§ 4 独 立 性
独 立 性
习 题 课目录索引第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 1
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
ba
bAP
22
2
ba
abBAP
ba
bABP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 1（续）
所以，由 BAABB
BAPABPBP得：
ba
b
ba
ab
ba
b
22
2
AP ABPABP?而，
ba
b
ba
b
ba
b
2
2
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录说 明由例 1，可知
ABPBP?
这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．
由此，我们引出事件独立性的概念第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录事件独立性的定义设 A,B 是两个随机事件，如果
BPAPABP?
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质：
1）如果事件 A 与 B 相互独立，而且
0?AP
BPABP?则第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录证明,由于事件 A 与 B 相互独立，故
BPAPABP?
AP ABPABP?因此,BPP BPAP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
2）必然事件 S与任意随机事件 A相互独立；
不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立．
证明：由
APSAPAP 1APSP?
可知必然事件 S 与任意事件 A 相互独立；
可知不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立,
由AP 0APP PAP
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
BABABA 与、与、与也相互独立,
解：为方便起见，只证
BA 与 相互独立即可．
由于
ABBPBAP
，由概率的可减性，得注意到 BAB?
ABPBPBAP
的独立性与事件 BABPAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
BPAP 1BPAP?
相互独立．与所以，事件 BA
返回主目录注意,在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 2
设事件 A 与 B 满足,
0?BPAP
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
若 AB =Φ,则 事件 A 与 B 不相互独立．
证明：
相互独立，故与由于事件 BA
0 BPAPABP
AB所以，
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录由于 AB =Φ，所以
0 PABP
但是，由题设
0?BPAP
BPAPABP?所以，
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。
返回主目录例 3（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
ba
bAP
111 baba abBAPbaba bbABP
所以，
BAPABPBP得：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
11
1
baba
ab
baba
bb
ba
b
AP
ABPABP?而，
ba
b
baba
bb
1
1
1
1
ba
b
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录因此
BPABP?
这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立．事实上
，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化．或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录三个事件的独立性设 A,B,C是三个随机事件，如果
CPBPAPA B CP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则称 A,B,C是相互独立的随机事件．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录注 意在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 4
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：
A={ 取出的球涂有红色 }
B={ 取出的球涂有白色 }
C={ 取出的球涂有黑色 }
则：
21 CPBPAP
41 ACPBCPABP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
41?ABCP
由此可见
BPAPABPCPBPBCP?
CPAPACP?
CPBPAPA B CP 8141但是这表明,A,B,C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
n个事件的相互独立性等式成立：个随机事件，如果下列为，，，设 nAAA n?21
nn
miiiiii
kjikji
jiji
APAPAPAAAP
niiiAPAPAPAAAP
nkjiAPAPAPAAAP
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nm
2121
21
1)(
1
1
2121
个随机事件相互独立．这，，，则称 nnAAA?21
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录说 明在上面的公式中，
个等式一行共有
，最后个等式，个等式，第二行有第一行有
n
n
nn
C
CC32
因此共有
1032 2 nnnnnnn CCCCC
nn 12
个等式第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录个随机事件相互独立．这，，，如果 nnAAA?21
．个随机事件也相互独立这，，，，，则 nAAAA nmm iiii 11?
的一个排列．，，，是，，，其中 niii n 2121
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性独立随机事件的性质返回主目录若 是相互独立的事件，则
nAAA?,,21
)()()(1
)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
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相互独立事件至少发生其一的概率的计算特别地，如果
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则有
np
n
i
iAP
11
1
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
,时 当 n
注 意
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i i
AP
11
1
1?
至少出现一次的概率为次试验中则前出现次试验中表示第事件是某一随机次某一试验假设独立重复地做
A
nAiA
AEn
i,,
,
n p n
ii
A P
1 1
1
1?
.,小概率事件迟早要发生此结论说明第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
3）
2）
1）
n
例 5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为 r，
0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：
第一章 概率论的基本概念返回主目录解,1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为
2）通路发生故障的概率为,两条通路同时发生故障的概率为 故系统的可靠性为即附加通路可使系统可靠性增加。
3）每对并联元件的可靠性为系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为由数学归纳法可证明当
nc rR?
nr?1
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.
2
,1
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csc
cc
nnn
s
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RRrrrR
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.''',)2()2()( csncnnns RRrRrrRR?显然
.,2)2(,2 ' ssnn RRrrn 即时
第一章 概率论的基本概念例 6 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
L R
21
3 4
解,设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：
A A A A A? 1 2 3 4?,
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到
)()()(
)()(
43214321
4321
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AAAAPAP
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4321
4321
APAPAPAP
APAPAPAP
p p p p p2 2 4 2 42,
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 7 要验收一批 ( 100 件 ) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3
件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。
设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为
0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？
纯、纯、纯纯、纯,纯接受
p p p 不纯,纯,纯q
纯,纯,纯接受
p pH1：
H0：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
H2：
p =1-0.01=0.99,q =1-0.95=0.05
解,以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3
件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件
“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得,
不纯,纯,不纯q
纯,纯,纯接受
p q
不纯、不纯,不纯q
纯,纯,纯接受
qq
H3：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05
P A H P A H( | ),,( | ),,,0 3 1 20 99 0 99 0 05
P A H P A H( | ),,,( | ),,2 2 3 30 09 0 05 0 05
纯、纯,纯纯、纯,纯接受不纯、纯,纯纯、纯,纯接受不纯、纯,不纯纯、纯,纯接受都 不 纯纯、纯,纯接受
H0 H1 H2 H3
p p p q q q q q qp p p
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
P H C C P H C C C( ) /,( ) /,0 963 1003 1 41 962 1003
P H C C C P H C C( ) /,( ) /,3 42 961 1003 4 43 1003
故 P A P A H P Hi i
i
( ) ( | ) ( ),,
0 8629
0
3
另外，按照超几何分布的概率计算公式得：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
独 立 性
习 题 课目录索引第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 1
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
ba
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22
2
ba
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第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 1（续）
所以，由 BAABB
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ba
b
ba
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ba
b
22
2
AP ABPABP?而，
ba
b
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2
2
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录说 明由例 1，可知
ABPBP?
这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．
由此，我们引出事件独立性的概念第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录事件独立性的定义设 A,B 是两个随机事件，如果
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则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质：
1）如果事件 A 与 B 相互独立，而且
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BPABP?则第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录证明,由于事件 A 与 B 相互独立，故
BPAPABP?
AP ABPABP?因此,BPP BPAP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
2）必然事件 S与任意随机事件 A相互独立；
不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立．
证明：由
APSAPAP 1APSP?
可知必然事件 S 与任意事件 A 相互独立；
可知不可能事件 Φ与任意随机事件 A相互独立,
由AP 0APP PAP
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
BABABA 与、与、与也相互独立,
解：为方便起见，只证
BA 与 相互独立即可．
由于
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，由概率的可减性，得注意到 BAB?
ABPBPBAP
的独立性与事件 BABPAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
BPAP 1BPAP?
相互独立．与所以，事件 BA
返回主目录注意,在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 2
设事件 A 与 B 满足,
0?BPAP
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
若 AB =Φ,则 事件 A 与 B 不相互独立．
证明：
相互独立，故与由于事件 BA
0 BPAPABP
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第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录由于 AB =Φ，所以
0 PABP
但是，由题设
0?BPAP
BPAPABP?所以，
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。
返回主目录例 3（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球,b 只白球．每次从中取出一球，
取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
ba
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所以，
BAPABPBP得：
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
11
1
baba
ab
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bb
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AP
ABPABP?而，
ba
b
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1
1
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第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录因此
BPABP?
这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立．事实上
，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化．或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录三个事件的独立性设 A,B,C是三个随机事件，如果
CPBPAPA B CP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则称 A,B,C是相互独立的随机事件．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录注 意在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 4
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：
A={ 取出的球涂有红色 }
B={ 取出的球涂有白色 }
C={ 取出的球涂有黑色 }
则：
21 CPBPAP
41 ACPBCPABP
第一章 概率论的基本概念
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41?ABCP
由此可见
BPAPABPCPBPBCP?
CPAPACP?
CPBPAPA B CP 8141但是这表明,A,B,C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．
第一章 概率论的基本概念
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n个事件的相互独立性等式成立：个随机事件，如果下列为，，，设 nAAA n?21
nn
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个随机事件相互独立．这，，，则称 nnAAA?21
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录说 明在上面的公式中，
个等式一行共有
，最后个等式，个等式，第二行有第一行有
n
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C
CC32
因此共有
1032 2 nnnnnnn CCCCC
nn 12
个等式第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录个随机事件相互独立．这，，，如果 nnAAA?21
．个随机事件也相互独立这，，，，，则 nAAAA nmm iiii 11?
的一个排列．，，，是，，，其中 niii n 2121
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性独立随机事件的性质返回主目录若 是相互独立的事件，则
nAAA?,,21
)()()(1
)(1)(
21
2121
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nn
APAPAP
AAAPAAAP
相互独立事件至少发生其一的概率的计算特别地，如果
pnAPAPAP21
则有
np
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11
1
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录
,时 当 n
注 意
npn
i i
AP
11
1
1?
至少出现一次的概率为次试验中则前出现次试验中表示第事件是某一随机次某一试验假设独立重复地做
A
nAiA
AEn
i,,
,
n p n
ii
A P
1 1
1
1?
.,小概率事件迟早要发生此结论说明第一章 概率论的基本概念
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3）
2）
1）
n
例 5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为 r，
0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：
第一章 概率论的基本概念返回主目录解,1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为
2）通路发生故障的概率为,两条通路同时发生故障的概率为 故系统的可靠性为即附加通路可使系统可靠性增加。
3）每对并联元件的可靠性为系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为由数学归纳法可证明当
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)2()1(1 2' rrrR
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.,2)2(,2 ' ssnn RRrrn 即时
第一章 概率论的基本概念例 6 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
L R
21
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解,设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：
A A A A A? 1 2 3 4?,
第一章 概率论的基本概念
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4321
AAAAPAAPAAP
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APAPAPAP
APAPAPAP
p p p p p2 2 4 2 42,
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性返回主目录例 7 要验收一批 ( 100 件 ) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3
件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。
设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为
0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？
纯、纯、纯纯、纯,纯接受
p p p 不纯,纯,纯q
纯,纯,纯接受
p pH1：
H0：
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H2：
p =1-0.01=0.99,q =1-0.95=0.05
解,以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3
件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件
“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得,
不纯,纯,不纯q
纯,纯,纯接受
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不纯、不纯,不纯q
纯,纯,纯接受
H3：
第一章 概率论的基本概念
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p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05
P A H P A H( | ),,( | ),,,0 3 1 20 99 0 99 0 05
P A H P A H( | ),,,( | ),,2 2 3 30 09 0 05 0 05
纯、纯,纯纯、纯,纯接受不纯、纯,纯纯、纯,纯接受不纯、纯,不纯纯、纯,纯接受都 不 纯纯、纯,纯接受
H0 H1 H2 H3
p p p q q q q q qp p p
第一章 概率论的基本概念
§ 4 独立性
P H C C P H C C C( ) /,( ) /,0 963 1003 1 41 962 1003
P H C C C P H C C( ) /,( ) /,3 42 961 1003 4 43 1003
故 P A P A H P Hi i
i
( ) ( | ) ( ),,
0 8629
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3
另外，按照超几何分布的概率计算公式得：
第一章 概率论的基本概念
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