§ 5 矩
1,定义若 kEX 存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。
所以 EX 是一阶原点矩,DX 是二阶中心矩，
协方差 C o v ( X,Y ) 是二阶混合中心矩。
若 kEXXE )(? 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
若 lk EYYEXXE )()( 存在，称之为 X 和 Y 的 k + l
阶混合中心矩。
§ 5 矩第四章 随机变量的数字特征返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩例 1
,，试求，设随机变量 nXENX 20~?
解：
DX
EXXY令：
X．，则 10~ NY
所以，
nnn YEXE
dyyfy Ynn
dyey
y
n
n
2
2
2?
,
数是奇函数，所以为奇数时，由于被积函⑴．当
0?nXE
n
返回主目录第四章 随机变量的数字特征数是偶函数，所以为偶数时，由于被积函．当 n)2(
0
2
2
2
2
dyeyEX
y
n
n
n
dttdttdy
tyt
y
2
1
2
1
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1
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,2,
2
则令：
)
2
1
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2
n
dtet
dtetEX
nn
t
nnn
t
nnn
n
返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
,得函数的性质：利用 rrr 1
2
12 2 nnn
2
1
2
12 2 nnXE nn n
2
3
2
3
2
12 2 nnnnn
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1
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3
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2
2
2
!!12
n
n nn?
!!1 nn?
.)(
0
1 dxext xt?
其中返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩因而，
为奇数为偶数
n
nnXE nn
0
!!1?
其中，
为偶数为奇数
nn
nn
n
642
531
!!
则，特别，若,10~ NX
,34,0 !!1 4
EXn
n
nnXE n 时，
为奇数为偶数返回主目录
2,n维正态分布的性质
1) n 维随机变量 ),,( 1 nXX? 服从 n 维正态分布? nXX,,1?
的任意线性组合 nn XlXl11 服从一维正态分布。
2) 若 ),,( 1 nXX? 服从 n 维正态分布,nYY,,1? 是 ),,1( njX j
的线性函数，则 ),,( 1 nYY? 也服从正态分布。
3 ) 若 ),,( 1 nXX? 服从 n 维正态分布，则 nXX,,1? 相互独立? nXX,,1? 两两不相关。
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩例 2
),9,2(~),4,1(~,)1( NYNXYX 独立，设的分布；求,YX?2
解：
的分布；求,YX?2
02)2()1( EYEXYXE
259444)2( DYDXYXD
)25,0(~2 NYX?则：
13 32
2
14254-25
),(224)2()2(
XY
DYDX
YXC O VDYDXYXD
)13,0(~2 NYX?则：
返回主目录
)5.0;9,4;2,1(~),()2( NYX
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩的密度函数为设二维随机变量例 ),(3 YX
)],,(),([21),( 21 yxyxyxf
.1
3
1
3
1
),(),( 21
方差都是量的数学期望都是零，度函数所对应的随机变
，它们的边缘密和系数分别为的二维随机变量的相关
，且它们对应都是二维正态密度函数和其中
yxyx
(1)求随机变量 和 的密度函数 和,
及 和 的相关系数
(2)问 和 是否独立？为什么？
X Y )(xfX )(yfY
X Y
YX
解 （ 1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此有第四章 随机变量的数字特征
dyyxdyyxdyyxfxf
X ),(),(2
1),()(
21;
2
1
2
1
2
1
2
1 222
222 xxx
eee
)( yf Y
同理，;
2
1 22xe?
.1,0
),1,0(~),1,0(~
DYDXEYEX
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所以则随机变量 和 的相关系数X Y
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
d x d yyxxyd x d yyxxy
d x d yyxxyf
),(),(
2
1
),(
21
（ 2）由题设
,
28
3),( )32(16 9)32(16 9 2222
yxyxyxyx
eeyxf
.0313121
第四章 随机变量的数字特征
,
2
1
2
1)()( 222
2222 yxyx
YX eeeyfxf
,
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3),( )32(16 9)32(16 9 2222
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.
).()(),(
不独立与所以 YX
yfxfyxf YX
1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。
2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。
4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。
5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。
6 给出了矩与协方差矩阵。
作业：
第四章 小 结返回主目录,30,27,25,24,22,21,20,18,17,13,12,11,10,7,5,3126P
1,定义若 kEX 存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。
所以 EX 是一阶原点矩,DX 是二阶中心矩，
协方差 C o v ( X,Y ) 是二阶混合中心矩。
若 kEXXE )(? 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
若 lk EYYEXXE )()( 存在，称之为 X 和 Y 的 k + l
阶混合中心矩。
§ 5 矩第四章 随机变量的数字特征返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩例 1
,，试求，设随机变量 nXENX 20~?
解：
DX
EXXY令：
X．，则 10~ NY
所以，
nnn YEXE
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,
数是奇函数，所以为奇数时，由于被积函⑴．当
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§ 5 矩
,得函数的性质：利用 rrr 1
2
12 2 nnn
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其中返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩因而，
为奇数为偶数
n
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其中，
为偶数为奇数
nn
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642
531
!!
则，特别，若,10~ NX
,34,0 !!1 4
EXn
n
nnXE n 时，
为奇数为偶数返回主目录
2,n维正态分布的性质
1) n 维随机变量 ),,( 1 nXX? 服从 n 维正态分布? nXX,,1?
的任意线性组合 nn XlXl11 服从一维正态分布。
2) 若 ),,( 1 nXX? 服从 n 维正态分布,nYY,,1? 是 ),,1( njX j
的线性函数，则 ),,( 1 nYY? 也服从正态分布。
3 ) 若 ),,( 1 nXX? 服从 n 维正态分布，则 nXX,,1? 相互独立? nXX,,1? 两两不相关。
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩例 2
),9,2(~),4,1(~,)1( NYNXYX 独立，设的分布；求,YX?2
解：
的分布；求,YX?2
02)2()1( EYEXYXE
259444)2( DYDXYXD
)25,0(~2 NYX?则：
13 32
2
14254-25
),(224)2()2(
XY
DYDX
YXC O VDYDXYXD
)13,0(~2 NYX?则：
返回主目录
)5.0;9,4;2,1(~),()2( NYX
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩的密度函数为设二维随机变量例 ),(3 YX
)],,(),([21),( 21 yxyxyxf
.1
3
1
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方差都是量的数学期望都是零，度函数所对应的随机变
，它们的边缘密和系数分别为的二维随机变量的相关
，且它们对应都是二维正态密度函数和其中
yxyx
(1)求随机变量 和 的密度函数 和,
及 和 的相关系数
(2)问 和 是否独立？为什么？
X Y )(xfX )(yfY
X Y
YX
解 （ 1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此有第四章 随机变量的数字特征
dyyxdyyxdyyxfxf
X ),(),(2
1),()(
21;
2
1
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同理，;
2
1 22xe?
.1,0
),1,0(~),1,0(~
DYDXEYEX
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所以则随机变量 和 的相关系数X Y
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
d x d yyxxyd x d yyxxy
d x d yyxxyf
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21
（ 2）由题设
,
28
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第四章 随机变量的数字特征
,
2
1
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1)()( 222
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不独立与所以 YX
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1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。
2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。
4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。
5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。
6 给出了矩与协方差矩阵。
作业：
第四章 小 结返回主目录,30,27,25,24,22,21,20,18,17,13,12,11,10,7,5,3126P
