§ 5 随机变量的函数的分布
离散型
连续型
定理及其应用返回主目录随机变量的函数也是一个随机变量,xgyYxX?取值时，取值当
§ 5 随机变量的函数的分布本节的任务就是：
的分布．要求随机变量
，的分布，并且已知已知随机变量
Y
XgYX?
的函数，是是一随机变量，设 XYXXgY? Y则,
返回主目录一、离散型随机变量的函数分布律为是离散型随机变量，其设 X
,2,1 npxXP nn
X 1x 2x,? nx?
P 1p 2p,? np?
或
量，它的取值为也是离散型随机变，则的函数：是 YXgYXY?
,，，,nyyy 21
，，其中 21 nxgy nn
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录第 一 种 情 形如果,，，,nyyy 21
两两不相同，则由
，,21 nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
,2,1 npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny?
P 1p 2p,? np?
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录第 二 种 情 形如果,，，,nyyy 21 有相同的项，
,的分布律随机变量应的概率相加，即可得相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY?
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 1
的分布律为设离散型随机变量 X
X -3 -1 0 2 6 9
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
的分布律．，试求随机变量 YXY 32
解：
的取值为随机变量 32 XY
，，，，，,1591359
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 1（续）
Y -9 -5 -3 1 9 15
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
32 XY
§ 5 随机变量的函数的分布
．这些取值两两互不相同 由此得随机变量的分布律为返回主目录设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2
的分布律,
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4
解,Y 有可能取的值为 0,1,4.
且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0,解得 X=1，
所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
§ 5 随机变量的函数的分布例 2
返回主目录同理,
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
pk
Y 0 1 4
0.1 0.7 0.2
所以,Y=(X-1)2 的分布律为：
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)
2
§ 5 随机变量的函数的分布例 2（续）
返回主目录例 3
的分布律为设离散型随机变量 X
X 1 2 … n …
P
2
1
2
2
1 …
n
2
1 …
为偶数若为奇数若
X
X
XgY
1
1
的分布律．试求随机变量 Y
解：
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 3（续）
为奇数n
nXPYP 1
0
12
k
kXP
0
122
1
k
k 3
2?
为偶数n
nXPYP 1
0
2
k
kXP
0
22
1
k
k 3
1?
§ 5 随机变量的函数的分布 Y -1 1
P
3
2
3
1
的分布律为所以，随机变量 Y
二,连续型随机变量函数的分布
§ 5 随机变量的函数的分布
,其密度函数为是一连续型随机变量，设 xfX X
随机变量．
也是连续型，我们假定的函数是再设 YXXgY?
．的密度函数我们要求的是 yfXgY Y?
解 题 思 路
yxg
XY dxxfyXgPyYPyF
XgY
)(
)(
的分布函数⑴．先求
yFyfXgY
XgY
YY
的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数⑵．利用
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
Xf X
设随机变量 X 具有 概率密度：
试求 Y=2X+8 的概率密度,
解,(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
}
2
8
{}82{
}{)(
y
XPyXP
yYPyF Y
§ 5 随机变量的函数的分布例 4
返回主目录可以求得：利用 )()()2( yfyF YY
.,0
,4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1
)
2
8
()
2
8
()(
其它
yy
yy
fyf
XY
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
.,0
,40,8)(
其它
xxXf
X
§ 5 随机变量的函数的分布例 4（续）
返回主目录
.,0
,168,
32
8
)(
其它
y
y
yf Y
整理得 Y=2X+8 的概率密度为,
本例用到变限的定积分的求导公式
).()]([)()]([)(
,)()(
)(
)(
xxfxxfxF
dttfxF
x
x
则如果
§ 5 随机变量的函数的分布例 4（续）
设随机变量 X 具有 概率密度,),( xxf
X
求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
.0)(0,01 20 yFyXY Y时故当由于
y
y
X
Y
dxxfyXyP
yXPyYPyF
y
.)(}{
}{}{)(
,02
2
0
时当
§ 5 随机变量的函数的分布例 5
返回主目录得：及变限定积分求导公式利用 )()()2( yfyF YY
.0,0
,0),()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
y y XY dxxfyF,)()(
§ 5 随机变量的函数的分布例 5（续）
返回主目录
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y?
例如,设 X~N(0,1),其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
xex
x
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21?Y
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 6
．的密度函数求随机变量
，试，的密度函数为随机变量设
yfY
XYxfX
Y
X?
解：
yFY
yFX
Y
X
的分布函数为
，随机变量的分布函数为设随机变量
yYPyF YyXP
，则⑴．若 0?y
yYPyF YyXP P 0?
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 6（续）
，则⑵．若 0?y
yXyP
yYPyF YyXP
yFyF XX
的分布函数为综上所述，得随机变量 Y
00
0
y
yyFyF
yF XXY
§ 5 随机变量的函数的分布的密度函数为对上式求导，可得 XY?
00
0
y
yyfyf
yf XXY 返回主目录定理设随机变量 X 具有概率密度,,)( xxf
X
).0)((0)()( xgxgxg 或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y,其概率密度为
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数,
即 ) },(),(m a x {
) },(),(m in {
gg
gg
§ 5 随机变量的函数的分布
)()(1 yhygx
返回主目录此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若
),0)((0)(],[
],[)(
xgxgba
baxf
) },(),(m ax {) },(),(m i n { bgagbgag这里
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
§ 5 随机变量的函数的分布定理（续）
返回主目录证明：
yhXPygXPyF Y 1因此，
yh
X dxxf
,的分布函数为设随机变量 yFXgY Y?
yXgPyYPyF Y则有
加的函数．
是严格增，则由题设，不妨假设 xgxg 0
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录定 理 的 证 明
上变化．，在区间随机变量上变化时，，在区间由题设，当随机变量
Y
X
其中，
gggg,，,m axm i n
yh
XY dxxfyF
时，，当因此,y
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录定 理 的 证 明
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
时，，当因此,y
是严格减少的函数．，则若 xgxg 0
yh
X dxxf
yXgPyYPyF Y
yhXPygXP 1
yhyhf Xyhyhf X
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录定 理 的 证 明
yhyhf X
的密度函数为综上所述，得 XgY?
yhyhf X
其它0
yyhyhf
yf XY
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录
§ 5 随机变量的函数的分布补充定理：
若 g(x)在不相叠的区间?,,
21 II
上逐段严格单调，其反函数分别为
),(),( 21 yhyh
均为连续函数，那么
Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为
)())(()( '11 yhyhfyf XY)())(( '22 yhyhf X
返回主目录例 7
．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~
解：
的密度函数为，知题设由 X
．
函数为是严格增加的，它的反因为函数
yx
ey x
ln?
xexf
x
2
2
2
2
1
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 7（续）
上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
0
XeYX
时，，所以，当 0y
yyfyf XY lnln
y
y 1
2
lne x p
2
1
2
2
§ 5 随机变量的函数的分布
00
0
2
ln
e x p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y?
的密度函数为由此得随机变量 XeY?
返回主目录
.)0(
),,(~ 2
也服从正态分布的线性函数试证明设随机变量
a
baXYXNX
满足定理的条件，,)(,)( axgbaxxgy
.1)(,)()( ayha byyhxxgy 且的反函数为：
证 X的概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
X
§ 5 随机变量的函数的分布例 8
返回主目录
.
||2
1
2
1
||
1
)(
||
1
|)(|)]([)(
2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
a
bay
a
by
XXY
e
a
e
a
a
by
f
a
yhyhfyf
由定理的结论得：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
X
.1)(,)( ayha byyhx 且
.)(,~ 2 abaNbaXY即有
§ 5 随机变量的函数的分布例 8(续 )
返回主目录例 9
均匀分布，试求电压 V的概率密度,
上服从在区间是一个随机变量相角是一个已知的正常数其中设电压
2
,
2
,
,,s i n
AAV
解：
,
1
)(
,a r c s i n)(,0c o s)(
22
,s i n)(
22
vA
vh
A
v
vhAxg
Agv
以及且有反函数
）上恒有，在（
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录的概率密度为：?
.,0
,
22
,
1
)(
其它
f
.,0
,|,)(|)]([
)(:
其它利用定理的结论
yyhyhf
yf
X
Y
,1)(
22 vA
vh
.,0
,,
11
)(
s in
22
其它的概率密度为：得
AvA
vAyf
AV
Y
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录
1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表示随机事件。
2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数示事件的概率。
3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。
4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。
5 会求随机变量的简单函数的分布。
第二章 小 结返回主目录作业,.33,30,28,22,21,18,16,14,13,9,7,5,2,162P
离散型
连续型
定理及其应用返回主目录随机变量的函数也是一个随机变量,xgyYxX?取值时，取值当
§ 5 随机变量的函数的分布本节的任务就是：
的分布．要求随机变量
，的分布，并且已知已知随机变量
Y
XgYX?
的函数，是是一随机变量，设 XYXXgY? Y则,
返回主目录一、离散型随机变量的函数分布律为是离散型随机变量，其设 X
,2,1 npxXP nn
X 1x 2x,? nx?
P 1p 2p,? np?
或
量，它的取值为也是离散型随机变，则的函数：是 YXgYXY?
,，，,nyyy 21
，，其中 21 nxgy nn
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录第 一 种 情 形如果,，，,nyyy 21
两两不相同，则由
，,21 nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
,2,1 npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny?
P 1p 2p,? np?
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录第 二 种 情 形如果,，，,nyyy 21 有相同的项，
,的分布律随机变量应的概率相加，即可得相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY?
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 1
的分布律为设离散型随机变量 X
X -3 -1 0 2 6 9
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
的分布律．，试求随机变量 YXY 32
解：
的取值为随机变量 32 XY
，，，，，,1591359
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 1（续）
Y -9 -5 -3 1 9 15
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
32 XY
§ 5 随机变量的函数的分布
．这些取值两两互不相同 由此得随机变量的分布律为返回主目录设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2
的分布律,
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4
解,Y 有可能取的值为 0,1,4.
且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0,解得 X=1，
所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
§ 5 随机变量的函数的分布例 2
返回主目录同理,
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
pk
Y 0 1 4
0.1 0.7 0.2
所以,Y=(X-1)2 的分布律为：
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)
2
§ 5 随机变量的函数的分布例 2（续）
返回主目录例 3
的分布律为设离散型随机变量 X
X 1 2 … n …
P
2
1
2
2
1 …
n
2
1 …
为偶数若为奇数若
X
X
XgY
1
1
的分布律．试求随机变量 Y
解：
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 3（续）
为奇数n
nXPYP 1
0
12
k
kXP
0
122
1
k
k 3
2?
为偶数n
nXPYP 1
0
2
k
kXP
0
22
1
k
k 3
1?
§ 5 随机变量的函数的分布 Y -1 1
P
3
2
3
1
的分布律为所以，随机变量 Y
二,连续型随机变量函数的分布
§ 5 随机变量的函数的分布
,其密度函数为是一连续型随机变量，设 xfX X
随机变量．
也是连续型，我们假定的函数是再设 YXXgY?
．的密度函数我们要求的是 yfXgY Y?
解 题 思 路
yxg
XY dxxfyXgPyYPyF
XgY
)(
)(
的分布函数⑴．先求
yFyfXgY
XgY
YY
的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数⑵．利用
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
Xf X
设随机变量 X 具有 概率密度：
试求 Y=2X+8 的概率密度,
解,(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
}
2
8
{}82{
}{)(
y
XPyXP
yYPyF Y
§ 5 随机变量的函数的分布例 4
返回主目录可以求得：利用 )()()2( yfyF YY
.,0
,4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1
)
2
8
()
2
8
()(
其它
yy
yy
fyf
XY
2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
.,0
,40,8)(
其它
xxXf
X
§ 5 随机变量的函数的分布例 4（续）
返回主目录
.,0
,168,
32
8
)(
其它
y
y
yf Y
整理得 Y=2X+8 的概率密度为,
本例用到变限的定积分的求导公式
).()]([)()]([)(
,)()(
)(
)(
xxfxxfxF
dttfxF
x
x
则如果
§ 5 随机变量的函数的分布例 4（续）
设随机变量 X 具有 概率密度,),( xxf
X
求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
.0)(0,01 20 yFyXY Y时故当由于
y
y
X
Y
dxxfyXyP
yXPyYPyF
y
.)(}{
}{}{)(
,02
2
0
时当
§ 5 随机变量的函数的分布例 5
返回主目录得：及变限定积分求导公式利用 )()()2( yfyF YY
.0,0
,0),()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
y y XY dxxfyF,)()(
§ 5 随机变量的函数的分布例 5（续）
返回主目录
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y?
例如,设 X~N(0,1),其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
xex
x
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21?Y
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 6
．的密度函数求随机变量
，试，的密度函数为随机变量设
yfY
XYxfX
Y
X?
解：
yFY
yFX
Y
X
的分布函数为
，随机变量的分布函数为设随机变量
yYPyF YyXP
，则⑴．若 0?y
yYPyF YyXP P 0?
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 6（续）
，则⑵．若 0?y
yXyP
yYPyF YyXP
yFyF XX
的分布函数为综上所述，得随机变量 Y
00
0
y
yyFyF
yF XXY
§ 5 随机变量的函数的分布的密度函数为对上式求导，可得 XY?
00
0
y
yyfyf
yf XXY 返回主目录定理设随机变量 X 具有概率密度,,)( xxf
X
).0)((0)()( xgxgxg 或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y,其概率密度为
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数,
即 ) },(),(m a x {
) },(),(m in {
gg
gg
§ 5 随机变量的函数的分布
)()(1 yhygx
返回主目录此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若
),0)((0)(],[
],[)(
xgxgba
baxf
) },(),(m ax {) },(),(m i n { bgagbgag这里
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
§ 5 随机变量的函数的分布定理（续）
返回主目录证明：
yhXPygXPyF Y 1因此，
yh
X dxxf
,的分布函数为设随机变量 yFXgY Y?
yXgPyYPyF Y则有
加的函数．
是严格增，则由题设，不妨假设 xgxg 0
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录定 理 的 证 明
上变化．，在区间随机变量上变化时，，在区间由题设，当随机变量
Y
X
其中，
gggg,，,m axm i n
yh
XY dxxfyF
时，，当因此,y
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录定 理 的 证 明
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
时，，当因此,y
是严格减少的函数．，则若 xgxg 0
yh
X dxxf
yXgPyYPyF Y
yhXPygXP 1
yhyhf Xyhyhf X
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录定 理 的 证 明
yhyhf X
的密度函数为综上所述，得 XgY?
yhyhf X
其它0
yyhyhf
yf XY
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录
§ 5 随机变量的函数的分布补充定理：
若 g(x)在不相叠的区间?,,
21 II
上逐段严格单调，其反函数分别为
),(),( 21 yhyh
均为连续函数，那么
Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为
)())(()( '11 yhyhfyf XY)())(( '22 yhyhf X
返回主目录例 7
．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~
解：
的密度函数为，知题设由 X
．
函数为是严格增加的，它的反因为函数
yx
ey x
ln?
xexf
x
2
2
2
2
1
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录例 7（续）
上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
0
XeYX
时，，所以，当 0y
yyfyf XY lnln
y
y 1
2
lne x p
2
1
2
2
§ 5 随机变量的函数的分布
00
0
2
ln
e x p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y?
的密度函数为由此得随机变量 XeY?
返回主目录
.)0(
),,(~ 2
也服从正态分布的线性函数试证明设随机变量
a
baXYXNX
满足定理的条件，,)(,)( axgbaxxgy
.1)(,)()( ayha byyhxxgy 且的反函数为：
证 X的概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
X
§ 5 随机变量的函数的分布例 8
返回主目录
.
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由定理的结论得：
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X
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§ 5 随机变量的函数的分布例 8(续 )
返回主目录例 9
均匀分布，试求电压 V的概率密度,
上服从在区间是一个随机变量相角是一个已知的正常数其中设电压
2
,
2
,
,,s i n
AAV
解：
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1
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22
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22
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A
v
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Agv
以及且有反函数
）上恒有，在（
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录的概率密度为：?
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22
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其它
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其它利用定理的结论
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22
其它的概率密度为：得
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vAyf
AV
Y
§ 5 随机变量的函数的分布返回主目录
1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表示随机事件。
2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数示事件的概率。
3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。
4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。
5 会求随机变量的简单函数的分布。
第二章 小 结返回主目录作业,.33,30,28,22,21,18,16,14,13,9,7,5,2,162P
