§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理
§ 1.大数定律在实践中,不仅事件发生的频率具有稳定性,
还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性 。
设,,,1 nXX 是随机变量序列，令?
n
k
kn XnY
1
1,
若存在常数序列,,,1 naa 使对任意 0,有
1}|{|limnnn aYP,或 0}|{|limnnn aYP,
定义 1：
设 是随机变量序列,是一个常数；
若对任意,有,
则称 依概率收敛于,记为 。
,,,1 nYY
0 1}|{|l i maYP nn
,,,1 nYY aY Pn
a
a
定义 2：
则称 }{ nX 服从大数定律。 返回主目录
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定理 2 （切比晓夫定理的特殊情况）
设随机变量,,,1 nXX 相互独立，且具有相同的数学期望及方差，,，,?,2,12 kDXEX kk 令?
n
k
kn X
n
Y
1
1
，
则：对任意的 0,有,1}|
1
{|lim}|{|lim
1
n
k
k
n
n
n
X
n
PYP
或 0}|
1
{|lim
1
n
k
k
n
X
n
P
若 a
P
nX,b
P
nY,在点 连续，
则,),(),( bag
P
nYnXg 。
),( yxg ),( ba定理 1：
返回主目录证,
n
k
n
k
k
n
k
k nEXnXnE
111
11)1(
22
2
1
2
1
111)1(
nnnDXnXnD
n
k
k
n
k
k
1}|1{|
1
n
k
kXnPn 时，当 。
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由切比晓夫不等式得：
2
2
1
1}|1{|
n
X
n
P
n
k
k
返回主目录证,令 nkAk AkX k,,2,110
,
发生次试验中，在第不发生次试验中，在第定理 3 （贝努里大数定律）
设 An 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，
p 是事件 A 发生的概率，
则：对任意的 0,有
1}|{|lim
p
n
nP A
n
或 0}|{|lim
p
n
nP A
n
故,,,2,1)1( nkppDXpEX kk,，
1}|1{|lim
1
pXnP
n
i
in,
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由定理 2有即 1}|{|limpnnP An 。
此定理说明了频率的稳定性 。
则?
n
k
kA Xn
1
，且 nXX,,1? 相互独立同服从于 分布)10(?
定理 4 （辛钦大数定律）
设,,,1 nXX 相互独立同分布，且具有数学期望,,,2,1 nkEX k,?,
则：对任意的 0,有
1}|
1
{|lim
1
n
i
in XnP
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理注,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况 。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
§ 2.中心极限定理定义：
设,,,1 nXX 是独立的随机变量序列，
kk
DXEX,
存在，令,
n
k
k
n
k
k
n
k
kn
DXEXXZ
111
/)(,
若对任意
1
Rx?,有?
x t
n
n
dtexZP
2
2
2
1
}{l i m
。
则称 }{ nX 服从中心极限定理。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
（独立同分布的中心极限定理）
设,,,1 nXX 是独立同分布的随机变量序列，且 ),2,1(,0
2 kDXEX
kk,
则 }{ nX 服从中心极限定理，即：
x t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1
}{lim
定理 1
返回主目录则 }{ nX 服从中心极限定理，即：
x t
n
k
k
k
n
k
k
n
dtex
DX
X
P 2
1
1
2
2
1
}
)(
{lim
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理 2 （李雅普诺夫定理）
，若存在正数，设
，相互独立，且设
,),2,1(
,0,,,
1
22
2
1
n
k
kn
kkkkn
Bk
DXEXXX
0}|{|1
1
2
2
n
k
kk
n
XEBn时，使得当
(Liapunov定理 )
返回主目录证,?
n
k
kn X
1
,
第五章 大数定律及中心极限定理则对于任意,恒有：
x t
n
n
dtex
n p q
np
P 2
2
2
1
}{l im
x
)1( pq
由定理 1有结论成立。
其中 nXX,,1? 相互独立且都服从于 分布。
pqDXpEX kk,。
(0-1)
定理 3（ 德莫佛 -拉普拉斯定理 ）
),2,1(nn?设随机变量 服从参数为 n,p(0<p<1)的二项分布
).,(~ pnBn?，即
x t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1}{lim
(De Moivre--Laplace)
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理推论：
),2,1(nn?设随机变量 服从参数为 n,p (0<p<1) 的二项分布,当 n 充分大时有：
)()(
}{}{
npq
npa
npq
npb
npq
npb
npq
np
npq
npa
PbaP
n
n
说明,这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率计算方法。
).,(~ pnBn?即返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例 1
某车间有 200台车床，它们独立地工作着，开工率为 0.6,开工时耗电各为 1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
解：,数为记某时在工作着的车床 X,B ( 2 0 0,0,6 )~X 则设至少要供给这个车间 r千瓦电才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：
)
4.06.02 0 0
6.02 0 0
()
4.06.02 0 0
6.02 0 0
(
)4.0()6.0(}{
0
2 0 0
2 0 0
r
CrXP
r
k
kkk
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
1 4 1,r 1.3
48
1 2 0-r
,9 9 9.0)
48
1 2 0
()32.17()
48
1 2 0
(
所以查表得
rr
即供给 141千瓦电就能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理用频率估计概率时误差的估计：
由上面的定理知
n
npnP?
p
n
nP
12?
pq
n
pq
n
pq
n
pq
n
npq
npn
pq
n
P
用这个关系式可解决许多计算问题。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理第一类问题 是已知 求概率
,,,?pn;
p
n
nP
p
n
nP 12?
pq
n?
第二类问题 是要使的概率的差异不大于定数与 pnn
不小于预先给定的数
，问最少应做多少次试验？
这时只需求满足下式的最小的 n,
12
pq
n
第三类问题 是已知
，求，及pn,使先求?x
,12 x, xpqn?有,
n
pqx
故 返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例 2.
现有一批种子，其中良种占 1/6。今任取 6000粒，
问能以 0.99的概率保证在这 6000粒种子中良种所占的比例与 1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？
解：
.6/1,6000),,(~ pnpnBXX 其中，则设良种数为
99.0
6
1
-
6 0 0 0
P?
X
，则应有：设不超过的界限为由德莫佛 -拉普拉斯定理返回主目录第五章 大数定律及中心极限定理
6
1-
6 0 0 0
P X
故近似地有
,99.01
6/56/16 0 0 0
6 0 0 02
.6/1,6 0 0 0 pn
)(}{lim xxn p qnpP nn
6/56/16 0 0 0
6 0 0 0
6/56/16 0 0 0
6/16 0 0 0P?X
1
6/56/16 0 0 0
6 0 0 02?
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
,995.0
6/56/16000
6000?
即
,58.2
6/56/16000
6000?
查表得
.0 1 2 4.0解得良种粒数 X的范围为
,6 0 0 0)0 1 2 4.06/1(6 0 0 0)0 1 2 4.06/1( X
.1 0 7 59 2 5 X即
61-6 0 0 0X
返回主目录假设一批种子的良种率为,从中任意选出 600粒,
试用切比晓夫 （ Chebyshev） 不等式和中心极限定理分别估计：这 600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过 0.02的概率 。
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
}02.0
600
100-X
P {}02.0
6
1
600
X
P {
.
6
5
6
1
600DX,
6
1
600 E X
由切比晓夫不等式有
6
1
6
1
4 2 1 3.0
1 4 4
6
5
6
16 0 0
1
12
1}121 0 0-XP{ 2?
DX
思考题：
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例 3
设一个系统由 100个相互独立起作用的部件组成，
每个部件的损坏率为 0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有 85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。
解,设 X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15,?
由德莫佛 -拉普拉斯定理有
.952.0
3
5
9.01.0100
1.010015
9.01.0100
1.010015
9.01.0100
1.0100
}15{
X
PXP
返回主目录第五章 大数定律及中心极限定理例 4某单位有 200台电话分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，
才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解,设有 X部分机同时使用外线，则有 ),,(~ pnBX
.08.3p)-n p ( 11 0,np0,0 5,p2 0 0,n其中设有 N条外线。由题意有 9.0}{ NXP
由德莫佛 -拉普拉斯定理有
.08.3 10
)1(
N
pnp
npN
条外线。即至少要安装取即 14,14.94.13 NN
.90.0)28.1(查表得,28.1
3,0 8
10-N?应满足条件故 N
}{ NXP?
)1()1( pnp
npN
pnp
npXP
求 P { V > 1 0 5 } 近似值。
解,)20,,2,1(12105
2
kDVEV kk,，,由定理 1 知：
第五章 大数定律及中心极限定理例 5 一加法器同时收到 20个噪声电压,
设它们是互相独立的随机变量,且都在区间 (0,10)上服从均匀分布,记
)20,,2,1(kV k
20
1k
kVV
2012/10
520-105
2012/10
520-VP105}P { V
22
3 8 7.0
20)12/10(
1 0 0-VP13 8 7.0
20)12/10(
1 0 0-VP
348.0)387.0(1
返回主目录
1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解契比雪夫大数定律。
2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛 -拉普拉斯定理,会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。
作业：
第五章 小 结返回主目录
.8,7,6,3,11 3 9P
§ 1.大数定律在实践中,不仅事件发生的频率具有稳定性,
还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性 。
设,,,1 nXX 是随机变量序列，令?
n
k
kn XnY
1
1,
若存在常数序列,,,1 naa 使对任意 0,有
1}|{|limnnn aYP,或 0}|{|limnnn aYP,
定义 1：
设 是随机变量序列,是一个常数；
若对任意,有,
则称 依概率收敛于,记为 。
,,,1 nYY
0 1}|{|l i maYP nn
,,,1 nYY aY Pn
a
a
定义 2：
则称 }{ nX 服从大数定律。 返回主目录
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定理 2 （切比晓夫定理的特殊情况）
设随机变量,,,1 nXX 相互独立，且具有相同的数学期望及方差，,，,?,2,12 kDXEX kk 令?
n
k
kn X
n
Y
1
1
，
则：对任意的 0,有,1}|
1
{|lim}|{|lim
1
n
k
k
n
n
n
X
n
PYP
或 0}|
1
{|lim
1
n
k
k
n
X
n
P
若 a
P
nX,b
P
nY,在点 连续，
则,),(),( bag
P
nYnXg 。
),( yxg ),( ba定理 1：
返回主目录证,
n
k
n
k
k
n
k
k nEXnXnE
111
11)1(
22
2
1
2
1
111)1(
nnnDXnXnD
n
k
k
n
k
k
1}|1{|
1
n
k
kXnPn 时，当 。
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由切比晓夫不等式得：
2
2
1
1}|1{|
n
X
n
P
n
k
k
返回主目录证,令 nkAk AkX k,,2,110
,
发生次试验中，在第不发生次试验中，在第定理 3 （贝努里大数定律）
设 An 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，
p 是事件 A 发生的概率，
则：对任意的 0,有
1}|{|lim
p
n
nP A
n
或 0}|{|lim
p
n
nP A
n
故,,,2,1)1( nkppDXpEX kk,，
1}|1{|lim
1
pXnP
n
i
in,
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由定理 2有即 1}|{|limpnnP An 。
此定理说明了频率的稳定性 。
则?
n
k
kA Xn
1
，且 nXX,,1? 相互独立同服从于 分布)10(?
定理 4 （辛钦大数定律）
设,,,1 nXX 相互独立同分布，且具有数学期望,,,2,1 nkEX k,?,
则：对任意的 0,有
1}|
1
{|lim
1
n
i
in XnP
§ 1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理注,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况 。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
§ 2.中心极限定理定义：
设,,,1 nXX 是独立的随机变量序列，
kk
DXEX,
存在，令,
n
k
k
n
k
k
n
k
kn
DXEXXZ
111
/)(,
若对任意
1
Rx?,有?
x t
n
n
dtexZP
2
2
2
1
}{l i m
。
则称 }{ nX 服从中心极限定理。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
（独立同分布的中心极限定理）
设,,,1 nXX 是独立同分布的随机变量序列，且 ),2,1(,0
2 kDXEX
kk,
则 }{ nX 服从中心极限定理，即：
x t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1
}{lim
定理 1
返回主目录则 }{ nX 服从中心极限定理，即：
x t
n
k
k
k
n
k
k
n
dtex
DX
X
P 2
1
1
2
2
1
}
)(
{lim
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理 2 （李雅普诺夫定理）
，若存在正数，设
，相互独立，且设
,),2,1(
,0,,,
1
22
2
1
n
k
kn
kkkkn
Bk
DXEXXX
0}|{|1
1
2
2
n
k
kk
n
XEBn时，使得当
(Liapunov定理 )
返回主目录证,?
n
k
kn X
1
,
第五章 大数定律及中心极限定理则对于任意,恒有：
x t
n
n
dtex
n p q
np
P 2
2
2
1
}{l im
x
)1( pq
由定理 1有结论成立。
其中 nXX,,1? 相互独立且都服从于 分布。
pqDXpEX kk,。
(0-1)
定理 3（ 德莫佛 -拉普拉斯定理 ）
),2,1(nn?设随机变量 服从参数为 n,p(0<p<1)的二项分布
).,(~ pnBn?，即
x t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1}{lim
(De Moivre--Laplace)
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理推论：
),2,1(nn?设随机变量 服从参数为 n,p (0<p<1) 的二项分布,当 n 充分大时有：
)()(
}{}{
npq
npa
npq
npb
npq
npb
npq
np
npq
npa
PbaP
n
n
说明,这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率计算方法。
).,(~ pnBn?即返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例 1
某车间有 200台车床，它们独立地工作着，开工率为 0.6,开工时耗电各为 1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
解：,数为记某时在工作着的车床 X,B ( 2 0 0,0,6 )~X 则设至少要供给这个车间 r千瓦电才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：
)
4.06.02 0 0
6.02 0 0
()
4.06.02 0 0
6.02 0 0
(
)4.0()6.0(}{
0
2 0 0
2 0 0
r
CrXP
r
k
kkk
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
1 4 1,r 1.3
48
1 2 0-r
,9 9 9.0)
48
1 2 0
()32.17()
48
1 2 0
(
所以查表得
rr
即供给 141千瓦电就能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理用频率估计概率时误差的估计：
由上面的定理知
n
npnP?
p
n
nP
12?
pq
n
pq
n
pq
n
pq
n
npq
npn
pq
n
P
用这个关系式可解决许多计算问题。
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理第一类问题 是已知 求概率
,,,?pn;
p
n
nP
p
n
nP 12?
pq
n?
第二类问题 是要使的概率的差异不大于定数与 pnn
不小于预先给定的数
，问最少应做多少次试验？
这时只需求满足下式的最小的 n,
12
pq
n
第三类问题 是已知
，求，及pn,使先求?x
,12 x, xpqn?有,
n
pqx
故 返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例 2.
现有一批种子，其中良种占 1/6。今任取 6000粒，
问能以 0.99的概率保证在这 6000粒种子中良种所占的比例与 1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？
解：
.6/1,6000),,(~ pnpnBXX 其中，则设良种数为
99.0
6
1
-
6 0 0 0
P?
X
，则应有：设不超过的界限为由德莫佛 -拉普拉斯定理返回主目录第五章 大数定律及中心极限定理
6
1-
6 0 0 0
P X
故近似地有
,99.01
6/56/16 0 0 0
6 0 0 02
.6/1,6 0 0 0 pn
)(}{lim xxn p qnpP nn
6/56/16 0 0 0
6 0 0 0
6/56/16 0 0 0
6/16 0 0 0P?X
1
6/56/16 0 0 0
6 0 0 02?
返回主目录
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
,995.0
6/56/16000
6000?
即
,58.2
6/56/16000
6000?
查表得
.0 1 2 4.0解得良种粒数 X的范围为
,6 0 0 0)0 1 2 4.06/1(6 0 0 0)0 1 2 4.06/1( X
.1 0 7 59 2 5 X即
61-6 0 0 0X
返回主目录假设一批种子的良种率为,从中任意选出 600粒,
试用切比晓夫 （ Chebyshev） 不等式和中心极限定理分别估计：这 600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过 0.02的概率 。
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
}02.0
600
100-X
P {}02.0
6
1
600
X
P {
.
6
5
6
1
600DX,
6
1
600 E X
由切比晓夫不等式有
6
1
6
1
4 2 1 3.0
1 4 4
6
5
6
16 0 0
1
12
1}121 0 0-XP{ 2?
DX
思考题：
§ 2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例 3
设一个系统由 100个相互独立起作用的部件组成，
每个部件的损坏率为 0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有 85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。
解,设 X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15,?
由德莫佛 -拉普拉斯定理有
.952.0
3
5
9.01.0100
1.010015
9.01.0100
1.010015
9.01.0100
1.0100
}15{
X
PXP
返回主目录第五章 大数定律及中心极限定理例 4某单位有 200台电话分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，
才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解,设有 X部分机同时使用外线，则有 ),,(~ pnBX
.08.3p)-n p ( 11 0,np0,0 5,p2 0 0,n其中设有 N条外线。由题意有 9.0}{ NXP
由德莫佛 -拉普拉斯定理有
.08.3 10
)1(
N
pnp
npN
条外线。即至少要安装取即 14,14.94.13 NN
.90.0)28.1(查表得,28.1
3,0 8
10-N?应满足条件故 N
}{ NXP?
)1()1( pnp
npN
pnp
npXP
求 P { V > 1 0 5 } 近似值。
解,)20,,2,1(12105
2
kDVEV kk,，,由定理 1 知：
第五章 大数定律及中心极限定理例 5 一加法器同时收到 20个噪声电压,
设它们是互相独立的随机变量,且都在区间 (0,10)上服从均匀分布,记
)20,,2,1(kV k
20
1k
kVV
2012/10
520-105
2012/10
520-VP105}P { V
22
3 8 7.0
20)12/10(
1 0 0-VP13 8 7.0
20)12/10(
1 0 0-VP
348.0)387.0(1
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1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解契比雪夫大数定律。
2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛 -拉普拉斯定理,会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。
作业：
第五章 小 结返回主目录
.8,7,6,3,11 3 9P
