§ 4 连续型随机变量的概率密度
概率密度及其性质
指数分布
均匀分布
正态分布与标准正态分布返回主目录一,连续型随机变量的概念与性质
§ 4 连续型随机变量的概率密度定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，
存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有则称 X 为 连续型随机变量,其中函数 f (x) 称为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度,
x dttfxF,)()(
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
.0)(1 0?xf
.1)(2 0
dxxf
f (x)
0 x
1
返回主目录
)(.)(
)()(}{3
21
1221
0
2
1
xxdxxf
xFxFxXxP
x
x
f (x)
x0
1x 2x
).()(
)(4 0
xfxF
xxf
处连续，则有在点若
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录注 意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是,密度函数不是概率！
我们不能认为, ！afaXP
§ 4 连续型随机变量的概率密度
，对任意的实数是连续型随机变量，则设 aX
0 aXP有连续型随机变量的一个重要特点返回主目录
aXP?
aXnaPn
1lim
§ 4 连续型随机变量的概率密度证明：
所以有
0 aXP
0
a
a
n
n
dxxf
1
lim
返回主目录说 明
⑴,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
,的密度函数为若已知连续型随机变量 xfX
取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX
G
dxxfGXP 返回主目录例 1
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
其它0
2024 2 xxxcxf
解：
⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数 c．⑵,1?XP
1
dxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 1（续）
dxxf1得
2
0
224 dxxxc
2
0
32
3
22
xxc c
3
8?
8
3?c所以，
1
1 dxxfXP⑵,
2
2
1
dxxfdxxf
2
2
0
0
dxxfdxxfdxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 1（续）
2
1
224
8
3 dxxx
2
1
32
3
2
2
8
3
xx
2
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 2
某电子元件的寿命（单位：小时）是以
1 0 01 0 0
1 0 00
2 xx
x
xf
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率,
解：
设,A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换 }
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 2（续）
1 5 0 XPAP则检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个 5
重 Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过 150
小时 }
1 5 0
dxxf
150
100
2
1 0 0 dx
x 3
1?
32
2
5 3
2
3
1
CBP则
243
80?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度的分布函数为设连续型随机变量 X
xa r c t g xxF?121
的密度函数．试求 X
解：
，则的密度函数为设 xfX
xFxf
xx 21
11
例 3
返回主目录例 4
的密度函数为设随机变量 X
其它0
212
10
xx
xx
xf
的分布函数．试求 X
解：
x
dttfxFx 时，当 0 0?
x
dttfxFx 时，当 10
x
dttfdttf
0
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 4（续）
x
tdt
0 2
2x
x
dttfxFx 时，当 21
x
dttfdttfdttf
1
1
0
0
x
dttt d t
1
1
0
2 1221 2 xx
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 4（续）
x
dttfxFx 时，当 2
x
dttfdttfdttfdttf
2
2
1
1
0
0
2
1
1
0
2 dttt d t
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 4（续）
的分布函数量综上所述，可得随机变 X
x
xx
x
x
x
x
xF
21
2112
2
10
2
00
2
2
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录二,一些常用的连续型随机变量
§ 4 连续型随机变量的概率密度
1．均 匀 分 布若随机变量 X 的密度函数为
其它0
1
bxa
abxf
上的均匀分布．，服从区间则称随机变量 baX
记作 X ~ U [a,b] 返回主目录密度函数的验证
则有：
是其密度函数，上的均匀分布，，区间设 xfbaX ~
；，有⑴．对任意的 0?xfx
b
b
a
a
dxxfdxxfdxxfdxxf⑵．
b
a
dxab 1,1?
确是密度函数．
其它
0
1
bxa
abxf由此可知，
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录说 明
⑴,类似地，我们可以定义
上的均匀分布；，区间 ba
上的均匀分布；，区间 ba
上的均匀分布．，区间 ba
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录均匀分布的概率背景
该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量
baX
baX
上取值是等可能的．，在区间量这时，可以认为随机变 baX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
X X
a b x
l l
0
lcc dxxflcXcP )(}{
.1 ab ldxablc
c?
返回主目录均匀分布的分布函数
的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量
X
baX
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
a b x
F (x)
0
1
返回主目录例 5
设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车,
如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率．
解：
设该乘客于 7时 X分到达此站．
上的均匀分布．，服从区间则 300X
§ 4 连续型随机变量的概率密度其密度函数为
其它0
300
30
1
xxf
返回主目录例 5（续）
令,B={ 候车时间不超过 5分钟 }
30251510 XPXPBP则
30
25
15
10 30
1
30
1 dxdx
3
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 6
上的均匀分布，，服从区间设随机变量 63
试求方程
0244 2 xx
有实根的概率．
解：
的密度函数为随机变量?
其它0
63
9
1
xxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 6（续）
有实根方程设,0244 2 xxA
02444 2PAP则
021P
21 或P
6
2
1
3 9
1
9
1 dxdx
9
4
9
2
3
2?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
2．指 数 分 布如果随机变量 X 的密度函数为
00
0
x
xexf x
的指数分布．参数为服从为常数，则称随机变量其中
0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证
是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设 xfX?~
；，有⑴．对任意的 0?xfx
0
0
dxxfdxxfdxxf⑵．
0
dxe x,1?
由此可知，
0
xe
确是一密度函数．
00
0
x
xexf x
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录指数分布的分布函数的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量
X
X?
01
00
xe
x
xF x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 7
分钟之间的概率．钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电
．如果某人刚为参数的指数随机变量以
（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时
20
10
10
1
X
解：
的密度函数为X
00
0
10
1 10
x
xexf
x
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 7（续）
2010 XPBP则令,B={ 等待时间为 10~20分钟 }
20
10
10
10
1 dxe x
20
10
10
10
1 xe
21 ee 2 3 2 5.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
3．正 态 分 布的密度函数为如果连续型随机变量 X
xexf
x
2
2
2
2
1?
，为参数，其中 0
正态分布．记作的，服从，参数为则称随机变量 2X
2~,NX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0?
标准正态分布
为标准正态分布．，，我们称，若 1010 N
数为标准正态分布的密度函
xex
x
2
2
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证
是其密度函数，则有：，，设 xfNX 2~
x
exf
x
0
2
1 2
2
2?
§ 4 连续型随机变量的概率密度下面验证：
1
2
1 2
2
2
dxedxxf
x
返回主目录密度函数的验证 (续 )
下面验证：
12 1 2
2
2
dxedxxf
x
首先验证：
1
2
1 2 2
dxedxx
x
22
2
dxe x或验证：
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
为此，我们只需证明：
2
2
2
2
dxe
x
dyedxedxe
yxx
22
2
2
222
dydxee
yx
22
22
dydxe
yx
2
22
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
则有，，作极坐标变换, s i nco s ryrx
0
2
2
0
2
2
22
r d reddxe
rx?
0
2
2
2
r
e?
2?
22
2
dxe
x
因此，
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
下面验证：
1
2
1 2
2
2
dxe
x
dxduxu 则，作变换：
dx
edxe
xx 2
2
2
2
1
2
2
1
2
1则有
1?
due
u
2
2
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
综上所述，
xexf
x
2
2
2
2
1
是一个密度函数．
确本条件，因此满足密度函数的两项基 xf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质
我们有：由高等数学中的知识，
数对于正态分布的密度函
xexf
x
2
2
2
2
1
hXPXhP
h
x
，有这表明：对于任意的对称，⑴．曲线关于直线
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0?h h
正态分布密度函数的图形性质（续）
越小．落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小．这表明，越远，离取到最大值时，⑵．当
X
xfx
f
xfx
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）
轴为渐近线．以曲线处有拐点；在⑶．曲线
Oxxfy
xxfy
确定．
所图形的位置完全由参数因此其形状．轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变⑷．若
xfy
x
xf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）
的取值越分散．形越平坦，这表明的图越大时，，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变⑸．若
X
xfy
Xxfy
f
xf
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0? 1?
返回主目录正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：
⑴,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
⑵,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．
⑶,正态分布可以作为许多分布的近似分布．
返回主目录标准正态分布的计算
,则其密度函数为，如果随机变量 10~ NX
,
2
1 2 2xex
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
其分布函数为表，页列出了标准正态分布教科书上第 3 7 1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录标准正态分布的计算（续）
xXPxx 我们可直接查表求出对于 0
x tx
dtedttx 2
2
2
1
，我们可由公式如果 0?x
，得，作变换 dudtut
x u
duex 2
2
2
1
x
u
due 2
2
2
1
x u
due 2
2
2
11
x 1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x0
)(x?
x-x
一般正态分布的计算
)1,0(~~ 2 NXYNX，则，设
}{ yXPyYPyF Y
y t
dte
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换 dtdutu
y u
Y dueyF
2
2
2
1
y
§ 4 连续型随机变量的概率密度
}{ yXP
}{)( xXPxF X
)(}{ xxXP
一般正态分布的计算（续）
函数．是标准正态分布的分布其中,x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
).()
-b
(b}X P { a
,
a
ba 有故对任意的
}{)( xXPxF X
)(}{ xxXP
返回主目录例 8
．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
2121
10~
XPXP
NX
解：
1221 XP⑴．
8 4 1 3 4.09 7 7 2 5.0 3 5 9 1.0?
1221 XP⑵．
112
8 4 1 3 4.019 7 7 2 5.0 8 1 8 5 9.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
．；⑶．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
06251
92~
XPXPXP
NX
解：
)1()5(51 FFXP⑴．
)3 21()3 25(
3
11
1311
162930.084134.0
4 7 0 6 4.0?
例 9
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
62162 XPXP⑵．
6261 XP
841 XP
)]3 24()3 28([1221
212 0 4 5 5.09 7 7 2 5.012
§ 4 连续型随机变量的概率密度例 9续返回主目录
010 XPXP⑶．
)
3
20(1
3
21
7 4 8 6.0
3
2
§ 4 连续型随机变量的概率密度例 9续返回主目录例 10
的概率．不超过个月的月降水量都起连续的正态分布．求从某月
）（单位：，某地区的月降水量服从
cm
cm
50
10
440
解：
2440~,则：该地区的月降水量．设,NXX
．月降水量不超过再设,cmA 50?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
50 XPAP则,)
4
4050(
返回主目录例 10（续）
5.2 9 9 3 7 9.0?
cmP 5010 个月降水量都不超过连续所以，
109 9 3 7 9.0?
9 3 9 6.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度分位点。为标准正态分布的上则称点满足条件若设
z
z
zNX
,10,} P { X
),1,0(~
0 x
)(x?
.57.2,645.1z
,z
,57.2,645.1z
995.00,9 5
-1
005.00,0 5
z
z
z
查表可知
z1z
的密度函数为如果连续型随机变量 X
00
01
x
xex
rxf
xr
r
为参数，其中 00r
，记作：
分布．的，服从参数为则称随机变量
rX
rX
~
§ 4 连续型随机变量的概率密度
4,-分布,?
返回主目录
Γ- 函 数函数的定义：
0
1 dxexr xr
．，函数的定义域, 0
．函数的性质,rrr 1
,,
2
111
,！为自然数，则如果 1 nnn
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
,得，则由如果 111r
00
0
x
xexf x
的指数分布．这正是参数为?
分布的一个特例．这说明指数分布是
§ 4 连续型随机变量的概率密度说明：
！得，由如果 1 nnnr
00
0
!1
1
x
xex
nxf
xn
n
要的分布之一．分布，它是排队论中重我们称此分布为 E r l a n g
为自然数，则有，其中，如果 nnr 212
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
n
xf
xn
n
的分布之一．它是数理统计学中重要
．分布，记作的为我们称此分布为自由度 nn 22
§ 4 连续型随机变量的概率密度说明：
返回主目录
概率密度及其性质
指数分布
均匀分布
正态分布与标准正态分布返回主目录一,连续型随机变量的概念与性质
§ 4 连续型随机变量的概率密度定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，
存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有则称 X 为 连续型随机变量,其中函数 f (x) 称为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度,
x dttfxF,)()(
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
.0)(1 0?xf
.1)(2 0
dxxf
f (x)
0 x
1
返回主目录
)(.)(
)()(}{3
21
1221
0
2
1
xxdxxf
xFxFxXxP
x
x
f (x)
x0
1x 2x
).()(
)(4 0
xfxF
xxf
处连续，则有在点若
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录注 意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是,密度函数不是概率！
我们不能认为, ！afaXP
§ 4 连续型随机变量的概率密度
，对任意的实数是连续型随机变量，则设 aX
0 aXP有连续型随机变量的一个重要特点返回主目录
aXP?
aXnaPn
1lim
§ 4 连续型随机变量的概率密度证明：
所以有
0 aXP
0
a
a
n
n
dxxf
1
lim
返回主目录说 明
⑴,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
,的密度函数为若已知连续型随机变量 xfX
取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX
G
dxxfGXP 返回主目录例 1
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
其它0
2024 2 xxxcxf
解：
⑴．由密度函数的性质；求：⑴．常数 c．⑵,1?XP
1
dxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 1（续）
dxxf1得
2
0
224 dxxxc
2
0
32
3
22
xxc c
3
8?
8
3?c所以，
1
1 dxxfXP⑵,
2
2
1
dxxfdxxf
2
2
0
0
dxxfdxxfdxxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 1（续）
2
1
224
8
3 dxxx
2
1
32
3
2
2
8
3
xx
2
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 2
某电子元件的寿命（单位：小时）是以
1 0 01 0 0
1 0 00
2 xx
x
xf
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率,
解：
设,A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换 }
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 2（续）
1 5 0 XPAP则检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个 5
重 Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过 150
小时 }
1 5 0
dxxf
150
100
2
1 0 0 dx
x 3
1?
32
2
5 3
2
3
1
CBP则
243
80?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度的分布函数为设连续型随机变量 X
xa r c t g xxF?121
的密度函数．试求 X
解：
，则的密度函数为设 xfX
xFxf
xx 21
11
例 3
返回主目录例 4
的密度函数为设随机变量 X
其它0
212
10
xx
xx
xf
的分布函数．试求 X
解：
x
dttfxFx 时，当 0 0?
x
dttfxFx 时，当 10
x
dttfdttf
0
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 4（续）
x
tdt
0 2
2x
x
dttfxFx 时，当 21
x
dttfdttfdttf
1
1
0
0
x
dttt d t
1
1
0
2 1221 2 xx
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 4（续）
x
dttfxFx 时，当 2
x
dttfdttfdttfdttf
2
2
1
1
0
0
2
1
1
0
2 dttt d t
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 4（续）
的分布函数量综上所述，可得随机变 X
x
xx
x
x
x
x
xF
21
2112
2
10
2
00
2
2
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录二,一些常用的连续型随机变量
§ 4 连续型随机变量的概率密度
1．均 匀 分 布若随机变量 X 的密度函数为
其它0
1
bxa
abxf
上的均匀分布．，服从区间则称随机变量 baX
记作 X ~ U [a,b] 返回主目录密度函数的验证
则有：
是其密度函数，上的均匀分布，，区间设 xfbaX ~
；，有⑴．对任意的 0?xfx
b
b
a
a
dxxfdxxfdxxfdxxf⑵．
b
a
dxab 1,1?
确是密度函数．
其它
0
1
bxa
abxf由此可知，
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录说 明
⑴,类似地，我们可以定义
上的均匀分布；，区间 ba
上的均匀分布；，区间 ba
上的均匀分布．，区间 ba
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录均匀分布的概率背景
该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与取值的概率与该子区上的任意一个子区间上，在区间变量上的均匀分布，则随机，服从区间如果随机变量
baX
baX
上取值是等可能的．，在区间量这时，可以认为随机变 baX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
X X
a b x
l l
0
lcc dxxflcXcP )(}{
.1 ab ldxablc
c?
返回主目录均匀分布的分布函数
的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量
X
baX
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
a b x
F (x)
0
1
返回主目录例 5
设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车,
如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率．
解：
设该乘客于 7时 X分到达此站．
上的均匀分布．，服从区间则 300X
§ 4 连续型随机变量的概率密度其密度函数为
其它0
300
30
1
xxf
返回主目录例 5（续）
令,B={ 候车时间不超过 5分钟 }
30251510 XPXPBP则
30
25
15
10 30
1
30
1 dxdx
3
1?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 6
上的均匀分布，，服从区间设随机变量 63
试求方程
0244 2 xx
有实根的概率．
解：
的密度函数为随机变量?
其它0
63
9
1
xxf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 6（续）
有实根方程设,0244 2 xxA
02444 2PAP则
021P
21 或P
6
2
1
3 9
1
9
1 dxdx
9
4
9
2
3
2?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
2．指 数 分 布如果随机变量 X 的密度函数为
00
0
x
xexf x
的指数分布．参数为服从为常数，则称随机变量其中
0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证
是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设 xfX?~
；，有⑴．对任意的 0?xfx
0
0
dxxfdxxfdxxf⑵．
0
dxe x,1?
由此可知，
0
xe
确是一密度函数．
00
0
x
xexf x
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录指数分布的分布函数的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量
X
X?
01
00
xe
x
xF x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 7
分钟之间的概率．钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电
．如果某人刚为参数的指数随机变量以
（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时
20
10
10
1
X
解：
的密度函数为X
00
0
10
1 10
x
xexf
x
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录例 7（续）
2010 XPBP则令,B={ 等待时间为 10~20分钟 }
20
10
10
10
1 dxe x
20
10
10
10
1 xe
21 ee 2 3 2 5.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
3．正 态 分 布的密度函数为如果连续型随机变量 X
xexf
x
2
2
2
2
1?
，为参数，其中 0
正态分布．记作的，服从，参数为则称随机变量 2X
2~,NX
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0?
标准正态分布
为标准正态分布．，，我们称，若 1010 N
数为标准正态分布的密度函
xex
x
2
2
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证
是其密度函数，则有：，，设 xfNX 2~
x
exf
x
0
2
1 2
2
2?
§ 4 连续型随机变量的概率密度下面验证：
1
2
1 2
2
2
dxedxxf
x
返回主目录密度函数的验证 (续 )
下面验证：
12 1 2
2
2
dxedxxf
x
首先验证：
1
2
1 2 2
dxedxx
x
22
2
dxe x或验证：
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
为此，我们只需证明：
2
2
2
2
dxe
x
dyedxedxe
yxx
22
2
2
222
dydxee
yx
22
22
dydxe
yx
2
22
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
则有，，作极坐标变换, s i nco s ryrx
0
2
2
0
2
2
22
r d reddxe
rx?
0
2
2
2
r
e?
2?
22
2
dxe
x
因此，
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
下面验证：
1
2
1 2
2
2
dxe
x
dxduxu 则，作变换：
dx
edxe
xx 2
2
2
2
1
2
2
1
2
1则有
1?
due
u
2
2
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录密度函数的验证 (续 )
综上所述，
xexf
x
2
2
2
2
1
是一个密度函数．
确本条件，因此满足密度函数的两项基 xf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质
我们有：由高等数学中的知识，
数对于正态分布的密度函
xexf
x
2
2
2
2
1
hXPXhP
h
x
，有这表明：对于任意的对称，⑴．曲线关于直线
0
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0?h h
正态分布密度函数的图形性质（续）
越小．落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小．这表明，越远，离取到最大值时，⑵．当
X
xfx
f
xfx
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）
轴为渐近线．以曲线处有拐点；在⑶．曲线
Oxxfy
xxfy
确定．
所图形的位置完全由参数因此其形状．轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变⑷．若
xfy
x
xf
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录正态分布密度函数的图形性质（续）
的取值越分散．形越平坦，这表明的图越大时，，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变⑸．若
X
xfy
Xxfy
f
xf
2
1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x
f (x)
0? 1?
返回主目录正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：
⑴,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
§ 4 连续型随机变量的概率密度
⑵,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．
⑶,正态分布可以作为许多分布的近似分布．
返回主目录标准正态分布的计算
,则其密度函数为，如果随机变量 10~ NX
,
2
1 2 2xex
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
其分布函数为表，页列出了标准正态分布教科书上第 3 7 1
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录标准正态分布的计算（续）
xXPxx 我们可直接查表求出对于 0
x tx
dtedttx 2
2
2
1
，我们可由公式如果 0?x
，得，作变换 dudtut
x u
duex 2
2
2
1
x
u
due 2
2
2
1
x u
due 2
2
2
11
x 1
§ 4 连续型随机变量的概率密度
x0
)(x?
x-x
一般正态分布的计算
)1,0(~~ 2 NXYNX，则，设
}{ yXPyYPyF Y
y t
dte
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换 dtdutu
y u
Y dueyF
2
2
2
1
y
§ 4 连续型随机变量的概率密度
}{ yXP
}{)( xXPxF X
)(}{ xxXP
一般正态分布的计算（续）
函数．是标准正态分布的分布其中,x?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
).()
-b
(b}X P { a
,
a
ba 有故对任意的
}{)( xXPxF X
)(}{ xxXP
返回主目录例 8
．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
2121
10~
XPXP
NX
解：
1221 XP⑴．
8 4 1 3 4.09 7 7 2 5.0 3 5 9 1.0?
1221 XP⑵．
112
8 4 1 3 4.019 7 7 2 5.0 8 1 8 5 9.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
．；⑶．；⑵．⑴．
，试求：，设随机变量
06251
92~
XPXPXP
NX
解：
)1()5(51 FFXP⑴．
)3 21()3 25(
3
11
1311
162930.084134.0
4 7 0 6 4.0?
例 9
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
62162 XPXP⑵．
6261 XP
841 XP
)]3 24()3 28([1221
212 0 4 5 5.09 7 7 2 5.012
§ 4 连续型随机变量的概率密度例 9续返回主目录
010 XPXP⑶．
)
3
20(1
3
21
7 4 8 6.0
3
2
§ 4 连续型随机变量的概率密度例 9续返回主目录例 10
的概率．不超过个月的月降水量都起连续的正态分布．求从某月
）（单位：，某地区的月降水量服从
cm
cm
50
10
440
解：
2440~,则：该地区的月降水量．设,NXX
．月降水量不超过再设,cmA 50?
§ 4 连续型随机变量的概率密度
50 XPAP则,)
4
4050(
返回主目录例 10（续）
5.2 9 9 3 7 9.0?
cmP 5010 个月降水量都不超过连续所以，
109 9 3 7 9.0?
9 3 9 6.0?
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
§ 4 连续型随机变量的概率密度分位点。为标准正态分布的上则称点满足条件若设
z
z
zNX
,10,} P { X
),1,0(~
0 x
)(x?
.57.2,645.1z
,z
,57.2,645.1z
995.00,9 5
-1
005.00,0 5
z
z
z
查表可知
z1z
的密度函数为如果连续型随机变量 X
00
01
x
xex
rxf
xr
r
为参数，其中 00r
，记作：
分布．的，服从参数为则称随机变量
rX
rX
~
§ 4 连续型随机变量的概率密度
4,-分布,?
返回主目录
Γ- 函 数函数的定义：
0
1 dxexr xr
．，函数的定义域, 0
．函数的性质,rrr 1
,,
2
111
,！为自然数，则如果 1 nnn
§ 4 连续型随机变量的概率密度返回主目录
,得，则由如果 111r
00
0
x
xexf x
的指数分布．这正是参数为?
分布的一个特例．这说明指数分布是
§ 4 连续型随机变量的概率密度说明：
！得，由如果 1 nnnr
00
0
!1
1
x
xex
nxf
xn
n
要的分布之一．分布，它是排队论中重我们称此分布为 E r l a n g
为自然数，则有，其中，如果 nnr 212
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
n
xf
xn
n
的分布之一．它是数理统计学中重要
．分布，记作的为我们称此分布为自由度 nn 22
§ 4 连续型随机变量的概率密度说明：
返回主目录
