2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A）重修课考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．某人连续三次购买体育彩票，设，，分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件，又设
，
若用、、表示，则有________________________________．
2．一射手对同一目标进行4次，规定若击中0次得-10分，击中1次得10分，击中2次得50分，击中3次得80分，击中4次得100分，假定该射手每发的命中率为0.6，令表示所得的分数，则_________．
3,已知随机变量服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量，则 ____________．
4．设连续型随机变量的密度函数为，则___________．
5．设总体，是从中抽取的一个样本的样本观测值，算得，则的置信度为0.95的置信区间为___________．
（已知：，）
答案：
1,；
2,；
3,；
4,；
5,；
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设、为两个随机事件，且，，则下列选项必然正确的是
, ； , ；
, ； ,,
【 】
2．设与为两个随机变量，且
,,
则
； ； ； ．
【 】
3．设随机变量与独立同分布，记，，则与之间必有
独立； 相关系数为零；
不独立； 相关系数不为零．
【 】
4．设与是两个相互独立的随机变量，则下列说法中，正确的是
当已知与的分布时，对于随机变量，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式进行概率估计；
当已知与的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量落在任意区间内的概率；
当已知与的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量落在对称区间 内的概率；；
当已知与的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量落在区间 内的概率；．
【 】
5．设总体，是从该总体中抽取的一个简单随机样本，则_____________是的无偏估计量．
； ；
； ,
【 】
答案：
1．；
2．；
3．；
4．；
5．．
三．（本题满分10分）
将5个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入5个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中，每一个盒子中只放一个球．求球与盒子的颜色都不一致的概率．
解：
设，并设
，，，，．
则 ，所以
而 ，
，
，
，
,
所以，
,
四．（本题满分10分）
某工厂宣称自己的产品的次品率为20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该厂谎报了次品率？
解：
设：抽取10件产品中的次品数，则
所以，
因此随机事件“”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率．
五．（本题满分10分）
设随机变量的密度函数为
，
而，试求随机变量的密度函数．
解：
由随机变量在区间上取值，可知随机变量在区间上取值．设随机变量的分布函数为，则有
①,如果，则有；
②,如果，则有
③,如果，则有
即
所以，
即
六．（本题满分10分）
设二维随机变量服从矩形
上的均匀分布．记：
试求与的相关系数，并判断与是否相互独立？
解：
由题意可得 ,,，
所以，，
，
，
，
的联合分布律及各自的边缘分布律为
0
1
0
0.25
0
0.25
1
0.25
0.5
0.75
0.5
0.5
所以，，，，,
又 ，
所以，
由于，所以与相关，从而与不独立．
七．（本题满分10分）
某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．
（附：标准正态分布分布函数表：
0.56
0.57
0.58
0.59
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
解：
设，则．
设：运输公司一年内出事故的车数．则,
保险公司一年内共收保费，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司一年赚钱不小于200000元，则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆．因此所求概率为
八．（本题满分10分）
设总体服从对数正态分布，其密度函数为
其中与都是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．试求与的最大似然估计．
解：似然函数为．
取对数，得
所以，
由此得方程组
解此方程组，得，
因此，与的最大似然估计为
，,
九．（本题满分10分）
设总体，其中是已知参数，是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，
⑴,求未知参数的极大似然估计量；
⑵,判断是否为未知参数的无偏估计．
解：
⑴,当为未知，而为已知参数时，似然函数为
因而
所以，由似然方程 ，
解得，
因此，的极大似然估计量为．
⑵,因为 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因此，
所以，是未知参数的无偏估计．
1．某人连续三次购买体育彩票，设，，分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件，又设
，
若用、、表示，则有________________________________．
2．一射手对同一目标进行4次，规定若击中0次得-10分，击中1次得10分，击中2次得50分，击中3次得80分，击中4次得100分，假定该射手每发的命中率为0.6，令表示所得的分数，则_________．
3,已知随机变量服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量，则 ____________．
4．设连续型随机变量的密度函数为，则___________．
5．设总体，是从中抽取的一个样本的样本观测值，算得，则的置信度为0.95的置信区间为___________．
（已知：，）
答案：
1,；
2,；
3,；
4,；
5,；
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设、为两个随机事件，且，，则下列选项必然正确的是
, ； , ；
, ； ,,
【 】
2．设与为两个随机变量，且
,,
则
； ； ； ．
【 】
3．设随机变量与独立同分布，记，，则与之间必有
独立； 相关系数为零；
不独立； 相关系数不为零．
【 】
4．设与是两个相互独立的随机变量，则下列说法中，正确的是
当已知与的分布时，对于随机变量，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式进行概率估计；
当已知与的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量落在任意区间内的概率；
当已知与的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量落在对称区间 内的概率；；
当已知与的数学期望与方差都存在时，可使用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量落在区间 内的概率；．
【 】
5．设总体，是从该总体中抽取的一个简单随机样本，则_____________是的无偏估计量．
； ；
； ,
【 】
答案：
1．；
2．；
3．；
4．；
5．．
三．（本题满分10分）
将5个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入5个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中，每一个盒子中只放一个球．求球与盒子的颜色都不一致的概率．
解：
设，并设
，，，，．
则 ，所以
而 ，
，
，
，
,
所以，
,
四．（本题满分10分）
某工厂宣称自己的产品的次品率为20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该厂谎报了次品率？
解：
设：抽取10件产品中的次品数，则
所以，
因此随机事件“”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率．
五．（本题满分10分）
设随机变量的密度函数为
，
而，试求随机变量的密度函数．
解：
由随机变量在区间上取值，可知随机变量在区间上取值．设随机变量的分布函数为，则有
①,如果，则有；
②,如果，则有
③,如果，则有
即
所以，
即
六．（本题满分10分）
设二维随机变量服从矩形
上的均匀分布．记：
试求与的相关系数，并判断与是否相互独立？
解：
由题意可得 ,,，
所以，，
，
，
，
的联合分布律及各自的边缘分布律为
0
1
0
0.25
0
0.25
1
0.25
0.5
0.75
0.5
0.5
所以，，，，,
又 ，
所以，
由于，所以与相关，从而与不独立．
七．（本题满分10分）
某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．
（附：标准正态分布分布函数表：
0.56
0.57
0.58
0.59
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
解：
设，则．
设：运输公司一年内出事故的车数．则,
保险公司一年内共收保费，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司一年赚钱不小于200000元，则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆．因此所求概率为
八．（本题满分10分）
设总体服从对数正态分布，其密度函数为
其中与都是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．试求与的最大似然估计．
解：似然函数为．
取对数，得
所以，
由此得方程组
解此方程组，得，
因此，与的最大似然估计为
，,
九．（本题满分10分）
设总体，其中是已知参数，是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，
⑴,求未知参数的极大似然估计量；
⑵,判断是否为未知参数的无偏估计．
解：
⑴,当为未知，而为已知参数时，似然函数为
因而
所以，由似然方程 ，
解得，
因此，的极大似然估计量为．
⑵,因为 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因此，
所以，是未知参数的无偏估计．
