2002-2003学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．设、、是三个随机事件，则“、、这三个随机事件中不多于两个事件发生”这一随机事件可用、、表示为__________________．
解：
其表示方法为
，
或者
，
或者
．
应填：，或者，或者．
2．设随机变量的密度函数为
则________．
解：
由，得
所以，．
应填：
3．在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是_________________________．
解：
设
则，所以，
．
应填：．
4．设，则__________________．
解：
由于，则可以写为，其中随机变量与相互独立，，．因此，所以．
应填：．
5,设总体，是从总体中抽取的一个样本，则参数的矩估计量为_____________________．
解：
由于，所以，将用样本均值来替代，得参数的矩估计量为
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设随机变量，，而且与不相关，令，，且与也不相关，则有
.； .； .； .．
【 】
解：
再由于随机变量，，而且与不相关，所以
，，．
因此，．
这表明：随机变量与不相关，当且仅当，当且仅当．
应选：．
2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为．令表示测试中发生故障的仪器数，则
.； .；
.； .．
【 】
解：
由于表示测试中发生故障的仪器数，所以的取值为，并且的分布律为
所以
．
应选：．
3．若表示二维随机变量的相关系数，则“”是“存在常数、使得”的
.必要条件，但非充分条件； .充分条件，但非必要条件；
.充分必要条件； .既非充分条件，也非必要条件．
【 】
解：
由相关系数的性质，可知“”是“存在常数、使得的充分必要条件．
应选：．
4．设总体与相互独立，且都服从正态分布．是从总体中抽取的一个样本，是从总体中抽取的一个样本，则统计量
； ； ； ．
【 】
应选：．
5．设总体服从参数的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机选出容量为一个样本，则该样本的样本均值的方差为
,； ,； ,； ,．
【 】
解：
由于总体服从参数的泊松（Poisson）分布，所以．又从该总体中随机选出容量为一个样本，则若令是其样本均值，则．
应选：．
三．（本题满分10分）
将两信息分别编码为和发送出去．接收站收到时，被误收作的概率为；而被误收作的概率为．信息与信息传送频繁程度为．若已知接收到的信息是，求原发信息也是的概率．
解：
设，．
，．
则由题设，，，，．
所求概率为，根据Bayes公式，得
四．（本题满分10分）
设随机变量，．试求随机变量的密度函数．
解：
随机变量的密度函数为
．
设随机变量的分布函数为，则
．
⑴ 当时，．
⑵ 当时,
所以，．
所以，．
五．（本题满分10分）
一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？
解：
⑴ 的取值为，并且
因此的分布律为
．
⑵ ．
⑶ 若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次Bernoulli试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5重Bernoulli试验．
，则．
所以，．
这表明，“有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件，因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的．
六．（本题满分10分）
设二维离散型随机变量的联合分布律为
证明：随机变量与不相关，但是随机变量与不独立．
解：
的边缘分布律为
的边缘分布律为
因此，
同理，
所以，，这表明随机变量与不相关．
但是，
所以，随机变量与不独立．
七．（本题满分10分）
一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取元、元、元各个值的概率分别为、、．某天该食品店出售了只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为元的概率．
（附表：标准正态分布的数值表：
解：
设表示该食品店出售的第只蛋糕的价格，则的分布律为
所以，，
，
所以，．
因此，是独立同分布的随机变量，故
．
八．（本题满分10分）
设总体存在二阶矩，并记
，．
是从总体中抽取的一个样本．⑴ 试写出样本方差．⑵ 试求．
解：
⑴ 样本方差为．
⑵
．
九．（本题满分10分）
已知总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．
解：
．
所以当样本观测值为时，似然函数为
所以，．
令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．
1．设、、是三个随机事件，则“、、这三个随机事件中不多于两个事件发生”这一随机事件可用、、表示为__________________．
解：
其表示方法为
，
或者
，
或者
．
应填：，或者，或者．
2．设随机变量的密度函数为
则________．
解：
由，得
所以，．
应填：
3．在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是_________________________．
解：
设
则，所以，
．
应填：．
4．设，则__________________．
解：
由于，则可以写为，其中随机变量与相互独立，，．因此，所以．
应填：．
5,设总体，是从总体中抽取的一个样本，则参数的矩估计量为_____________________．
解：
由于，所以，将用样本均值来替代，得参数的矩估计量为
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设随机变量，，而且与不相关，令，，且与也不相关，则有
.； .； .； .．
【 】
解：
再由于随机变量，，而且与不相关，所以
，，．
因此，．
这表明：随机变量与不相关，当且仅当，当且仅当．
应选：．
2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为，第二台仪器发生故障的概率为．令表示测试中发生故障的仪器数，则
.； .；
.； .．
【 】
解：
由于表示测试中发生故障的仪器数，所以的取值为，并且的分布律为
所以
．
应选：．
3．若表示二维随机变量的相关系数，则“”是“存在常数、使得”的
.必要条件，但非充分条件； .充分条件，但非必要条件；
.充分必要条件； .既非充分条件，也非必要条件．
【 】
解：
由相关系数的性质，可知“”是“存在常数、使得的充分必要条件．
应选：．
4．设总体与相互独立，且都服从正态分布．是从总体中抽取的一个样本，是从总体中抽取的一个样本，则统计量
； ； ； ．
【 】
应选：．
5．设总体服从参数的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机选出容量为一个样本，则该样本的样本均值的方差为
,； ,； ,； ,．
【 】
解：
由于总体服从参数的泊松（Poisson）分布，所以．又从该总体中随机选出容量为一个样本，则若令是其样本均值，则．
应选：．
三．（本题满分10分）
将两信息分别编码为和发送出去．接收站收到时，被误收作的概率为；而被误收作的概率为．信息与信息传送频繁程度为．若已知接收到的信息是，求原发信息也是的概率．
解：
设，．
，．
则由题设，，，，．
所求概率为，根据Bayes公式，得
四．（本题满分10分）
设随机变量，．试求随机变量的密度函数．
解：
随机变量的密度函数为
．
设随机变量的分布函数为，则
．
⑴ 当时，．
⑵ 当时,
所以，．
所以，．
五．（本题满分10分）
一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？
解：
⑴ 的取值为，并且
因此的分布律为
．
⑵ ．
⑶ 若将这只鸟是否“最多试飞3次就飞出房间”看作是一次Bernoulli试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5重Bernoulli试验．
，则．
所以，．
这表明，“有一只鸟飞进该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间”不是一个小概率事件，因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的．
六．（本题满分10分）
设二维离散型随机变量的联合分布律为
证明：随机变量与不相关，但是随机变量与不独立．
解：
的边缘分布律为
的边缘分布律为
因此，
同理，
所以，，这表明随机变量与不相关．
但是，
所以，随机变量与不独立．
七．（本题满分10分）
一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取元、元、元各个值的概率分别为、、．某天该食品店出售了只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为元的概率．
（附表：标准正态分布的数值表：
解：
设表示该食品店出售的第只蛋糕的价格，则的分布律为
所以，，
，
所以，．
因此，是独立同分布的随机变量，故
．
八．（本题满分10分）
设总体存在二阶矩，并记
，．
是从总体中抽取的一个样本．⑴ 试写出样本方差．⑵ 试求．
解：
⑴ 样本方差为．
⑵
．
九．（本题满分10分）
已知总体的分布律为
其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．
解：
．
所以当样本观测值为时，似然函数为
所以，．
令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．
