2003-2004学年第一学期概率论与数理统计（A）期末考试试卷答案一．（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）．
1．掷2颗均匀的骰子，令：
，．
⑴ 试求，，；⑵ 判断随机事件与是否相互独立？
解：
⑴ 掷2颗骰子，共有种情况（样本点总数）．
事件含有个样本点，故．
事件含有个样本点，故．
事件含有个样本点，故．
⑵ 由于，所以随机事件与相互独立．
2．设连续型随机变量的密度函数为
，
求：⑴ 常数；⑵ 概率．
解：
⑴ 由密度函数的性质，得
所以，得．即随机变量的密度函数为
．
⑵
．
3．设随机变量和的数学期望分别是和，方差分别是和，而相关系数为．
⑴ 求及；⑵ 试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计概率．
解：
⑴ 令，则有
⑵ 根据切比雪夫不等式，有
,
4．在总体中随机抽取一个容量为的样本，求．
（附，标准正态分布的分布函数的部分值：
解：
由于总体，而且样本量，所以．
所以，
．
5．设总体，其中且与都未知，，．现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，．试在置信水平下，求的置信区间．
（已知：，，，）．
解：
由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为
．
由，，得．查表，得．
由样本观测值，得，
．
所以，
，
，
因此所求置信区间为．
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）．
6．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为、、．
⑴ 求密码能被破译的概率．⑵ 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率．
解：
⑴ 设，，．
．
则，因此，
．
⑵ ，则
，所以
注意到，所求概率为．
7．某学生参加一项考试，他可以决定聘请名或者名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并且每位考官判断他通过考试的概率均为，如果至少有位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该考生聘请名还是名考官，能使得他通过考试的概率较大？
解：
设，则．
．
由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．令表示判断他通过考试的考试人数，则，因此
,．
⑴ 若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．所以，
．
⑵ 若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．所以，
．
所以聘请位考官，可以使该考生通过考试的概率较大．
8．设二维随机变量的联合密度函数为
⑴．求，及；
⑵．分别求出求与的边缘密度函数；
⑶．判断随机变量与是否相关？是否相互独立？
解：
⑴．
⑵．当时，
所以，随机变量的边缘密度函数为
；
当时，
所以，随机变量的边缘密度函数为
⑶．由于，所以与不相关．
，所以与不独立．
9．某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为元、元、元和元．并且这种快餐套餐售出的概率分别为、、和．若某天该快餐店售出套餐份，试用中心极限定理计算：⑴ 该快餐店这天收入至少为元的概率．⑵ 元套餐至少售出份的概率．
（附，标准正态分布的分布函数的部分值：
解：
⑴ 设表示售出一份套餐的收入，则的分布律为
则 ，
，
．
令表示出售的第套快餐套餐的收入，．则独立同分布，且的分布都与的分布相同．则
⑵ 设表示售出的份套餐中套餐的份数，则．则
．
10．设总体，是取自该总体中的一个样本．
⑴ 求的极大似然估计量；⑵ 求的极大似然估计量．
解：
⑴,总体的密度函数为
．
所以似然函数为
所以，取对数，得
所以，
解方程，得，所以的极大似然估计量为
．
⑵ 由于，并且的极大似然估计量为
．
又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为
．
又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为
．
三．（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分）．
11．设随机变量与相互独立，且服从同一分布．的分布律为
．
又设，．
⑴ 求出二维随机变量的联合分布律及随机变量及各自的边缘分布律；⑵ 求、及．
解：
⑴ 由与的取值都是，可知与的取值也是．
；
；
；
；
；
；
；
；
；
因此二维随机变量的联合分布律及的边缘分布律为
⑵ ，，
．
12．设总体的数学期望为，方差为，现从中分别抽取容量为与的两个独立样本，这两个样本的样本均值分别为与．证明：对于满足的任何常数及，是的无偏估计，并确定常数及，使得的方差达到最小．
解：
由样本均值的数学期望的性质，得
所以，是的无偏估计．
又由于 ，．
所以，
下面求二元函数在条件下的最小值．由Lagrange乘数法，令
，
则有，,解此方程组，得
,
即当，时，的方差达到最小．
1．掷2颗均匀的骰子，令：
，．
⑴ 试求，，；⑵ 判断随机事件与是否相互独立？
解：
⑴ 掷2颗骰子，共有种情况（样本点总数）．
事件含有个样本点，故．
事件含有个样本点，故．
事件含有个样本点，故．
⑵ 由于，所以随机事件与相互独立．
2．设连续型随机变量的密度函数为
，
求：⑴ 常数；⑵ 概率．
解：
⑴ 由密度函数的性质，得
所以，得．即随机变量的密度函数为
．
⑵
．
3．设随机变量和的数学期望分别是和，方差分别是和，而相关系数为．
⑴ 求及；⑵ 试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计概率．
解：
⑴ 令，则有
⑵ 根据切比雪夫不等式，有
,
4．在总体中随机抽取一个容量为的样本，求．
（附，标准正态分布的分布函数的部分值：
解：
由于总体，而且样本量，所以．
所以，
．
5．设总体，其中且与都未知，，．现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，．试在置信水平下，求的置信区间．
（已知：，，，）．
解：
由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为
．
由，，得．查表，得．
由样本观测值，得，
．
所以，
，
，
因此所求置信区间为．
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）．
6．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为、、．
⑴ 求密码能被破译的概率．⑵ 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率．
解：
⑴ 设，，．
．
则，因此，
．
⑵ ，则
，所以
注意到，所求概率为．
7．某学生参加一项考试，他可以决定聘请名或者名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并且每位考官判断他通过考试的概率均为，如果至少有位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该考生聘请名还是名考官，能使得他通过考试的概率较大？
解：
设，则．
．
由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．令表示判断他通过考试的考试人数，则，因此
,．
⑴ 若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．所以，
．
⑵ 若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．所以，
．
所以聘请位考官，可以使该考生通过考试的概率较大．
8．设二维随机变量的联合密度函数为
⑴．求，及；
⑵．分别求出求与的边缘密度函数；
⑶．判断随机变量与是否相关？是否相互独立？
解：
⑴．
⑵．当时，
所以，随机变量的边缘密度函数为
；
当时，
所以，随机变量的边缘密度函数为
⑶．由于，所以与不相关．
，所以与不独立．
9．某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为元、元、元和元．并且这种快餐套餐售出的概率分别为、、和．若某天该快餐店售出套餐份，试用中心极限定理计算：⑴ 该快餐店这天收入至少为元的概率．⑵ 元套餐至少售出份的概率．
（附，标准正态分布的分布函数的部分值：
解：
⑴ 设表示售出一份套餐的收入，则的分布律为
则 ，
，
．
令表示出售的第套快餐套餐的收入，．则独立同分布，且的分布都与的分布相同．则
⑵ 设表示售出的份套餐中套餐的份数，则．则
．
10．设总体，是取自该总体中的一个样本．
⑴ 求的极大似然估计量；⑵ 求的极大似然估计量．
解：
⑴,总体的密度函数为
．
所以似然函数为
所以，取对数，得
所以，
解方程，得，所以的极大似然估计量为
．
⑵ 由于，并且的极大似然估计量为
．
又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为
．
又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为
．
三．（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分）．
11．设随机变量与相互独立，且服从同一分布．的分布律为
．
又设，．
⑴ 求出二维随机变量的联合分布律及随机变量及各自的边缘分布律；⑵ 求、及．
解：
⑴ 由与的取值都是，可知与的取值也是．
；
；
；
；
；
；
；
；
；
因此二维随机变量的联合分布律及的边缘分布律为
⑵ ，，
．
12．设总体的数学期望为，方差为，现从中分别抽取容量为与的两个独立样本，这两个样本的样本均值分别为与．证明：对于满足的任何常数及，是的无偏估计，并确定常数及，使得的方差达到最小．
解：
由样本均值的数学期望的性质，得
所以，是的无偏估计．
又由于 ，．
所以，
下面求二元函数在条件下的最小值．由Lagrange乘数法，令
，
则有，,解此方程组，得
,
即当，时，的方差达到最小．
