1,概 念定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数，函数
}{)( xXPxF
称为 X 的分布函数．
对于任意的实数 x1,x2 (x1< x2),有,
).()(
}{}{}{
12
1221
xFxF
xXPxXPxXxP


x1 x2 x
X
o
}{)( xXPxF
0 x x
X
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录例 1 设随机变量 X 的分布律为,求 X 的分布函数,
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
解,当 x <-1 时，满足,的集合为的 XxX
0 ２ x
X
３-1x
.0}{}{)( PxXPxF
2,例 子
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录当,21 时 x 满足 X? x 的 X 取值为 X = -1,
.41}1{}{)( XPxXPxF
２ x
X
３-1 x
当,32 时 x 满足 X? x 的 X 取值为 X = -1,或 2
.2141}21{}{)( XXPxXPxF 或
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录同理当,3 时x?
.1}321{}{)( XXXPxXPxF 或或



.3,1
,32,
4
3
,21,
4
1
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
-1 0 1 2 3 x
1
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录
,41)21(}21{ FXP
,214143)23()25(}2523{ FFXP
,
4
3
2
1
4
3
1
}2{)2()3(
}32{



XPFF
XP
-1 0 1 2 3 x
1
§ 3 随机变量的分布函数
-1 0 1 2 3 x
1
2
1
4
1
4
1
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1,2,…) 处有跳跃，
其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，
并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,
试求随机变量 X的分布函数,
解,（ 1） 若 x < 0,则 是不可能事件，于是}{ xX?
.0)(}{)( PxXPxF
（ 2）
,}0{
,20
2xkxXP
x

由题意，若 X
§ 3 随机变量的分布函数时于是,20 x
.
4
}0{}0{}{)(
2x
xXPXPxXPXF

（ 3） 若,则 是必然事件，于是}{ xX?2?x
.1}{)( xXPxF
.
4
}20{,4/1
2x
xPk 即得与上式对比由已知得取,1}20{,2 xPx
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录

.2,1
,20,
4
,0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
0 1 2 3
1
F(x)
x
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录
3,分 布 函 数 的 性 质分别观察离散型、连续型分布函数的图象,可以看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
).()( 12
12
xFxF
xx
时，即当
10 F (x) 是一个不减的函数．
0 1 2 3
1
F(x)
x
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录
20
.1)(lim)(;0)(lim)(
,1)(0



xFFxFF
xF
xx
且
30,)(),()0( 是右连续的即 xFxFxF
-1 0 1 2 3 x
1
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率
的分布函数，则是随机变量设 XxXPxF
0 aFaXP
aXPaXPaXP
0 aFaF
aXPbXPbXaP
aFbF
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率
aXPbXPbXaP
0 aFbF
aXPbXPbXaP
aFbF 0
aXPbXPbXaP
00 aFbF
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率
bXPbXP 1bF 1
bXPbXP 101 bF
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录例 3 的分布函数为设随机变量 X




x
x
x
x
x
x
xF
31
32
12
11
21
3
2
10
2
00
3?XP试求：⑴．
3?XP⑵．
1?XP⑶．



2
1XP⑷．
42 XP⑸．
31 XP⑹．
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录例 3（续）解：
33 FXP⑴．
033 FXP⑵．
0111 FFXP⑶．
21121 FXP⑷．
20442 FFXP⑸．
010331 FFXP⑹．
1?
12
11?
6
1
2
1
3
2
4
3
4
11
12
1
12
111
12
5
2
1
12
11
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录例 4设随机变量 X 的分布函数为
xB a r c t g xAxF
．、试求常数 BA
解：
由分布函数的性质，我们有
B a r c t g xAxF xx l i ml i m0 BA
2

B a r c t g xAxF xx limlim1
BA 2
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录例 4（续）
解方程组


1
2
0
2
BA
BA
得解
．,?121 BA
§ 3 随机变量的分布函数返回主目录