一．和的分布第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布例 1
Y
X
1 2 3 4
1
4
1
0 0 0
2
8
1
8
1
0 0
3
12
1
12
1
12
1
0
4
16
1
16
1
16
1
16
1的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
的分布律．，试求随机变量令,ZYXZ 返回主目录例 1（续）
解：
．，，，，，，的取值为可知随机变量 8765432YXZ
，，，，的取值都是与由于 4321YX
2?ZP11 YXP,；
4
1?
3?ZP1221 YXPYXP,,；
8
1
8
10
4?ZP
132231 YXPYXPYXP,，，；245121810
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 1（续）
7?ZP3443 YXPYXP,,；
16
1
16
10
6?ZP
243342 YXPYXPYXP,，，；4871611210
5?ZP
1423
3241
YXPYXP
YXPYXP
，，
，，；48716112100
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 1（续）
的分布律为由此得 YXZ
8?ZP44 YXP,,
16
1?
Z 2 3 4 5 6 7 8
P
4
1
8
1
24
5
48
7
48
7
16
1
16
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 2
的分布律．机变量
，试求随分布，令的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量
Z
YXZ
YX
P o is s o n21
解：
，，，，的取值都是与由随机变量?210YX
，，，，的取值也是可知随机变量?210YXZ
而且，
nZPnYXP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录
n
k
knYkXP
0
，
例 2（续）
n
k
knYkXP
0
，
的独立性与随机变量 YX
n
k
knk
eknek
0
21 21
!!
n
k
knYPkXP
0
n
k
knk
knke 0 21!!
121
n
k
knk
knk
n
n
e
0
21!!
!
!
21
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 2（续）
n
k
knkk
nCn
e
0
21!
21
nne 21! 21
即，
21
!
21 e
n
nZP
n
，，,210?n
分布．的服从参数为分布的定义，知由
P o i s s o n
P o i s s o n
21
YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ
,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z
,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z
zZPzF ZzYXP
zyx
d x d yyxf,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
xz
dyyxfdx,
x
y
O
xuy作变换：
则有
z
Z duxuxfdxzF,
dxxuxfdu
z
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布的函数：注意里层的积分是 u
z
Z duugzF即有
dxxuxfug,
的密度函数为导，可得求之间的关系，上式对由分布函数与密度函数
YXZ
z
zFzf ZZ
z
duug
dz
dzg?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
dxxzxfzf Z,即注意到在前面的积分中
zyx
Z d x d yyxfzF,
，有积分，通过类似的计算后对
，对积分的，若将其改成先，后对我们是先对
y
xxy
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
xz
dyyxfdx,
返回主目录连续型随机变量和的分布
dyyyzfzf Z,
相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
yfxfyxf YX?，
此时，我们有
dxxzfxfzf YXZ
或者
dyyfyzfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
的卷积，记作与我们称上式为函数 yfxf YX
yfxf YX *
：因此，我们有以下结论卷积：
密度函数的与的密度函数等于相互独立，则它们的和与如果随机变量
YXYXZ
YX
yfxfzf YXZ *?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
dxxzfxfzf YXZ
dyyfyzfzf YXZ
例 3
解：
的密度函数．，试求随机变量均匀分布，令上的，相互独立，都服从区间与设随机变量
ZYXZ
YX
10
由题意，可知
其它0
101 xxf
X
其它0
101 yyf
Y
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录
dxxzfxfzf YXZ
例 3（续）
,20 zz,或⑴．若 0?zfZ
，⑵．若 10 z
z
Z dxzf
0
1
z?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
dxxzfxfzf YXZ
10,10 xzx
x
z
0xz
1xz
0 1
1
2
1
1
1
z
Z dxzf
z 2，⑶．若 21 z
的密度函数为综上所述，我们可得
YXZ
其它0
212
10
zz
zz
zf Z
返回主目录例 4
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令服从分布，
上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量
Z
YXZY
XYX
1
10
由题意，可知
其它0
101 xxf
X
00
0
y
yeyf y
Y
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 4（续）
，⑴．若 0?z 0?zfZ
，⑵．若 10 z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
,?
dxxzfxfzf YXZ 0,10 xzx
x
z
0xz
0 1
1
z
xz
Z dxezf
0
)(1
ze 1
z
xz dxee
0
，⑶．若 1?z
1
0
)( dxezf xz
Z
zz ee 1
1
0
dxee xz
返回主目录例 4（续）
的密度函数为综上所述，我们可得 YXZ
1
101
00
1 zee
ze
z
zf
zz
z
Z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 5
解：
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
10~10~
由题意，可知
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
,
2
1 2 2 xexfxf x
YX?
dxee
xzx
22
22
2
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 5（续）
，代入上式，有则有，作积分变换 dxduzxu 222
作配方法，得的指数上对在上式中 xe
dxeezf
zxz
Z
22
24
2
1
2
1
dueezf
uz
Z
222
2
2
2
2
1
22
1
2
2
22
22
1
z
e
,，这表明,20~ NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录结 论
211~,NX
论：一般地，我们有如下结相互独立，且与如果随机变量 YX
，YXZ
222~,NY
222121~,则 NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录结 论
2~ iii NX,
结论：更一般地，我们有如下相互独立，，，，如果随机变量 nXXX?21
，令,?
n
i
ii XaZ
1
ni,，,?21?
n
i
ii
n
i
ii aaNZ
1
22
1
~,则个实常数，为，，，又 naaa n?21
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 6
解：
的密度函数．，试求随机变量令
，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
nYmXYX
22 ~~
由题意，可知
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
mxf
xm
m
X
00
0
2
2
1
2
1
2
2
y
yey
nyf
yn
n
Y
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 6（续）
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
z xzn
n
xm
m
dxexz
n
ex
m0
2
1
2
2
2
1
2
2
)(
2
2
1
2
2
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
z
0xz
0
dxxzfxfzf YXZ 0,0 xzx
.0)(0)1( zfz z，当
)(,0)2( zfz z当返回主目录例 6（续）
z nm
nm
nz
dx
z
x
x
nm
ze
0
1
21
2
2
1
22
1
22
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
z
n
m
nm
z
dxxzx
nm
e
0
1
2
1
2
2
2
22
2
zfZ
z
dxdt
z
xt,作积分变换；时，当 00 tx,时，当 1 tzx
返回主目录例 6（续）
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
z d tttz
nm
ze
zf
nm
nm
nz
Z
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
dttt
nm
ze n
m
nm
nmz
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布函数的定义：由数学中
函数之间的关系：函数与以及
001
1
0
11 tsdxxxts ts,，
ts tsts,
返回主目录例 6（续）
2
22
22
2 2
1
22
nm
nm
nm
ze
nm
nmz
2
2 2
1
22
nm
ze
nm
nmz
综上所述，我们有第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
22
22
2 2
1
22 nm
nm
ze
zf
nm
nmz
Z,可知，
返回主目录例 6（续）
由此，我们得
00
0
2
2
1 1
22
2
z
zze
nmzf
nmz
nm
Z
相互独立，且与如果随机变量 YX
，,nYmX 22 ~~
，YXZ
nmZ?2~?则第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量商的分布
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ?
,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z?
,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z?
zZPzF Z
z
Y
XP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布二．商的分布返回主目录连续型随机变量商的分布
z
y
x
d x d yyxf,
00 yz
y
xyz
y
x
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
00 yzyxyzyx
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
zy
zy
dxyxfdydxyxfdy,，
0
0
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
y
yzx?
yzx?
返回主目录连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxyd udx
,中，作变换，在第一个积分 uyxdxyxfdy
zy
0；，因而有时，注意到当 uyx 0
y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
,，
00
dyyuyyfdu
z
0
, dyyuyfydu
z
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxyd udx
,中，作变换，同理，在第二个积分 uyxdxyxfdy
zy
0；，因而有时，注意到当 uyx 0
y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
,，
00
dyyuyfydu
z
0
, dyyuyfydu
z
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量商的分布义有所以，由密度函数的定
dyyuyfydudyyuyfyduzF
zz
Z
0
0
，，
dudyyuyfy
z
,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布故
zf Z dyyzyfy?
，
返回主目录连续型随机变量商的分布相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
yfxfyxf YX?，
此时，我们有
dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布补充结论,
则令：,YXZ
dyyyzfzf Z,
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
（ 1）
则令：,XYZ?
（ 2）
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
dy
y
y
y
zfdx
xx
zxfzf
Z
1,1,
返回主目录例 7
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令与数为相互独立，分别服从参与设随机变量
Z
Y
X
Z
YX
21
由题意，可知
00
011
x
xexf x
X
00
022
y
yeyf y
Y
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 7（续）
Y
XZ?设,相互独立性，我们有与由随机变量 YX
dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，⑴．若 0?z,0?zf Z
0,0 yyz
y
z
0,0 yz
，⑵．若 0?z
zfZ
0
21
21 dyeey yyz
返回主目录例 7（续）
0
21
12 dyey yz
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
212
21
z
的密度函数为所以,YXZ?
00
0
2
12
21
z
z
zzf Z
返回主目录本节的解题步骤
，分布函数的，先求随机变量函数
zF
YXgZ
Z
，密度函数的，再求随机变量函数
zFzf
YXgZ
ZZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布三．其它的分布返回主目录例 8
解：
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
22
10~10~
由题意，可知
数为的联合密度函，是相互独立的，所以，与由于 YXYX
,
2
1 2
2
xexfxf
x
YX?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 8（续）
yxeyxf
yx
，,2
22
2
1
的分布函数为所以,22 YXZ
zZPzF ZzYXP 22
，则若 0?Z 0?zFZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，则若 0?ZzYXPzF Z 22
zyx
d x d yyxf
22
，
zyx
yx
d x d ye
22
22
2
2
1
返回主目录例 8（续）
则有，，作极坐标变换 s i nco s ryrx
z r
Z r d redzF
0
2
2
0
2
2
1
z r
rd re
0
2
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
00
0
0
2
2
z
zr d re
zF
z r
Z
的密度函数为所以,22 YXZ
00
02
2
z
zzezf
z
Z
返回主目录例 9
解：
是否相互独立？与并判断各自的边缘分布律，与的联合分布律及与机变量
，试求随，，，，令
，，，相互独立，与设随机变量
YXYXp
pBYpBXYX
m a xm in10
1~1~
，知与的取值都为与由随机变量 10YX
YXYX,，,m axm i n
．与的取值也为 10
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 9（续）
00,P00 YXP,
00 YPXP21 p
10,P0110 YXPYXP,，
0110 YPXPYPXP
pp 12
01,P P 0?
11,P11 YXP,
11 YPXP 2p?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 9（续）
各自的边缘分布律为，与的联合分布律及与随机变量
0 1?ip
0
2
1 ppp?12
2
1 p?
1 0
2
p
2
p
j
p
2
1 p
2
11 p
，由于 10 p 所以，
001,P 22 101 ppPP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布不独立．与这表明，随机变量
返回主目录例 10
解：
,令：，密度函数为的分布函数为随机变量，是独立同分布的连续型，，，设
xfxFX
XXX n
1
21?
，，，，
，，，，
nn
n
XXXX
XXXX
21
211
m a x
m in
的密度函数．与试求随机变量 nXX 1
．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
1
11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 10（续）
则
xXPxF nn
．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
n
nn
xXXXP n,，,?21m a x
xXxXxXP n,，,?21
xXPxXPxXP n21
nxF?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 10（续）
xXPxF 11
xFxf nn所以，
xXXXP n,，,?21m i n
xXxXxXP n,，,?211
nxFdxd?
xFxFn n 1xfxFn n 1
xXXXP n,，,?21m i n1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 10（续）
xFxf 11所以，
xXPxXPxXP n211
nxFdxd 11
xFxFn n 11
xfxFn n 11
xXPxXPxXP n 1111 21?
nxF 11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 11
解：
的密度函数．的寿命的指数分布，试求系统
，它们都服从参数为的寿命为并联而成，并且
，，，个相互独立的子系统是由设系统
ZL
XL
LLLnL
ii
n
21
，，，,nXXXZ?21m ax?
并联而成，故有
，，，个相互独立的子系统是由由于系统 nLLLnL?21
的密度函数为因此的指数分布，服从参数为的寿命又因为子系统
i
ii
X
XL?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 11（续）
知，所以，由例 9
00
0
x
xexf x
的分布函数为iX
00
01
x
xexF x?
，，，,nXXXZ?21m ax?
的密度函数为第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
xfxFnxf nZ 1
00
01 1
x
xeen xnx
返回主目录
1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。
2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。
3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。
4 要理解随机变量的独立性。
5 要会求二维随机变量的和、商分布及多维随机变量的极值分布和函数的分布。
第三章 小 结返回主目录作业,.26,23,21,20,19,18,17,14,11,9,7,5,3,1
94P
重点,随机变量的独立性、二维随机变量的和、
商分布及多维随机变量的极值分布函数的分布。
§ 5 多维随机变量函数的分布例 1
Y
X
1 2 3 4
1
4
1
0 0 0
2
8
1
8
1
0 0
3
12
1
12
1
12
1
0
4
16
1
16
1
16
1
16
1的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
的分布律．，试求随机变量令,ZYXZ 返回主目录例 1（续）
解：
．，，，，，，的取值为可知随机变量 8765432YXZ
，，，，的取值都是与由于 4321YX
2?ZP11 YXP,；
4
1?
3?ZP1221 YXPYXP,,；
8
1
8
10
4?ZP
132231 YXPYXPYXP,，，；245121810
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 1（续）
7?ZP3443 YXPYXP,,；
16
1
16
10
6?ZP
243342 YXPYXPYXP,，，；4871611210
5?ZP
1423
3241
YXPYXP
YXPYXP
，，
，，；48716112100
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 1（续）
的分布律为由此得 YXZ
8?ZP44 YXP,,
16
1?
Z 2 3 4 5 6 7 8
P
4
1
8
1
24
5
48
7
48
7
16
1
16
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 2
的分布律．机变量
，试求随分布，令的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量
Z
YXZ
YX
P o is s o n21
解：
，，，，的取值都是与由随机变量?210YX
，，，，的取值也是可知随机变量?210YXZ
而且，
nZPnYXP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录
n
k
knYkXP
0
，
例 2（续）
n
k
knYkXP
0
，
的独立性与随机变量 YX
n
k
knk
eknek
0
21 21
!!
n
k
knYPkXP
0
n
k
knk
knke 0 21!!
121
n
k
knk
knk
n
n
e
0
21!!
!
!
21
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 2（续）
n
k
knkk
nCn
e
0
21!
21
nne 21! 21
即，
21
!
21 e
n
nZP
n
，，,210?n
分布．的服从参数为分布的定义，知由
P o i s s o n
P o i s s o n
21
YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ
,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z
,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z
zZPzF ZzYXP
zyx
d x d yyxf,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
xz
dyyxfdx,
x
y
O
xuy作变换：
则有
z
Z duxuxfdxzF,
dxxuxfdu
z
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布的函数：注意里层的积分是 u
z
Z duugzF即有
dxxuxfug,
的密度函数为导，可得求之间的关系，上式对由分布函数与密度函数
YXZ
z
zFzf ZZ
z
duug
dz
dzg?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
dxxzxfzf Z,即注意到在前面的积分中
zyx
Z d x d yyxfzF,
，有积分，通过类似的计算后对
，对积分的，若将其改成先，后对我们是先对
y
xxy
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
xz
dyyxfdx,
返回主目录连续型随机变量和的分布
dyyyzfzf Z,
相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
yfxfyxf YX?，
此时，我们有
dxxzfxfzf YXZ
或者
dyyfyzfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量和的分布
的卷积，记作与我们称上式为函数 yfxf YX
yfxf YX *
：因此，我们有以下结论卷积：
密度函数的与的密度函数等于相互独立，则它们的和与如果随机变量
YXYXZ
YX
yfxfzf YXZ *?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
dxxzfxfzf YXZ
dyyfyzfzf YXZ
例 3
解：
的密度函数．，试求随机变量均匀分布，令上的，相互独立，都服从区间与设随机变量
ZYXZ
YX
10
由题意，可知
其它0
101 xxf
X
其它0
101 yyf
Y
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录
dxxzfxfzf YXZ
例 3（续）
,20 zz,或⑴．若 0?zfZ
，⑵．若 10 z
z
Z dxzf
0
1
z?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
dxxzfxfzf YXZ
10,10 xzx
x
z
0xz
1xz
0 1
1
2
1
1
1
z
Z dxzf
z 2，⑶．若 21 z
的密度函数为综上所述，我们可得
YXZ
其它0
212
10
zz
zz
zf Z
返回主目录例 4
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令服从分布，
上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量
Z
YXZY
XYX
1
10
由题意，可知
其它0
101 xxf
X
00
0
y
yeyf y
Y
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 4（续）
，⑴．若 0?z 0?zfZ
，⑵．若 10 z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
,?
dxxzfxfzf YXZ 0,10 xzx
x
z
0xz
0 1
1
z
xz
Z dxezf
0
)(1
ze 1
z
xz dxee
0
，⑶．若 1?z
1
0
)( dxezf xz
Z
zz ee 1
1
0
dxee xz
返回主目录例 4（续）
的密度函数为综上所述，我们可得 YXZ
1
101
00
1 zee
ze
z
zf
zz
z
Z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 5
解：
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
10~10~
由题意，可知
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
,
2
1 2 2 xexfxf x
YX?
dxee
xzx
22
22
2
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 5（续）
，代入上式，有则有，作积分变换 dxduzxu 222
作配方法，得的指数上对在上式中 xe
dxeezf
zxz
Z
22
24
2
1
2
1
dueezf
uz
Z
222
2
2
2
2
1
22
1
2
2
22
22
1
z
e
,，这表明,20~ NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录结 论
211~,NX
论：一般地，我们有如下结相互独立，且与如果随机变量 YX
，YXZ
222~,NY
222121~,则 NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录结 论
2~ iii NX,
结论：更一般地，我们有如下相互独立，，，，如果随机变量 nXXX?21
，令,?
n
i
ii XaZ
1
ni,，,?21?
n
i
ii
n
i
ii aaNZ
1
22
1
~,则个实常数，为，，，又 naaa n?21
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 6
解：
的密度函数．，试求随机变量令
，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
nYmXYX
22 ~~
由题意，可知
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
mxf
xm
m
X
00
0
2
2
1
2
1
2
2
y
yey
nyf
yn
n
Y
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 6（续）
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
z xzn
n
xm
m
dxexz
n
ex
m0
2
1
2
2
2
1
2
2
)(
2
2
1
2
2
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
z
0xz
0
dxxzfxfzf YXZ 0,0 xzx
.0)(0)1( zfz z，当
)(,0)2( zfz z当返回主目录例 6（续）
z nm
nm
nz
dx
z
x
x
nm
ze
0
1
21
2
2
1
22
1
22
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
z
n
m
nm
z
dxxzx
nm
e
0
1
2
1
2
2
2
22
2
zfZ
z
dxdt
z
xt,作积分变换；时，当 00 tx,时，当 1 tzx
返回主目录例 6（续）
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
z d tttz
nm
ze
zf
nm
nm
nz
Z
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
dttt
nm
ze n
m
nm
nmz
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布函数的定义：由数学中
函数之间的关系：函数与以及
001
1
0
11 tsdxxxts ts,，
ts tsts,
返回主目录例 6（续）
2
22
22
2 2
1
22
nm
nm
nm
ze
nm
nmz
2
2 2
1
22
nm
ze
nm
nmz
综上所述，我们有第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
22
22
2 2
1
22 nm
nm
ze
zf
nm
nmz
Z,可知，
返回主目录例 6（续）
由此，我们得
00
0
2
2
1 1
22
2
z
zze
nmzf
nmz
nm
Z
相互独立，且与如果随机变量 YX
，,nYmX 22 ~~
，YXZ
nmZ?2~?则第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量商的分布
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ?
,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z?
,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z?
zZPzF Z
z
Y
XP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布二．商的分布返回主目录连续型随机变量商的分布
z
y
x
d x d yyxf,
00 yz
y
xyz
y
x
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
00 yzyxyzyx
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
zy
zy
dxyxfdydxyxfdy,，
0
0
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
y
yzx?
yzx?
返回主目录连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxyd udx
,中，作变换，在第一个积分 uyxdxyxfdy
zy
0；，因而有时，注意到当 uyx 0
y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
,，
00
dyyuyyfdu
z
0
, dyyuyfydu
z
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxyd udx
,中，作变换，同理，在第二个积分 uyxdxyxfdy
zy
0；，因而有时，注意到当 uyx 0
y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
,，
00
dyyuyfydu
z
0
, dyyuyfydu
z
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录连续型随机变量商的分布义有所以，由密度函数的定
dyyuyfydudyyuyfyduzF
zz
Z
0
0
，，
dudyyuyfy
z
,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布故
zf Z dyyzyfy?
，
返回主目录连续型随机变量商的分布相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
yfxfyxf YX?，
此时，我们有
dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布补充结论,
则令：,YXZ
dyyyzfzf Z,
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
（ 1）
则令：,XYZ?
（ 2）
,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
dy
y
y
y
zfdx
xx
zxfzf
Z
1,1,
返回主目录例 7
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令与数为相互独立，分别服从参与设随机变量
Z
Y
X
Z
YX
21
由题意，可知
00
011
x
xexf x
X
00
022
y
yeyf y
Y
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 7（续）
Y
XZ?设,相互独立性，我们有与由随机变量 YX
dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，⑴．若 0?z,0?zf Z
0,0 yyz
y
z
0,0 yz
，⑵．若 0?z
zfZ
0
21
21 dyeey yyz
返回主目录例 7（续）
0
21
12 dyey yz
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
212
21
z
的密度函数为所以,YXZ?
00
0
2
12
21
z
z
zzf Z
返回主目录本节的解题步骤
，分布函数的，先求随机变量函数
zF
YXgZ
Z
，密度函数的，再求随机变量函数
zFzf
YXgZ
ZZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布三．其它的分布返回主目录例 8
解：
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
22
10~10~
由题意，可知
数为的联合密度函，是相互独立的，所以，与由于 YXYX
,
2
1 2
2
xexfxf
x
YX?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 8（续）
yxeyxf
yx
，,2
22
2
1
的分布函数为所以,22 YXZ
zZPzF ZzYXP 22
，则若 0?Z 0?zFZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，则若 0?ZzYXPzF Z 22
zyx
d x d yyxf
22
，
zyx
yx
d x d ye
22
22
2
2
1
返回主目录例 8（续）
则有，，作极坐标变换 s i nco s ryrx
z r
Z r d redzF
0
2
2
0
2
2
1
z r
rd re
0
2
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
00
0
0
2
2
z
zr d re
zF
z r
Z
的密度函数为所以,22 YXZ
00
02
2
z
zzezf
z
Z
返回主目录例 9
解：
是否相互独立？与并判断各自的边缘分布律，与的联合分布律及与机变量
，试求随，，，，令
，，，相互独立，与设随机变量
YXYXp
pBYpBXYX
m a xm in10
1~1~
，知与的取值都为与由随机变量 10YX
YXYX,，,m axm i n
．与的取值也为 10
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 9（续）
00,P00 YXP,
00 YPXP21 p
10,P0110 YXPYXP,，
0110 YPXPYPXP
pp 12
01,P P 0?
11,P11 YXP,
11 YPXP 2p?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 9（续）
各自的边缘分布律为，与的联合分布律及与随机变量
0 1?ip
0
2
1 ppp?12
2
1 p?
1 0
2
p
2
p
j
p
2
1 p
2
11 p
，由于 10 p 所以，
001,P 22 101 ppPP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布不独立．与这表明，随机变量
返回主目录例 10
解：
,令：，密度函数为的分布函数为随机变量，是独立同分布的连续型，，，设
xfxFX
XXX n
1
21?
，，，，
，，，，
nn
n
XXXX
XXXX
21
211
m a x
m in
的密度函数．与试求随机变量 nXX 1
．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
1
11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 10（续）
则
xXPxF nn
．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
n
nn
xXXXP n,，,?21m a x
xXxXxXP n,，,?21
xXPxXPxXP n21
nxF?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 10（续）
xXPxF 11
xFxf nn所以，
xXXXP n,，,?21m i n
xXxXxXP n,，,?211
nxFdxd?
xFxFn n 1xfxFn n 1
xXXXP n,，,?21m i n1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 10（续）
xFxf 11所以，
xXPxXPxXP n211
nxFdxd 11
xFxFn n 11
xfxFn n 11
xXPxXPxXP n 1111 21?
nxF 11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 11
解：
的密度函数．的寿命的指数分布，试求系统
，它们都服从参数为的寿命为并联而成，并且
，，，个相互独立的子系统是由设系统
ZL
XL
LLLnL
ii
n
21
，，，,nXXXZ?21m ax?
并联而成，故有
，，，个相互独立的子系统是由由于系统 nLLLnL?21
的密度函数为因此的指数分布，服从参数为的寿命又因为子系统
i
ii
X
XL?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布返回主目录例 11（续）
知，所以，由例 9
00
0
x
xexf x
的分布函数为iX
00
01
x
xexF x?
，，，,nXXXZ?21m ax?
的密度函数为第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
xfxFnxf nZ 1
00
01 1
x
xeen xnx
返回主目录
1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。
2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。
3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。
4 要理解随机变量的独立性。
5 要会求二维随机变量的和、商分布及多维随机变量的极值分布和函数的分布。
第三章 小 结返回主目录作业,.26,23,21,20,19,18,17,14,11,9,7,5,3,1
94P
重点,随机变量的独立性、二维随机变量的和、
商分布及多维随机变量的极值分布函数的分布。
