? 条件分布律
条件分布函数
条件概率密度第三章 随机变量及其分布
§ 3 条件分布返回主目录一,离散型随机变量的条件分布律设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为
P{ X= xi,Y= yj }= pi j,i,j=1,2,...
,2,1,}{
1
ippxXP
j
jiii
,2,1,}{
1
jppyYP
i
jijj
(X,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 分别为：
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录由条件概率公式自然地引出如下定义：
定义,设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j,若 P{Y= yj }>0,则称
,2,1,}{ },{}|{
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ij
j
ji
ji
为在 Y= yj 条件下随机变量 X 的 条件分布律 。
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布条件分布律 具有分布律的以下特性：
10 P{ X= xi |Y= yj }?0；
1 1 1
0,11}|{2
i j
j
i i
ij
jj
ij
ji p
pp
pp
pyYxXP
返回主目录同样对于固定的 i,若 P{X= xi}>0,则称
,2,1,}{ },{}|{
jppxXP yYxXPxXyYP
i
ij
i
ji
ij
为在 X= xi 条件下随机变量 Y 的 条件分布律 。
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布一射手进行射击，击中目标的概率为 p,射击到击中目标 两次 为止。设以 X 表示 首次 击 中目标所进行的 射击次数,以 Y 表示 总共 进行 的 射击次数,
试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。
例 1
．并且
，，，的取值是；，，，的取值是
YX
XY
21432
解,
返回主目录
,2,1,
1
},{}{
1
1
2
1
22
1
22
1
mpq
q
q
pqp
qpnYmXPmXP
m
m
mn
n
mn
n
mn
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
nYmXP,
次，并且共射击次射击时首次击中目标第 nmP?
标次射击时第二次命中目，且第次射击时首次击中目标第 nmP?
由独立性，可得
pq 1其中1213,2 nmn,，，；,
pqpqnYmXP mnm 11,22 pq n
的边缘分布律为X
的联合分布律为YX,
,3,2
,)1(},{}{ 22
1
1
22
1
1
n
qpnqpnYmXPnYP n
n
m
n
n
m
在 Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为;1,,2,1,11
)1(
}|{ 22
22
nmn
qpn
qpnYmXP
n
n
当 n=2,3,… 时，
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布的边缘分布律为Y
1213,2 nmn,，，；,
pqpqnYmXP mnm 11,22 pq n
返回主目录
,2,1,
}{
},{
}|{
1
1
22
mmnpq
pq
qp
mXP
nYmXP
mXnYP
mn
m
n
在 X= m 条件下随机变量 Y 的条件分布律 为当 m=1,2,3,… 时，
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
1213,2 nmn,，，；,
pqpqnYmXP mnm 11,22 pq n
返回主目录二,条件分布函数设 ( X,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
P{X= xi}=0,P{Y= yj }=0,
不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。
定义,给定 y,设对于任意固定的正数?,
P{y-?<Y?y +?}>0,若对于任意实数 x,极限
}{
},{
lim
}|{lim
0
0
yYyP
yYyxXP
yYyxXP
存在，则称为在条件 Y= y下 X的 条件分布函数,写成 P{ X? x |Y= y },或记为 FX|Y(x|y).
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
)(
),(
)(
),(
2/)]()([lim
2/)],(),([lim
)()(
),(),(
lim
}{
},{
lim)|(
0
0
0
0
|
yf
dudvvuf
y
yF
dy
d
y
yxF
yFyF
yxFyxF
yFyF
yxFyxF
yYyP
yYyxXP
yxF
Y
y x
Y
YY
YY
YX
,
)(
),(
yf
duyuf
Y
x
返回主目录
,
)(
),(
)|(|
yf
duyuf
yxF
Y
x
YX
,)( ),()|(|?
x
Y
YX duyf
yufyxF
.
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布称为在条件 Y= y下 X的条件分布函数，
数。的条件下的条件密度函在称为随机变量 yYX?
三、连续型随机变量的条件密度函数
,其联合密度函数为是二维连续型随机变量，设 YX
的边缘密度函数为：又随机变量 X
yxf,
dyyxfxf X,
的边缘密度函数为：随机变量 Y
dxyxfyf Y,
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录
为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量当 xXYxf X 0
为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量则当 yYXyf Y 0
yf yxfyxf YYX,?
xf yxfxyf XXY,?
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录条件密度函数的性质
也有类似的性质．对于条件密度函数 xyf XY
0?yxf YX,有对任意的性质⒈ x
1
dxyxf YX性质⒉
是密度函数．简言之,yxf YX
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 2
解：
服从圆域：，设二维随机变量 YX122 yx
．件密度函数上的均匀分布，试求条 yxf YX
的联合密度函数为，二维随机变量 YX
其它
，
0
1
1 22
yxyxf
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
x
y
122 yx
返回主目录例 2（续）
的密度函数为所以，随机变量 Y
时，由此得，当 11 y
dxyxfyf Y,?
2
2
1
1
1
y
y
dx
212 y
其它0
111
2 2
yyyf
Y?
0?yf Y
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
x
y
122 yx
时，由此得，当 11 y
返回主目录例 2（续）
时，因此当 11 y
yf yxfyxf YYX,? 2
1
2
1
y?
212
1
y?
所以，
其它0
11
12
1 22
2 yxy
yyxf YX
上的均匀分布．
下的条件分布是区间在时，即当
22
11
11
yy
yYXy
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 3
服从二元正态分布：，设二维随机变量 YX
的联合密度函数为，则 YX
rNYX,，，，,222121~
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
yyxrx
r
r
yxf,
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 3（续）
的边缘密度函数为又随机变量 Y
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1?
,，因此，对任意的 0?yfy Y,有所以，对任意的 y
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
xyrx
r
2
2
2
1
122
1 12
1
e x p?
yf yxfyxf
Y
YX
，?
221 12
1
r?
返回主目录例 3（续）
分布：的条件分布是一元正态这表明，二元正态分布
22
12
2
1
1 1 ryrN
,
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 4
解：
函数．
的密度机变量上的均匀分布．试求随，间的条件下服从区在时，随机变量上的均匀分布，当，服从区间设随机变量
Yx
xXYx
X
1
10
10
的密度函数为随机变量 X
其它0
101 x
xf X
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 4（续）
其它0
1
1
1
yx
xxyf XY
下的条件密度函数为在条件时，随机变量又由题设，知当
xX
Yx
10
所以，由公式
xf
yxfxyf
X
XY
，?
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录时，所以，当 10 y
其它0
10
1
1
yx
x
xyfxfyxf XYX?，
dxyxfyf Y,
y
dx
x0 1
1y 1ln
的密度函数为所以，随机变量 Y
其它0 101ln yyyf Y
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布例 4（续）
x
y
0 1
1
返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布例 5
的概率密度为设随机变量 ),( YX
.,0
,10,||,1),(
其它
xxyyxf;)|(),|()2(;)(),(1 || xyfyxfyfxf XYYXYX）（试求：
}.0|21{)3( YXP
解：
.,0
,10,2
),()()1(
其它
x
x
X
xxdy
dyyxfxf
x
y
0 1
xy?
xy
返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
.,0
,01,1
,10,1
),()(
1
1
其它
y
y
Y yydx
yydx
dxyxfyf
.,0
1|||,|1
其它
yy
其它。
当
,0
1||,
||1
1
)(
),(
)|(,1||)2( |
xy
y
yf
yxf
yxfy
Y
YX
例 5（续）
x
y
0 1
xy?
xy
返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
其它。
当
,0
||,
2
1
)(
),(
)|(,10 |
xy
x
xf
yxf
yxfx
X
XY
4
3
11
2
1
2
2
1
)
2
1
1(
}0{
}0,
2
1
{
}0|
2
1
{).3(
YP
YXP
YXP
例 5（续）
2
1?x
x
y
0 1
xy?
xy
返回主目录
条件分布函数
条件概率密度第三章 随机变量及其分布
§ 3 条件分布返回主目录一,离散型随机变量的条件分布律设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为
P{ X= xi,Y= yj }= pi j,i,j=1,2,...
,2,1,}{
1
ippxXP
j
jiii
,2,1,}{
1
jppyYP
i
jijj
(X,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 分别为：
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录由条件概率公式自然地引出如下定义：
定义,设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j,若 P{Y= yj }>0,则称
,2,1,}{ },{}|{
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ij
j
ji
ji
为在 Y= yj 条件下随机变量 X 的 条件分布律 。
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布条件分布律 具有分布律的以下特性：
10 P{ X= xi |Y= yj }?0；
1 1 1
0,11}|{2
i j
j
i i
ij
jj
ij
ji p
pp
pp
pyYxXP
返回主目录同样对于固定的 i,若 P{X= xi}>0,则称
,2,1,}{ },{}|{
jppxXP yYxXPxXyYP
i
ij
i
ji
ij
为在 X= xi 条件下随机变量 Y 的 条件分布律 。
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布一射手进行射击，击中目标的概率为 p,射击到击中目标 两次 为止。设以 X 表示 首次 击 中目标所进行的 射击次数,以 Y 表示 总共 进行 的 射击次数,
试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。
例 1
．并且
，，，的取值是；，，，的取值是
YX
XY
21432
解,
返回主目录
,2,1,
1
},{}{
1
1
2
1
22
1
22
1
mpq
q
q
pqp
qpnYmXPmXP
m
m
mn
n
mn
n
mn
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
nYmXP,
次，并且共射击次射击时首次击中目标第 nmP?
标次射击时第二次命中目，且第次射击时首次击中目标第 nmP?
由独立性，可得
pq 1其中1213,2 nmn,，，；,
pqpqnYmXP mnm 11,22 pq n
的边缘分布律为X
的联合分布律为YX,
,3,2
,)1(},{}{ 22
1
1
22
1
1
n
qpnqpnYmXPnYP n
n
m
n
n
m
在 Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为;1,,2,1,11
)1(
}|{ 22
22
nmn
qpn
qpnYmXP
n
n
当 n=2,3,… 时，
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布的边缘分布律为Y
1213,2 nmn,，，；,
pqpqnYmXP mnm 11,22 pq n
返回主目录
,2,1,
}{
},{
}|{
1
1
22
mmnpq
pq
qp
mXP
nYmXP
mXnYP
mn
m
n
在 X= m 条件下随机变量 Y 的条件分布律 为当 m=1,2,3,… 时，
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
1213,2 nmn,，，；,
pqpqnYmXP mnm 11,22 pq n
返回主目录二,条件分布函数设 ( X,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
P{X= xi}=0,P{Y= yj }=0,
不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。
定义,给定 y,设对于任意固定的正数?,
P{y-?<Y?y +?}>0,若对于任意实数 x,极限
}{
},{
lim
}|{lim
0
0
yYyP
yYyxXP
yYyxXP
存在，则称为在条件 Y= y下 X的 条件分布函数,写成 P{ X? x |Y= y },或记为 FX|Y(x|y).
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
)(
),(
)(
),(
2/)]()([lim
2/)],(),([lim
)()(
),(),(
lim
}{
},{
lim)|(
0
0
0
0
|
yf
dudvvuf
y
yF
dy
d
y
yxF
yFyF
yxFyxF
yFyF
yxFyxF
yYyP
yYyxXP
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Y
y x
Y
YY
YY
YX
,
)(
),(
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Y
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返回主目录
,
)(
),(
)|(|
yf
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yxF
Y
x
YX
,)( ),()|(|?
x
Y
YX duyf
yufyxF
.
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布称为在条件 Y= y下 X的条件分布函数，
数。的条件下的条件密度函在称为随机变量 yYX?
三、连续型随机变量的条件密度函数
,其联合密度函数为是二维连续型随机变量，设 YX
的边缘密度函数为：又随机变量 X
yxf,
dyyxfxf X,
的边缘密度函数为：随机变量 Y
dxyxfyf Y,
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录
为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量当 xXYxf X 0
为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量则当 yYXyf Y 0
yf yxfyxf YYX,?
xf yxfxyf XXY,?
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录条件密度函数的性质
也有类似的性质．对于条件密度函数 xyf XY
0?yxf YX,有对任意的性质⒈ x
1
dxyxf YX性质⒉
是密度函数．简言之,yxf YX
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 2
解：
服从圆域：，设二维随机变量 YX122 yx
．件密度函数上的均匀分布，试求条 yxf YX
的联合密度函数为，二维随机变量 YX
其它
，
0
1
1 22
yxyxf
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
x
y
122 yx
返回主目录例 2（续）
的密度函数为所以，随机变量 Y
时，由此得，当 11 y
dxyxfyf Y,?
2
2
1
1
1
y
y
dx
212 y
其它0
111
2 2
yyyf
Y?
0?yf Y
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
x
y
122 yx
时，由此得，当 11 y
返回主目录例 2（续）
时，因此当 11 y
yf yxfyxf YYX,? 2
1
2
1
y?
212
1
y?
所以，
其它0
11
12
1 22
2 yxy
yyxf YX
上的均匀分布．
下的条件分布是区间在时，即当
22
11
11
yy
yYXy
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 3
服从二元正态分布：，设二维随机变量 YX
的联合密度函数为，则 YX
rNYX,，，，,222121~
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
yyxrx
r
r
yxf,
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 3（续）
的边缘密度函数为又随机变量 Y
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1?
,，因此，对任意的 0?yfy Y,有所以，对任意的 y
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
xyrx
r
2
2
2
1
122
1 12
1
e x p?
yf yxfyxf
Y
YX
，?
221 12
1
r?
返回主目录例 3（续）
分布：的条件分布是一元正态这表明，二元正态分布
22
12
2
1
1 1 ryrN
,
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 4
解：
函数．
的密度机变量上的均匀分布．试求随，间的条件下服从区在时，随机变量上的均匀分布，当，服从区间设随机变量
Yx
xXYx
X
1
10
10
的密度函数为随机变量 X
其它0
101 x
xf X
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录例 4（续）
其它0
1
1
1
yx
xxyf XY
下的条件密度函数为在条件时，随机变量又由题设，知当
xX
Yx
10
所以，由公式
xf
yxfxyf
X
XY
，?
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布返回主目录时，所以，当 10 y
其它0
10
1
1
yx
x
xyfxfyxf XYX?，
dxyxfyf Y,
y
dx
x0 1
1y 1ln
的密度函数为所以，随机变量 Y
其它0 101ln yyyf Y
第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布例 4（续）
x
y
0 1
1
返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布例 5
的概率密度为设随机变量 ),( YX
.,0
,10,||,1),(
其它
xxyyxf;)|(),|()2(;)(),(1 || xyfyxfyfxf XYYXYX）（试求：
}.0|21{)3( YXP
解：
.,0
,10,2
),()()1(
其它
x
x
X
xxdy
dyyxfxf
x
y
0 1
xy?
xy
返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
.,0
,01,1
,10,1
),()(
1
1
其它
y
y
Y yydx
yydx
dxyxfyf
.,0
1|||,|1
其它
yy
其它。
当
,0
1||,
||1
1
)(
),(
)|(,1||)2( |
xy
y
yf
yxf
yxfy
Y
YX
例 5（续）
x
y
0 1
xy?
xy
返回主目录第三章 随机变量及其分布
§ 3条件分布
其它。
当
,0
||,
2
1
)(
),(
)|(,10 |
xy
x
xf
yxf
yxfx
X
XY
4
3
11
2
1
2
2
1
)
2
1
1(
}0{
}0,
2
1
{
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2
1
{).3(
YP
YXP
YXP
例 5（续）
2
1?x
x
y
0 1
xy?
xy
返回主目录
