一 随 机 事 件二 事件间的关系与运算三 频 率 与 概 率
§ 1 随 机 事 件 的 概率目录索引第一章 概率论的基本概念返回主目录我们称之为 随机现象,概率论与数理统计 是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科 。
一,随 机 事 件比如,降水 概率为 30%,
某强队对弱队 赢球 的概率为 80%,
某个固定群体中 男女比例 为 54,46 ；
在生活当中，经常接触到 事件的概率,
这种在个别实验中其结果呈现出 不确定性 ；
在大量重复实验中其结果又具有 统计规律性 的现象，
第一章 概率论的基本概念返回主目录
E1：抛一枚硬币，观察正面 H（ Heads）,反面 T
（ Tails）出现的情况。
E2,将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
其典型的例子有：
随机试验 （ Experiment ）
第一章 概率论的基本概念返回主目录
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
这些实验具有以下特点：
可以在相同的条件下重复进行；
每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；
进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
第一章 概率论的基本概念返回主目录样本空间 (Space)
定义 将 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的 样本空间,记为 S 。 样本空间 的元素，即 E 的每个结果，称为 样本点 。
S1,{ H,T }
S2,{ HHH,HHT,HTH,THH,
HTT,THT,TTH,TTT }
S3,{ 0,1,2,3 }
S4,{ 1,2,3,4,5,6 }
第一章 概率论的基本概念返回主目录
S5,{0,1,2,3……}
S6,{ t | t? 0 }
S7,{ ( x,y ) | T 0? x,y? T1 }
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
第一章 概率论的基本概念返回主目录定义：
随机事件,称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件；
基本事件,有一个样本点组成的单点集；
必然事件,样本空间 S 本身；
不可能事件,空集?。
随 机 事 件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现．
第一章 概率论的基本概念返回主目录例如,S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示,第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t?1000}
表示,灯泡是次品”
事件 B2={t|t? 1000}
表示,灯泡是合格品”
事件 B3={t|t?1500}
表示“灯泡是一级品”
第一章 概率论的基本概念返回主目录
10 包含关系二,事件间的关系与运算
20 和事件
30 积事件
40 差事件
50 互不相容
60 对立事件
S
A B
BA?
BA?
BA?
BA?
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SBA
BA
第一章 概率论的基本概念返回主目录
S
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S2 中事件
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第一章 概率论的基本概念
S
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返回主目录
S
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40 差事件 BA?
BA? BA?
第一章 概率论的基本概念
A B
返回主目录
S6,{ t | t? 0 }中事件 A ={ t | t? 1000},次品”
事件 B ={ t | t? 1000},合格品”
事件 C ={ t | t? 1500},一等品”
0 1000 1500
CB?
次品 一等品第一章 概率论的基本概念返回主目录
S
B
S
A
50 互不相容 60 对立事件
BA? SBA
BA
AB?
第一章 概率论的基本概念
A
返回主目录随机事件的运算规律幂等律,AAAAAA,
交换律,ABBAABBA,
第一章 概率论的基本概念结合律,
CBACBA
CBACBA
分配律,
CABACBA
CABACBA
De Morgan定律,
AAAA,返回主目录三,频 率 与 概 率
1） 频率的定义和性质定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验,在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件
A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
第一章 概率论的基本概念返回主目录
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)(
21
21
Af nAf nAf n
AAAf
k
kn
;1)(2?Sf n?
则是两两互不相容事件若,,,,3 21 AAA k
第一章 概率论的基本概念它具有下述性质,;1)(01 Af n?
返回主目录
251 249 256 253 251 246 244
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012
2 ） 频率的稳定性
nA
fn(A)
n=500时实 验 者德?摩根蒲 丰
K?皮尔逊
K?皮尔逊
n nH fn(H)
2048
4040
12000
24000
1061
2048
6019
12012
0.5181
0.5096
0.5016
0.5005
第一章 概率论的基本概念返回主目录频 率 稳 定 值 概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质 概率的公理化定义第一章 概率论的基本概念返回主目录
3） 概率的定义定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足下列条件,;1)(2 0?SP;)(01 0 AP?
)()()( 2121 APAPAAP
则是两两互不相容事件若,,,3 20 1?AA
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第一章 概率论的基本概念返回主目录
4 ） 概率的性质与推广;0)(1P性质则是两两互不相容事件若性质,,,,2 21 AAA n?
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APAPAP
AAAP
n
n
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性质
S
A B
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第一章 概率论的基本概念返回主目录重 要 推 广
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第一章 概率论的基本概念返回主目录加法公式的推广
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21
1
11
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21
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有个事件对任意第一章 概率论的基本概念返回主目录
§ 1 随 机 事 件 的 概率目录索引第一章 概率论的基本概念返回主目录我们称之为 随机现象,概率论与数理统计 是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科 。
一,随 机 事 件比如,降水 概率为 30%,
某强队对弱队 赢球 的概率为 80%,
某个固定群体中 男女比例 为 54,46 ；
在生活当中，经常接触到 事件的概率,
这种在个别实验中其结果呈现出 不确定性 ；
在大量重复实验中其结果又具有 统计规律性 的现象，
第一章 概率论的基本概念返回主目录
E1：抛一枚硬币，观察正面 H（ Heads）,反面 T
（ Tails）出现的情况。
E2,将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
其典型的例子有：
随机试验 （ Experiment ）
第一章 概率论的基本概念返回主目录
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
这些实验具有以下特点：
可以在相同的条件下重复进行；
每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；
进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
第一章 概率论的基本概念返回主目录样本空间 (Space)
定义 将 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的 样本空间,记为 S 。 样本空间 的元素，即 E 的每个结果，称为 样本点 。
S1,{ H,T }
S2,{ HHH,HHT,HTH,THH,
HTT,THT,TTH,TTT }
S3,{ 0,1,2,3 }
S4,{ 1,2,3,4,5,6 }
第一章 概率论的基本概念返回主目录
S5,{0,1,2,3……}
S6,{ t | t? 0 }
S7,{ ( x,y ) | T 0? x,y? T1 }
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
第一章 概率论的基本概念返回主目录定义：
随机事件,称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件；
基本事件,有一个样本点组成的单点集；
必然事件,样本空间 S 本身；
不可能事件,空集?。
随 机 事 件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现．
第一章 概率论的基本概念返回主目录例如,S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示,第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t?1000}
表示,灯泡是次品”
事件 B2={t|t? 1000}
表示,灯泡是合格品”
事件 B3={t|t?1500}
表示“灯泡是一级品”
第一章 概率论的基本概念返回主目录
10 包含关系二,事件间的关系与运算
20 和事件
30 积事件
40 差事件
50 互不相容
60 对立事件
S
A B
BA?
BA?
BA?
BA?
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第一章 概率论的基本概念返回主目录
S
A B
S2 中事件
A={HHH,HHT,HTH,HTT},B={HHH,TTT}
20 和事件 30 积事件BA? BA?
BABA?
第一章 概率论的基本概念
S
A B
返回主目录
S
A BA
S
40 差事件 BA?
BA? BA?
第一章 概率论的基本概念
A B
返回主目录
S6,{ t | t? 0 }中事件 A ={ t | t? 1000},次品”
事件 B ={ t | t? 1000},合格品”
事件 C ={ t | t? 1500},一等品”
0 1000 1500
CB?
次品 一等品第一章 概率论的基本概念返回主目录
S
B
S
A
50 互不相容 60 对立事件
BA? SBA
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第一章 概率论的基本概念
A
返回主目录随机事件的运算规律幂等律,AAAAAA,
交换律,ABBAABBA,
第一章 概率论的基本概念结合律,
CBACBA
CBACBA
分配律,
CABACBA
CABACBA
De Morgan定律,
AAAA,返回主目录三,频 率 与 概 率
1） 频率的定义和性质定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验,在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件
A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
第一章 概率论的基本概念返回主目录
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21
21
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则是两两互不相容事件若,,,,3 21 AAA k
第一章 概率论的基本概念它具有下述性质,;1)(01 Af n?
返回主目录
251 249 256 253 251 246 244
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012
2 ） 频率的稳定性
nA
fn(A)
n=500时实 验 者德?摩根蒲 丰
K?皮尔逊
K?皮尔逊
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2048
4040
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24000
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0.5181
0.5096
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0.5005
第一章 概率论的基本概念返回主目录频 率 稳 定 值 概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质 概率的公理化定义第一章 概率论的基本概念返回主目录
3） 概率的定义定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足下列条件,;1)(2 0?SP;)(01 0 AP?
)()()( 2121 APAPAAP
则是两两互不相容事件若,,,3 20 1?AA
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,)( AP
第一章 概率论的基本概念返回主目录
4 ） 概率的性质与推广;0)(1P性质则是两两互不相容事件若性质,,,,2 21 AAA n?
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21
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性质
S
A B
第一章 概率论的基本概念返回主目录;)(1)(5 APAP性质;1)(4?AP性质
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A B CP
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第一章 概率论的基本概念返回主目录加法公式的推广
n
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