§ 3 条 件 概 率一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式目 录 索 引第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录一 条 件 概 率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B
发生的概率。
吸烟有害健康
S
ABB
A
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录条 件 概 率设 A,B是某随机试验中的两个事件，且 0?AP
则称事件 B在“事件 A已发生”这一附加条件下的概率为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率
，简称为 B在 A之下的条件概率，记为ABP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 1 盒中有 4个外形相同的球，它们的标号分别为 1,2,3,4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次．
则该试验的所有可能的结果为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
其中 (i,j)表示第一次取 i号球，第二次取 j号球第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录设 A={ 第一次取出球的标号为 2 }
B={ 取出的两球标号之和为 4 }
则事件 B所含的样本点为
(1,3) (2,2) (3,1)
因此事件 B的概率为,
163?BP
ABP
若我们考虑在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率并记此概率为,
由于已知事件 A已经发生，则该试验的所有可能结果为第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
这时，事件 B是在事件 A已经发生的条件下的概率
，因此这时所求的概率为
41?ABP
注,由例 1可以看出，事件在“条件 A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．
因此，有必要引入下面的定义：
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录称为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率，
简称为 B在 A之下的条件概率。
在例 1 中，我们已求得
4
1,
16
3 ABPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
0?AP
设 A,B是某随机试验中的两个事件，且
AP ABPABP?
则还可求得
161,164 ABPAP
AP ABPABP?
故有 返回主目录条件概率的性质：
01?ABPB,有非负性：对任意事件
；规范性,12?ASP
11
21
3
n
n
n
n
n
ABPABP
BBB
则两互不相容，
两，，，，事件可列可加性：如果随机第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 2已知某家庭有 3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
则 878111 APAP
86?ABP
7
6
8
7
8
6
AP
ABP
ABP
所以解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 }
B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式
AP
ABPABP?
我们得
ABPAPABP?
这就是两个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录多个事件的乘法公式个随机事件，且为，，，设 nAAA n?21
0121nAAAP?
则有
121213
12121
nn
n
AAAAPAAAP
AAPAPAAAP
这就是 n个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了 n次都未取出黑球的概率．
解：
次都未取出黑球取了设 nB?
niiA i,，，次取出白球第?21
则
nAAAB?21?
由乘法公式，我们有第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
nAAAPBP?21?
121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP?
14
3
3
2
2
1
n
n?
1
1
n
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破，
第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解,以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：
.
200
3
)
2
1
1)(
10
7
1)(
10
9
1(
)()|()|()()( 112213321
APAAPAAAPAAAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全概率公式和贝叶斯公式
S
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB;,,2,1,,,= njijiAA ji
.21 SAAA n
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，
为 E 的一组事件。若满足
(1)
(2)
则称 为样本空间 S 的一个 划分 。
nAAA?,,21
nAAA?,,21
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全 概 率 公 式：
设随机事件
BAAA n 以及,,,21
满足：
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
或,2
1
SA
n
n?
,2,103 nAP n．
1n
nn ABPAPBP则有第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率；?
1n
nAB
返回主目录全概率公式的证明由条件：
1n
nAB
得
1n
n BAB
而且由两两互不相容， nAAA,,,21
也两两互不相容；得 BABABA n,,,21
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB
S
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全概率公式的证明（续）
所以由概率的可列可加性，得
1n
n BAPBP
代入公式（ 1），得
得，再由条件?,2,10 nAP n
nnn ABPAPBAP?
11 n
nn
n
n ABPAPBAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全概率公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
BP即求第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 6 某小组有 20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为 2,6,9,3名．又若选一、二、三、
四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．
解：
标该小组在比赛中射中目设?B
4321,，级射手参加比赛选 iiiA
由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
4
1n n
ABPnAPBP
32.020345.020964.020685.0202
5 2 7 5.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
Bayes 公 式设随机事件 BAAA
n 以及,,,21
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
,2,103 nAP n．
满足
,,2,1,
1
)()|(
)()|(
)(
)(
)|(?n
j
j
AP
j
ABP
n
AP
n
ABP
BP
B
n
AP
B
n
AP
则第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
或,2
1
SA
n
n?
；?
1n
nAB
返回主目录
Bayes公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
如果已知事件 B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用 Bayes公式
BAP i即求第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 8 用某种方法普查肝癌，设：
A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }，
D={ 被检查者确实患有肝癌 }，
已知
90.0,95.0 DAPDAP
0 0 0 4.0?DP而且已知：
现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 8（续）
解：
由已知，得
9996.0,90.0 DPDAP
所以，由 Bayes公式，得
DAPDPDAPDP
DAPDP
ADP
10.09 9 9 6.095.00 0 0 4.0
95.00 0 0 4.0
0 0 3 8.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 9
袋中有 10个黑球,5个白球．现掷一枚均匀的骰子，
掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出 3点的概率．
解：
设,B={ 取出的球全是白球 }
621,，，点掷出 iiA i
则由 Bayes公式，得
6
1
33
3
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 9（续）
0
6
1
6
1
6
1
5
1 15
5
3
15
3
5
i
i
i
C
C
C
C
0 4 8 3 5.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05 S
B1 B2 B3
A
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，
且无区别的标志。
（ 1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它 是次品 的概率。
（ 2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此 次品出自那家工厂 的可能性最大。
解,设 A 表示“取到的是一只次品”,Bi ( i=
1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
P A( ),? 0 0125
.)()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP
)(AP
P B A P B AP Ai i( | ) ( )( )?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录元件制造厂
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
B1 B2 B3
A
P B A P A B P BP A( | ) ( | ) ( )( ),,.,1 1 1 0 02 0 150 0125 0 24
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录
,%245.12 3)|( 1ABP
,%645.12 8)|( 2ABP
.%125.12 5.1)|( 3ABP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得 良好时,产品的 合格率 为 90%,而当机器发生某一 故障时,其 合格率 为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整 良好 的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得 良好产品合格机器发生某一 故障
B
B
A
P A B( | )? 90%
P A B( | )? 30%
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录解,P B A P A B P B
P A B P B P A B P B
( | )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )
.,
.,,,
.,
0 9 0 75
0 9 0 75 0 3 0 25
0 9
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
§ 3条件概率返回主目录一 条 件 概 率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B
发生的概率。
吸烟有害健康
S
ABB
A
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录条 件 概 率设 A,B是某随机试验中的两个事件，且 0?AP
则称事件 B在“事件 A已发生”这一附加条件下的概率为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率
，简称为 B在 A之下的条件概率，记为ABP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 1 盒中有 4个外形相同的球，它们的标号分别为 1,2,3,4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次．
则该试验的所有可能的结果为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
其中 (i,j)表示第一次取 i号球，第二次取 j号球第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录设 A={ 第一次取出球的标号为 2 }
B={ 取出的两球标号之和为 4 }
则事件 B所含的样本点为
(1,3) (2,2) (3,1)
因此事件 B的概率为,
163?BP
ABP
若我们考虑在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率并记此概率为,
由于已知事件 A已经发生，则该试验的所有可能结果为第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
这时，事件 B是在事件 A已经发生的条件下的概率
，因此这时所求的概率为
41?ABP
注,由例 1可以看出，事件在“条件 A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．
因此，有必要引入下面的定义：
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录称为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率，
简称为 B在 A之下的条件概率。
在例 1 中，我们已求得
4
1,
16
3 ABPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
0?AP
设 A,B是某随机试验中的两个事件，且
AP ABPABP?
则还可求得
161,164 ABPAP
AP ABPABP?
故有 返回主目录条件概率的性质：
01?ABPB,有非负性：对任意事件
；规范性,12?ASP
11
21
3
n
n
n
n
n
ABPABP
BBB
则两互不相容，
两，，，，事件可列可加性：如果随机第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 2已知某家庭有 3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
则 878111 APAP
86?ABP
7
6
8
7
8
6
AP
ABP
ABP
所以解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 }
B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式
AP
ABPABP?
我们得
ABPAPABP?
这就是两个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录多个事件的乘法公式个随机事件，且为，，，设 nAAA n?21
0121nAAAP?
则有
121213
12121
nn
n
AAAAPAAAP
AAPAPAAAP
这就是 n个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了 n次都未取出黑球的概率．
解：
次都未取出黑球取了设 nB?
niiA i,，，次取出白球第?21
则
nAAAB?21?
由乘法公式，我们有第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
nAAAPBP?21?
121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP?
14
3
3
2
2
1
n
n?
1
1
n
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破，
第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解,以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：
.
200
3
)
2
1
1)(
10
7
1)(
10
9
1(
)()|()|()()( 112213321
APAAPAAAPAAAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全概率公式和贝叶斯公式
S
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB;,,2,1,,,= njijiAA ji
.21 SAAA n
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，
为 E 的一组事件。若满足
(1)
(2)
则称 为样本空间 S 的一个 划分 。
nAAA?,,21
nAAA?,,21
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全 概 率 公 式：
设随机事件
BAAA n 以及,,,21
满足：
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
或,2
1
SA
n
n?
,2,103 nAP n．
1n
nn ABPAPBP则有第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率；?
1n
nAB
返回主目录全概率公式的证明由条件：
1n
nAB
得
1n
n BAB
而且由两两互不相容， nAAA,,,21
也两两互不相容；得 BABABA n,,,21
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB
S
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全概率公式的证明（续）
所以由概率的可列可加性，得
1n
n BAPBP
代入公式（ 1），得
得，再由条件?,2,10 nAP n
nnn ABPAPBAP?
11 n
nn
n
n ABPAPBAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录全概率公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
BP即求第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 6 某小组有 20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为 2,6,9,3名．又若选一、二、三、
四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．
解：
标该小组在比赛中射中目设?B
4321,，级射手参加比赛选 iiiA
由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
4
1n n
ABPnAPBP
32.020345.020964.020685.0202
5 2 7 5.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录
Bayes 公 式设随机事件 BAAA
n 以及,,,21
两两互不相容；, nAAA,,,1 21
,2,103 nAP n．
满足
,,2,1,
1
)()|(
)()|(
)(
)(
)|(?n
j
j
AP
j
ABP
n
AP
n
ABP
BP
B
n
AP
B
n
AP
则第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
或,2
1
SA
n
n?
；?
1n
nAB
返回主目录
Bayes公式的使用我们把事件 B看作某一过程的结果，
因，看作该过程的若干个原把 nAAA,,,21
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
已知即 nAP
已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知，
如果已知事件 B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用 Bayes公式
BAP i即求第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 8 用某种方法普查肝癌，设：
A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }，
D={ 被检查者确实患有肝癌 }，
已知
90.0,95.0 DAPDAP
0 0 0 4.0?DP而且已知：
现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 8（续）
解：
由已知，得
9996.0,90.0 DPDAP
所以，由 Bayes公式，得
DAPDPDAPDP
DAPDP
ADP
10.09 9 9 6.095.00 0 0 4.0
95.00 0 0 4.0
0 0 3 8.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 9
袋中有 10个黑球,5个白球．现掷一枚均匀的骰子，
掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出 3点的概率．
解：
设,B={ 取出的球全是白球 }
621,，，点掷出 iiA i
则由 Bayes公式，得
6
1
33
3
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 9（续）
0
6
1
6
1
6
1
5
1 15
5
3
15
3
5
i
i
i
C
C
C
C
0 4 8 3 5.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05 S
B1 B2 B3
A
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，
且无区别的标志。
（ 1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它 是次品 的概率。
（ 2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此 次品出自那家工厂 的可能性最大。
解,设 A 表示“取到的是一只次品”,Bi ( i=
1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
P A( ),? 0 0125
.)()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP
)(AP
P B A P B AP Ai i( | ) ( )( )?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录元件制造厂
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
B1 B2 B3
A
P B A P A B P BP A( | ) ( | ) ( )( ),,.,1 1 1 0 02 0 150 0125 0 24
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录
,%245.12 3)|( 1ABP
,%645.12 8)|( 2ABP
.%125.12 5.1)|( 3ABP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10（续）
返回主目录例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得 良好时,产品的 合格率 为 90%,而当机器发生某一 故障时,其 合格率 为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整 良好 的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得 良好产品合格机器发生某一 故障
B
B
A
P A B( | )? 90%
P A B( | )? 30%
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率返回主目录解,P B A P A B P B
P A B P B P A B P B
( | )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )
.,
.,,,
.,
0 9 0 75
0 9 0 75 0 3 0 25
0 9
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