2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．设，，，则_________________．
解：
．
而 ，
并且由 ，得 ．
所以，
应填：．
2．设随机变量的密度函数为，则的分布函数_________．
解：
当时，；
当时，；
当时，；
所以，随机变量的分布函数为
．
应填：．
3．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数很大时，随机事件在这次试验中发生的频率与随机事件的概率有_________的可能性很小．
解：
伯努利（Bernoulli）大数定理指出：对于任意给定的，有
．
这表明：当试验次数很大时，随机事件在这次试验中发生的频率与随机事件的概率有较大偏差的可能性很小．
应填：较大偏差．
4．设总体，是从中抽取的一个样本，则样本的（联合）分布律为_________．
解：
由于总体，所以总体的分布律可以写为
，
并且是从中抽取的一个样本，即是简单随机样本，所以样本中的个分量是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本的（联合）分布律为
应填：．
5．设总体存在二阶矩，并记
，．
是从总体中抽取的一个样本．则总体方差的矩估计量_________．
解：
由于
将与分别用样本均值与样本的二阶原点矩来代替，得的矩估计量
．
应填：，或者，或者，或者．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是
.； .； .； .．
【 】
解：
因为、为两个互不相容的随机事件，所以，因此
所以，
应选：．
2．设是某个连续型随机变量的概率密度函数，则它的取值范围是
.； .； .； .．
【 】
解：
如果函数是某个连续型随机变量的概率密度函数，则它必须满足以下两个条件：
⑴ ；⑵
由此两个条件，可知只有选项正确．
应选：．
3．袋中有4个白球，7个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．则第二次取出白球的概率为
.； .； .； .．
【 】
解：
设，．
则由全概率公式，得
．
应选：．
4．设，，其中、为常数，且，则
.； .；
.； .．
【 】
解：
由，，其中、为常数，且，可知也服从正态分布．由
，，
所以，．
应选：．
5．设某地区成年男子的身高，现从该地区随机选出名男子，则这名男子身高平均值的方差为
,； ,； ,； ,．
【 】
解：
从该地区随机选出名男子，相当于从总体中抽取一个样本量为的样本
令是其样本均值，则，其中是总体方差．由题意，知．所以，
．
应选：．
三．（本题满分10分）
将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误收作的概率为，而被误收作的概率为．信息与信息传送的频繁程度为．若接收站接收的信息是，问原发信息也是的概率是多少？
解：
设，．
则所求概率为，由Bayes公式，得
．
四．（本题满分10分）
一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？
解：
⑴ 的取值为，并且
因此的分布律为
．
⑵ ．
⑶ 若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次Bernoulli试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5重Bernoulli试验．
，则．
所以，．
这表明，“有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件，因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的．
五．（本题满分10分）
设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布．令随机变量
．
⑴ 试求随机变量的密度函数．⑵ 试求．
解：
⑴ 由题意，得
，
．
设随机变量的分布函数为，则
当时，；
当时，
作极坐标变换，则有
所以，随机变量的分布函数为
所以，随机变量的密度函数为
⑵
．
六．（本题满分10分）
设二维离散型随机变量的联合分布律为
证明：随机变量与不相关，但是随机变量与不独立．
解：
的边缘分布律为
的边缘分布律为
因此，
同理，
所以，，这表明随机变量与不相关．
但是，
所以，随机变量与不独立．
七．（本题满分10分）
某单位的一部电话总机有台分机，每台分机有4%的时间要使用外线．假设每台分机是否使用外线是相互独立的．试用中心极限定理计算，当该单位有条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的概率．
附表：标准正态分布的分布函数的表
解：
设表示在某时刻台分机中使用外线的分机数，则．利用中心极限定理，得
．
八．（本题满分10分）
设总体存在二阶矩，并记
，．
是从总体中抽取的一个样本．⑴ 试写出样本方差．⑵ 试求．
解：
⑴ 样本方差为．
⑵
．
九．（本题满分10分）
已知总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．
解：
．
所以当样本观测值为时，似然函数为
所以，．
令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．
1．设，，，则_________________．
解：
．
而 ，
并且由 ，得 ．
所以，
应填：．
2．设随机变量的密度函数为，则的分布函数_________．
解：
当时，；
当时，；
当时，；
所以，随机变量的分布函数为
．
应填：．
3．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数很大时，随机事件在这次试验中发生的频率与随机事件的概率有_________的可能性很小．
解：
伯努利（Bernoulli）大数定理指出：对于任意给定的，有
．
这表明：当试验次数很大时，随机事件在这次试验中发生的频率与随机事件的概率有较大偏差的可能性很小．
应填：较大偏差．
4．设总体，是从中抽取的一个样本，则样本的（联合）分布律为_________．
解：
由于总体，所以总体的分布律可以写为
，
并且是从中抽取的一个样本，即是简单随机样本，所以样本中的个分量是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本的（联合）分布律为
应填：．
5．设总体存在二阶矩，并记
，．
是从总体中抽取的一个样本．则总体方差的矩估计量_________．
解：
由于
将与分别用样本均值与样本的二阶原点矩来代替，得的矩估计量
．
应填：，或者，或者，或者．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是
.； .； .； .．
【 】
解：
因为、为两个互不相容的随机事件，所以，因此
所以，
应选：．
2．设是某个连续型随机变量的概率密度函数，则它的取值范围是
.； .； .； .．
【 】
解：
如果函数是某个连续型随机变量的概率密度函数，则它必须满足以下两个条件：
⑴ ；⑵
由此两个条件，可知只有选项正确．
应选：．
3．袋中有4个白球，7个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．则第二次取出白球的概率为
.； .； .； .．
【 】
解：
设，．
则由全概率公式，得
．
应选：．
4．设，，其中、为常数，且，则
.； .；
.； .．
【 】
解：
由，，其中、为常数，且，可知也服从正态分布．由
，，
所以，．
应选：．
5．设某地区成年男子的身高，现从该地区随机选出名男子，则这名男子身高平均值的方差为
,； ,； ,； ,．
【 】
解：
从该地区随机选出名男子，相当于从总体中抽取一个样本量为的样本
令是其样本均值，则，其中是总体方差．由题意，知．所以，
．
应选：．
三．（本题满分10分）
将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误收作的概率为，而被误收作的概率为．信息与信息传送的频繁程度为．若接收站接收的信息是，问原发信息也是的概率是多少？
解：
设，．
则所求概率为，由Bayes公式，得
．
四．（本题满分10分）
一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？
解：
⑴ 的取值为，并且
因此的分布律为
．
⑵ ．
⑶ 若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次Bernoulli试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5重Bernoulli试验．
，则．
所以，．
这表明，“有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件，因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的．
五．（本题满分10分）
设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布．令随机变量
．
⑴ 试求随机变量的密度函数．⑵ 试求．
解：
⑴ 由题意，得
，
．
设随机变量的分布函数为，则
当时，；
当时，
作极坐标变换，则有
所以，随机变量的分布函数为
所以，随机变量的密度函数为
⑵
．
六．（本题满分10分）
设二维离散型随机变量的联合分布律为
证明：随机变量与不相关，但是随机变量与不独立．
解：
的边缘分布律为
的边缘分布律为
因此，
同理，
所以，，这表明随机变量与不相关．
但是，
所以，随机变量与不独立．
七．（本题满分10分）
某单位的一部电话总机有台分机，每台分机有4%的时间要使用外线．假设每台分机是否使用外线是相互独立的．试用中心极限定理计算，当该单位有条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的概率．
附表：标准正态分布的分布函数的表
解：
设表示在某时刻台分机中使用外线的分机数，则．利用中心极限定理，得
．
八．（本题满分10分）
设总体存在二阶矩，并记
，．
是从总体中抽取的一个样本．⑴ 试写出样本方差．⑵ 试求．
解：
⑴ 样本方差为．
⑵
．
九．（本题满分10分）
已知总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．
解：
．
所以当样本观测值为时，似然函数为
所以，．
令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．
