随机变量的独立性
．是相互独立的随机变量，则称
，
，有，的
．如果对于任意的分布函数为随机变量
，的分布函数为，又随机变量，
合分布函数为是二维随机变量，其联，设
YX
yFxFyxF
yx
yFY
xFXyxF
YX
YX
Y
X
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明
yYxXPyxF,，
⑴．由于
yYPyFxXPxF YX,以及
：相互独立，实际上是指与可知，随机变量 YX
相互独立．
与
，随机事件，对于任意的
yYxX
yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明相互独立，则由与⑵．如果随机变量 YX
yFxFyxF YX?，
可知，
唯一确定．与可由其边缘分布函数，函数的联合分布，二维随机变量
yFxF
yxF
YX
YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 1
解：
的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
10a r c t a n25a r c t a n21 2 yxyxF，
yx,
是否相互独立？与试判断 YX
的边缘分布函数为X
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 1（续）
10a r c t a n25a r c t a n21li m 2 yxy
5a r c t a n21 x,x
yxFxF yX, lim
的边缘分布函数为Y
yxFyF xY, lim
10a r c t a n25a r c t a n21li m 2 yxx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 1（续）
,y?
10a r c t a n2
1 y?
，有，所以，对于任意的实数 yx
10a r c t a n25a r c t a n21 2 yxyxF，
10a r c t a n215a r c t a n21 yx
yFxF YX?
．是相互独立的随机变量与所以 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录离散型随机变量的独立性
,其联合分布律为是二维离散型随机变量，设 YX
jiij yYxXPp,
的分布律为又随机变量 X
，，,21?ji
ii xXPp，,21?i
的分布律为随机变量 Y
jj yYPp，,21?j
ji，如果对于任意的
jiij ppp
．是相互独立的随机变量，则称 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2
的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
Y
X
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
2
3
1?
相互独立．与使得随机变量，试确定常数 YX
解：
的边缘分布律为与由表，可得随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2（续）
Y
X
1 2 3
i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1?
3
1
j
p
2
1
9
1
18
1
相互独立，则有与如果随机变量 YX
jiij ppp32121,，；, ji
由此得第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2（续）
2191 YXP,；由此得 92
又由
31181 YXP,
．由此得 91
913121 YPXP
1813131 YPXP
分布律为时，联合分布律及边缘，而当 9192
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2（续）
Y
X
1 2 3
i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
9
2
9
1
3
2
j
p
2
1
3
1
6
1
可以验证，此时有
jiij ppp32121,，；, ji
相互独立．与时，，因此当 YX9192
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 3
的三个盒子中．，，编号为将两个球等可能地放入 321
是否相互独立？与试判断随机变量 YX；，，的可能取值为 210X
解：
号盒中的球数；：放入令,1X
号盒中的球数．：放入 2Y
．，，的可能取值为 210Y
布律为的联合分布律及边缘分与知由 YX3,1§
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 3（续）
Y
X
0 1 2?i
p
0
9
1
9
2
9
1
9
4
1
9
2
9
2
0
9
4
2
9
1
0 0
9
1
j
p
9
4
9
4
9
1
021 YXP,
9
1
9
421 YPXP?
不独立．与随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录连续型随机变量的独立性
，，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
．是相互独立的随机变量，则称 YX
须成立．
必，的所有连续点，特别地，上式对 yxyxf
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
，的边缘密度函数为又随机变量 xfX X
有，，如果对于几乎所有的 yx
yfxfyxf YX?，
，缘密度函数为 yf Y
的边随机变量 Y
返回主目录说 明
”是指：，有的这里所谓的“对几乎所 yx
那些使得等式
yfxfyxf YX?，
,所成集合的“面积”为，不成立的全体点 0yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 4
的密度函数为，设二维随机变量 YX
其它
，，
0
2010
3
12
yxxyxyxf
是否相互独立？与试判断随机变量 YX
解：
时，当 10 x
dyyxfxf X,
2
0
2
3
1 dyxyx
xx 322 2
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 4（续）
的密度函数为所以，随机变量 X
其它0
10
3
2
2 2 xxx
xf X
时，当 20 y
dxyxfyf Y,
1
0
2
3
1 dxxyx y
6
1
3
1
的密度函数为所以，随机变量 Y
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 4（续）
其它0
20
6
1
3
1
yyyf
Y
yfxfyxf YX?，
不独立．与所以，随机变量 YX
时，，由于当 2010 yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
其它
，，
0
2010312 yxxyxyxf
其它0
10
3
22 2 xxx
xf X
返回主目录例 5
分钟以内的概率．待分布．试求先到者需等时的均匀时到下午从中午是相互独立的，且均服时间相会，假定每人的到达甲、乙两人约定在某地
10
112
解：
分到达，时设甲于 X12
上的均匀分布．
，间相互独立，且都服从区与则随机变量 600YX
分到达．时设乙于 Y12
的联合密度函数为，所以,YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 5（续）
其它
，，
0
600600
3 6 0 0
1 yx
yxf
分钟先到者等待时间不超过设,10?A
则有,10 YXA
中直线满足上述条件的点为图
10 yx
与直线
10 yx
之间的部分．
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10 yx
10 yx
返回主目录例 5（续）
所以，所求概率为
10 YXPAP
10yx
d x d yyxf,
3 6 0 0
50503 6 0 0
36
11?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10 yx
10 yx
返回主目录例 6（ Buffon投针问题）
a
行直线相交的概率．
平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为
aLL
a
X
L
解：
平行线的距离；
：针的中心到最近一条设,X
所在投影线的夹角．：针与 X?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 6（续）
的联合密度函数为，所以二维随机变量?X
其它
，
，
0
2
0
2
0
4?
y
a
x
ayxf
上的均匀分布；，服从区间则随机变量?
20
aX
相互独立．与并且随机变量?X
上的均匀分布；，服从区间随机变量?
20
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 6（续）
针与任一直线相交设,?A
所以，
2s i n
LXA
则
s in
2
LXPAP
yLx
d x d yyxf
s i n
2
，
y
L
dx
a
dy
s i n
2
00
42
2
0
s i n
2
4
dyyL
a a
L
2?
s in
2
LX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明由本题的答案
aLAP?2?
的近似计算公式：我们有圆周率?
的近似值代入上式，得作为次与平行线相交，则以次，其中有若我们投针
)( AP
N
n
nN
APa
L 12
n
N
a
L 2?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明
）：折算为（其中把一些有关资料过此项实验，下表就是历史上，确有些学者做
1a
实验者 年 份 针 长 投掷次数 相交次数 π 的近似值
W ol f 1850 0.8 5000 2532 3.1596
Smi t h 1855 0.6 3204 1218.5 3.1554
D e Mor g an 1860 1.0 600 382.5 3.137
F ox 1884 0.75 1030 489 3.1595
L az z eri ni 1901 0.83 3408 1808 3.14159 29
R ei na 1925 0.5419 2520 859 3.1759
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明来就是：种概率方法，它概括起上述的计算方法就是一
）有关．（如上面的常数些量，它与我们感兴趣的某首先建立一个概率模型
来确定这些量．
结果验，并通过这个试验的然后设计适当的随机试方法．——类新的计算方法起一展，已按上述思路建立现在，随着计算机的发
C a r l oM o n t e?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（正态随机变量的独立性）
rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
yyxrx
r
r
yxf,
的联合密度函数为，则 YX
的边缘密度函数为又随机变量 X
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（续）
2
2
2
2
2
1
2
1
21 2
1e x p
2
1
yxyxf,
的联合密度函数为，时，所以，当 YXr 0?
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1?
的边缘密度函数为随机变量 Y
yfxf YX
相互独立；与这表明，随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（续）
特别地，我们有
，有，实数相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量
yx
YX
yfxfyxf YX，
即，
2121 YX fff，
21
2
21 2
1
2
1
12
1
r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（续）
．由此得,0?r
重要结论：综上所述，我们有以下
：件为相互独立的充分必要条
，，，，二元正态随机变量 rN
2
2
2
121
．0?r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录
n维 随机变量的独立性
．是相互独立的随机变量，，，则称
，，，
，有，，，维实数组对于任意的
．如果，，，，的分布函数为
，又随机变量，，，分布函数为维随机变量，其联合是，，，设
n
nXXXn
n
iX
in
n
XXX
xFxFxFxxxF
xxxn
nixF
XxxxF
nXXX
n
i
21
2121
21
21
21
21
21
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性注意,若 X,Y 独立,f(x),g(y) 是连续函数，
则 f(X),g(Y) 也独立。 返回主目录
．是相互独立的随机变量，则称
，
，有，的
．如果对于任意的分布函数为随机变量
，的分布函数为，又随机变量，
合分布函数为是二维随机变量，其联，设
YX
yFxFyxF
yx
yFY
xFXyxF
YX
YX
Y
X
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明
yYxXPyxF,，
⑴．由于
yYPyFxXPxF YX,以及
：相互独立，实际上是指与可知，随机变量 YX
相互独立．
与
，随机事件，对于任意的
yYxX
yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明相互独立，则由与⑵．如果随机变量 YX
yFxFyxF YX?，
可知，
唯一确定．与可由其边缘分布函数，函数的联合分布，二维随机变量
yFxF
yxF
YX
YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 1
解：
的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
10a r c t a n25a r c t a n21 2 yxyxF，
yx,
是否相互独立？与试判断 YX
的边缘分布函数为X
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 1（续）
10a r c t a n25a r c t a n21li m 2 yxy
5a r c t a n21 x,x
yxFxF yX, lim
的边缘分布函数为Y
yxFyF xY, lim
10a r c t a n25a r c t a n21li m 2 yxx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 1（续）
,y?
10a r c t a n2
1 y?
，有，所以，对于任意的实数 yx
10a r c t a n25a r c t a n21 2 yxyxF，
10a r c t a n215a r c t a n21 yx
yFxF YX?
．是相互独立的随机变量与所以 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录离散型随机变量的独立性
,其联合分布律为是二维离散型随机变量，设 YX
jiij yYxXPp,
的分布律为又随机变量 X
，，,21?ji
ii xXPp，,21?i
的分布律为随机变量 Y
jj yYPp，,21?j
ji，如果对于任意的
jiij ppp
．是相互独立的随机变量，则称 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2
的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
Y
X
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
2
3
1?
相互独立．与使得随机变量，试确定常数 YX
解：
的边缘分布律为与由表，可得随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2（续）
Y
X
1 2 3
i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1?
3
1
j
p
2
1
9
1
18
1
相互独立，则有与如果随机变量 YX
jiij ppp32121,，；, ji
由此得第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2（续）
2191 YXP,；由此得 92
又由
31181 YXP,
．由此得 91
913121 YPXP
1813131 YPXP
分布律为时，联合分布律及边缘，而当 9192
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 2（续）
Y
X
1 2 3
i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
9
2
9
1
3
2
j
p
2
1
3
1
6
1
可以验证，此时有
jiij ppp32121,，；, ji
相互独立．与时，，因此当 YX9192
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 3
的三个盒子中．，，编号为将两个球等可能地放入 321
是否相互独立？与试判断随机变量 YX；，，的可能取值为 210X
解：
号盒中的球数；：放入令,1X
号盒中的球数．：放入 2Y
．，，的可能取值为 210Y
布律为的联合分布律及边缘分与知由 YX3,1§
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 3（续）
Y
X
0 1 2?i
p
0
9
1
9
2
9
1
9
4
1
9
2
9
2
0
9
4
2
9
1
0 0
9
1
j
p
9
4
9
4
9
1
021 YXP,
9
1
9
421 YPXP?
不独立．与随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录连续型随机变量的独立性
，，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
．是相互独立的随机变量，则称 YX
须成立．
必，的所有连续点，特别地，上式对 yxyxf
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
，的边缘密度函数为又随机变量 xfX X
有，，如果对于几乎所有的 yx
yfxfyxf YX?，
，缘密度函数为 yf Y
的边随机变量 Y
返回主目录说 明
”是指：，有的这里所谓的“对几乎所 yx
那些使得等式
yfxfyxf YX?，
,所成集合的“面积”为，不成立的全体点 0yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 4
的密度函数为，设二维随机变量 YX
其它
，，
0
2010
3
12
yxxyxyxf
是否相互独立？与试判断随机变量 YX
解：
时，当 10 x
dyyxfxf X,
2
0
2
3
1 dyxyx
xx 322 2
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 4（续）
的密度函数为所以，随机变量 X
其它0
10
3
2
2 2 xxx
xf X
时，当 20 y
dxyxfyf Y,
1
0
2
3
1 dxxyx y
6
1
3
1
的密度函数为所以，随机变量 Y
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 4（续）
其它0
20
6
1
3
1
yyyf
Y
yfxfyxf YX?，
不独立．与所以，随机变量 YX
时，，由于当 2010 yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
其它
，，
0
2010312 yxxyxyxf
其它0
10
3
22 2 xxx
xf X
返回主目录例 5
分钟以内的概率．待分布．试求先到者需等时的均匀时到下午从中午是相互独立的，且均服时间相会，假定每人的到达甲、乙两人约定在某地
10
112
解：
分到达，时设甲于 X12
上的均匀分布．
，间相互独立，且都服从区与则随机变量 600YX
分到达．时设乙于 Y12
的联合密度函数为，所以,YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 5（续）
其它
，，
0
600600
3 6 0 0
1 yx
yxf
分钟先到者等待时间不超过设,10?A
则有,10 YXA
中直线满足上述条件的点为图
10 yx
与直线
10 yx
之间的部分．
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10 yx
10 yx
返回主目录例 5（续）
所以，所求概率为
10 YXPAP
10yx
d x d yyxf,
3 6 0 0
50503 6 0 0
36
11?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10 yx
10 yx
返回主目录例 6（ Buffon投针问题）
a
行直线相交的概率．
平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为
aLL
a
X
L
解：
平行线的距离；
：针的中心到最近一条设,X
所在投影线的夹角．：针与 X?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 6（续）
的联合密度函数为，所以二维随机变量?X
其它
，
，
0
2
0
2
0
4?
y
a
x
ayxf
上的均匀分布；，服从区间则随机变量?
20
aX
相互独立．与并且随机变量?X
上的均匀分布；，服从区间随机变量?
20
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 6（续）
针与任一直线相交设,?A
所以，
2s i n
LXA
则
s in
2
LXPAP
yLx
d x d yyxf
s i n
2
，
y
L
dx
a
dy
s i n
2
00
42
2
0
s i n
2
4
dyyL
a a
L
2?
s in
2
LX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明由本题的答案
aLAP?2?
的近似计算公式：我们有圆周率?
的近似值代入上式，得作为次与平行线相交，则以次，其中有若我们投针
)( AP
N
n
nN
APa
L 12
n
N
a
L 2?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明
）：折算为（其中把一些有关资料过此项实验，下表就是历史上，确有些学者做
1a
实验者 年 份 针 长 投掷次数 相交次数 π 的近似值
W ol f 1850 0.8 5000 2532 3.1596
Smi t h 1855 0.6 3204 1218.5 3.1554
D e Mor g an 1860 1.0 600 382.5 3.137
F ox 1884 0.75 1030 489 3.1595
L az z eri ni 1901 0.83 3408 1808 3.14159 29
R ei na 1925 0.5419 2520 859 3.1759
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录说 明来就是：种概率方法，它概括起上述的计算方法就是一
）有关．（如上面的常数些量，它与我们感兴趣的某首先建立一个概率模型
来确定这些量．
结果验，并通过这个试验的然后设计适当的随机试方法．——类新的计算方法起一展，已按上述思路建立现在，随着计算机的发
C a r l oM o n t e?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（正态随机变量的独立性）
rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
yyxrx
r
r
yxf,
的联合密度函数为，则 YX
的边缘密度函数为又随机变量 X
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（续）
2
2
2
2
2
1
2
1
21 2
1e x p
2
1
yxyxf,
的联合密度函数为，时，所以，当 YXr 0?
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1?
的边缘密度函数为随机变量 Y
yfxf YX
相互独立；与这表明，随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（续）
特别地，我们有
，有，实数相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量
yx
YX
yfxfyxf YX，
即，
2121 YX fff，
21
2
21 2
1
2
1
12
1
r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录例 7（续）
．由此得,0?r
重要结论：综上所述，我们有以下
：件为相互独立的充分必要条
，，，，二元正态随机变量 rN
2
2
2
121
．0?r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性返回主目录
n维 随机变量的独立性
．是相互独立的随机变量，，，则称
，，，
，有，，，维实数组对于任意的
．如果，，，，的分布函数为
，又随机变量，，，分布函数为维随机变量，其联合是，，，设
n
nXXXn
n
iX
in
n
XXX
xFxFxFxxxF
xxxn
nixF
XxxxF
nXXX
n
i
21
2121
21
21
21
21
21
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性注意,若 X,Y 独立,f(x),g(y) 是连续函数，
则 f(X),g(Y) 也独立。 返回主目录
