§ 4.协方差及相关系数 § 4 协方差第四章 随机变量的数字特征
1,定义
XY? 是一个无量纲的量；若 XY? =0,
称 X,Y 不相关,此时 C OV ( X,Y ) =0 。
定理,若 X,Y独立,则 X,Y不相关 。
证明,由数学期望的性质有
E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)
又 E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0
所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。
即 COV(X,Y)=0
称 COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY
为随机变量 X,Y的协方差,而 COV(X,X)=DX.
为随机变量 X,Y的相关系数 。DYDX YXC O VXY,),(
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2,协方差的性质
1 ) C O V ( X,Y ) = C O V ( Y,X ) ;
2 ) C O V ( a X,b Y ) = a b C O V ( X,Y ) ;
3) C O V ( X + Y,Z ) = C O V ( X,Z ) + C O V ( Y,Z ) ;
4) 若 X,Y 不相关，则,E X Y = E X E Y,D( a X + b Y ) = DYbDXa 22?
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差由方差的性质３）知：
注意,若 E(X-EX)(Y-EY) 0,即 EXY-EXEY 0,则
X,Y一定相关，且 X,Y一定不独立。

D(aX+bY)= ),(222 YXa bC O VDYbDXa
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3,相关系数的性质
1 ),1?XY?
2 ) 1XY? 存在常数 a,b 使 P{ Y = a + bX } = 1,
证明：
a b E Xb E X Ya E YaEXbEY
bXaYEe
222
)]([
2222
2


令：
求 a,b 使 e 达到最小第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差令　



0222
0222
2 a E XE X Yb E X
b
e
EYb E Xa
a
e
代入第二个方程得将,b E XEYa
22
2
)(,0)( EXEX
E X E YE X YbEXb E XEYE X Yb E X
故解得
DX
YXC O V
EXEYEXbEYa
DX
YXC O V
b
),(;
),(
00
0

2,)]([m in bXaYEba 200 )]([ XbaYE
2)),(),((
DX
YXC O VX
DX
YXC O VEXEYYE
2)),()()((
DX
YXC O VEXXEYYE
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
DX
YXC O V
DX
YXC O VDY ),(2),( 22
DX
YXC OVYXC OV
DX
YXC OVDXDY ),(),(2
)(
),(
2
2

返回主目录即, 2,)]([m i n bXaYEba DYXY )1( 2
DX
DYDXDY XY 2 DY
XY )1(
2
由上式得,
1) １－ 1,0
2
XYXY 。
2) 若,1?XY? 　则　 0)]([
2
00 XbaYE 。
第四章 随机变量的数字特征从而 )]([ 00 XbaYD 200 ))]([( XbaYE 0)]([ 200 XbaYE
所以　,0)]([ 00 XbaYD 　 0)]([ 00 XbaYE
故　 P{ Y － （ 0)00 Xba } = 1,
即 P{ Y ＝ Xba 00? } = 1 。
DX
YXC O VDY ),(2
返回主目录反之，若存在　 ba,　使　 P { Y ＝ Xba } = 1,则
　 P { Y － （ Xba ）＝０ } = 1,
故　 0)]([ 2 XbaYE 　而
2)]([0 XbaYE 2,)]([m i n bXaYEba DYXY )1( 2
则　 1,01 2 XYXY 。
第四章 随机变量的数字特征说 明存在着线性关系；之间以概率与时，当,11 YXYX
的量．之间线性关系紧密程度与量相关系数是表征随机变 YX
之间的线性关系越弱；与时，越接近于当,YXYX 0?
．不相关之间不存在线性关系与时，当,YXYX 0
X与 Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差解：
,记，
，，是二个随机变量，已知，设
1c o v
41

YX
DYDXYX
YXYX 22,
．试求：,
YXDD 2YXDYDX,c o v44
14441 13?
YXDD 2YXDYDX,c o v44
14414 4?
5,例子返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差YXYX 22co vco v,,
YYYXXYXX,，，,co v2co vco v4co v2
DYYXDX 2co v52,
421512
5?
所以，




DD
，
，
c o v?
413
5?
26
135?
返回主目录设 ( X,Y ) 服从二维正态分布，求,XY?
由上述知,21
2
1
2
)(
12
1)(


x
X exf,
2
2
2
2
2
)(
22
1)(


y
Y eyf



d x d yyxfyxYXCo v ),())((),( 21
,,,,222211 DYEYDXEX






d y d xeeyx
xyx 2
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1 ][
)1(2
1
2
)(
212
21
))((
12
1?




第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差







2
2
2
2
21
212
2
1
2
1
212
1
e x p
21
212
1



yyxx
yxf,
返回主目录第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差令 ][
1
1
1
1
2
2
2?


xyt,
1
1
xu,
2211
2
21
1)
1
1(



1
1
2
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1
1



y
u
x
u
y
t
x
t
J
22211 )1(, utyux则返回主目录







dtteduuedtedueu
tutu
22
2
2122221
2222
2
1
2?


2121 0222
第四章 随机变量的数字特征






d y d xeeyx
xyx 2
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1 ][
)1(2
1
2
)(
212
21
))((
12
1?




),( YXC O V
2
2
2
11
)1(
,


uty
ux

221 1J





d t d ueutu
tu
2
21
222
212
21
1)1(
12
1
22


返回主目录第四章 随机变量的数字特征
X,Y独立? =0?X,Y不相关。XY
故XY 。
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