
p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp,k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
例 5(续 )
返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量以 p = 1/2 代入得：
X
pk
0 1 2 3 4
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例 5(续 )
返回主目录二、一些常用的离散型随机变量第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
1) Bernoulli分布如果随机变量 X 的分布律为
pXPpXP 110,
X 0 1
P 1- p p或则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,
为参数其中 10 ppBX,记作 1~ 返回主目录
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Bernoulli分布的概率背景进行一次 Bernoulli试验，设：
qpAPpAP 1，
令,X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的次数．
或者说：令
不发生若事件发生若事件
A
AX
0
1
pBX,1~则 返回主目录例 6
15 件产品中有 4件次品,11件正品．从中取出 1件令
X：取出的一件产品中的次品数．则 X 的取值为 0 或者 1，并且
154115110 XPXP,
．，即,?
15
41~ BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
2）二 项 分 布如果随机变量 X 的分布律为
nkppCkXP knkkn,，,?101
为参数为自然数，其中 10 pn
pnBX
pnX
，记作的二项分布，，服从参数为则称随机变量
~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录说 明显然，当 n=1 时分布．服从此时,B er n o u l l iX
pBX,1~
项分布的一个特例．
分布是二这说明,B e r n o u ll i
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录二项 分布的概率背景进行 n重 Bernoulli试验，设在每次试验中
qpAPpAP 1，
令 X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的次数．
pnBX,则 ~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录分布律的验证
⑴,由于
10 p
以及 n 为自然数，可知
nkppC knkkn,，,?1001
⑵,又由二项式定理，可知
111
0
n
n
k
knkk
n ppppC
nkppCkXP knkkn,，,?101
所以是分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 7
一张考卷上有 5道选择题，每道题列出 4个可能答案，
其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对 4道题的概率是多少？
解：每答一道题相当于做一次 Bernoulli试验，
的题数：该学生靠猜测能答对设,X
41 APA,则答对一道题则答 5道题相当于做 5重 Bernoulli试验．
415~,则 BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 7（续）
所以
44 XPP 道题至少能答对
54 XPXP
54
4
5 4
1
4
3
4
1?
C
64
1?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布
则，，若 pnBX ~
pq
kq
kpn
kXP
kXP
111
1
kXP?
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
kXP?
能次数．称为该二项分布的最可达到其最大值的 0k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录可以证明：
；不是整数，则如果 pnkpn 11 0
；
或是整数，则如果
11
11 0
pn
pnkpn
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 8
对同一目标进行 300次独立射击，设每次射击时的命中率均为 0.44，试求 300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？
解：对目标进行 300次射击相当于做 300重 Bernoulli
试验．令：
．射击中命中目标的次数,300X
则由题意．,44.0300~ BX
,它不是整数由于 44.13244.01300
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 8（续）
因此，最可能射击的命中次数为
13244.1320k
其相应的概率为
1 6 81 3 21 3 23 0 0 56.044.01 3 2 CXP
0 4 6 3 6.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
3） Poisson 分布如果随机变量 X 的分布律为
，，,210! kekkXP k
为常数其中 0
则称随机变量 X 服从 参数为 λ的 Poisson 分布,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录分布律的验证
⑴ 由于
0
可知对任意的自然数 k，有
0
!
e
k
k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
00 !! k
k
k
k
keek
所以
ee 1?
，，,210
!
ke
k
kXP
k
是分布律．
返回主目录
Poisson分布的应用
Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
自然界及工程技术中的许多随机指标都服从
Poisson分布．
例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从 Poisson分布的．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 9
设随机变量 X 服从参数为 λ的 Poisson分布，且已知
21 XPXP
解：
随机变量 X 的分布律为
,试求 4?XP
，，,210! kekkXP k
由已知
21 XPXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 9（续）
得
ee !2!1
21
由此得方程 022
得解,2
不合题意，舍去另一个解 0
所以，
24!424 eXP 2
3
2 e
0 9 0 2 2.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 10
概率．
“疗效显著”的次感冒，试求此药对他他得了
，此药一年，在这一年中是无效的．现某人服用的人来讲，则余（疗效一般）；而对其降为的人来讲，可将参数显著）；对另
（疗效降为数的人来讲，可将上述参冒的药，它对分布，现有一种预防感的冒次数服从参数设一个人在一年内的感
3
%254
%45
1%30
5
P o i s s o n
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 10（续）
解：设 B={ 此人在一年中得 3次感冒 }
该药疗效显著?1A该药疗效一般?2A
该药无效?3A 则由 Bayes公式，得
332211
11
1 ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
5
3
4
3
1
3
1
3
!3
5
25.0
!3
4
45.0
!3
1
30.0
!3
1
30.0
eee
e
1301.0?
返回主目录
Poisson定理证明：
有关．如果验总数中发生的概率，它与试在试验代表事件试验中，以设在
n
ApB e r n o u l l i n
0limnn np
ekppC
k
kn
n
k
n
k
nn ！则 1lim
nnnp令：
knnkn
kn
n
k
n
k
n
nnk
knnnn
ppC
1
121
1
！
则
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Poisson定理的证明 (续 )
kn
n
k
n
nn
k
nnk
1112111
!
对于固定的 k，有
kk
nnnnnn np limlimlim 得由
n
n
n
kn
n
n
n
kn
n
n nn
1lim1lim e
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
Poisson定理的证明 (续 )
所以，
knnknkn
n
ppC?
1lim
kn
n
k
n
n nn
k
nnk
1112111
!
lim?
kn
n
nn
k
nn nn
k
nnk
1lim112111limlim
!
1?
e
k
k
！
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
Poisson定理的应用由 Poisson 定理，可知
，，若随机变量 pnBX ~
比较小时，比较大，则当 pn
np令：
knkkn ppCkXP 1则有
e
k
k
!
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 11
设每次射击命中目标的概率为 0.012，现射击 600次，
求至少命中 3次目标的概率（用 Poisson分布近似计算）．
解：设 B={ 600次射击至少命中 3次目标 }
进行 600次射击可看作是一 600重 Bernoulli试验,
．次射击命中目标的次数,6 0 0X
．，则 0 1 2.06 0 0~ BX
．取分布近似计算，用
2.7012.0600
P o i s s o n
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录例 11（续）
所以，
3 XPBP31 XP
2101 XPXPXP
2.7
2
2.72.7
2
2.72.71 eee
9 7 4 5.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01,在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理,问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？
解,设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X,则 X~ b(300,0.01），需要确定最小的 N 的取值，使得：
.01.0}{ NXP
例 12
返回主目录
.99.0
!
3}{
0
3
N
k
k
k
eNXP
.01.0
!
3
!
31
0 1
33
N
k Nk
kk
k
e
k
e
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8,因此至少需配备 8 个工人。
.01.0}{ NXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，
发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理,考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由 4人维护，每人负责 20 台其二，由 3 人,共同维护 80 台,
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13
返回主目录
}.2{)()( 14321 XPAPAAAAP
.0175.0
!
)2.0(
! 2
2.0
2
k
k
k
k
k
e
k
e
解,按第一种方法,以 X 记,第 1 人负责的 20 台中同一时刻发生故障的台数,，则 X ~ b (20,0.01）,
以 Ai 表示事件,第 i 人负责的台中发生故障不能及时维修”,则 80 台中发生故障而不能及时维修 的概率为：
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
返回主目录按第二种方法,以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数,则 Y~ b(80,0.01）,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：
.0 0 9 1.0
!
)8.0(}4{
4
8.0
k
k
k
eYP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。 运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。 返回主目录
4）几 何 分 布若随机变量 X 的分布律为
，,211 kpqkXP k
100 qpqp,，其中的几何分布．服从参数为则称随机变量 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录分 布 律 的 验 证
⑴ 由条件
01 pq k有
，，可知对任意的自然数,kqp 00
⑵ 由条件可知
1
1
1
1
k
k
k
k qppq qp 1
1 1?
综上所述，可知
，,211 kpqkXP k
是一分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录几何分布的概率背景在 Bernoulli试验中，
pqAPpAP 1,
试验进行到 A 首次出现为止．
：所需试验次数．令,X
的几何分布．服从参数为则 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量即，,211 kpqkXP k
返回主目录例 14
对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为 0.64，射击进行到击中目标时为止，令：
X：所需射击次数．
试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行 2次射击才能击中目标的概率．
解,,，，，的取值为 nX 21
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
次射击时击中目标次射击均未击中，第前 nnP
nXP
1
次射击时击中目标第次射击均未击中前 nPnP 1
例 14（续）
由独立性，得 X 的分布律为：
,2,164.036.0 1 nnXP n
22 XPP 次才命中至少命中
2
1 64.036.0
k
k
36.01
36.064.0
36.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录
5）超 几 何 分 布如果随机变量 X 的分布律为
nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10
均为自然数．，，其中 nMN
的超几何分布．，，服从参数为则称随机变量 nMNX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量返回主目录超几何分布的概率背景一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件．
令,X：取出 n 件产品中的次品数,则 X 的分布律为
nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10
分布的超几何，，服从参数为此时，随机变量 nMNX
§ 2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布返回主目录
