§ 1 随机样本第六章 样本及抽样分布
§ 1 随机样本总体,研究对象的某项数量指标的值的全体。
个体,总体中的每个元素为个体。
定义,设 X是具有分布函数 F的随机变量，若
nXX?,1
是 具有同一分布函数 F的 相互独立 的随机变量，
则称 为从总体 X中得到的容量为 n的简单 随机样本,简称为样本，其观察值 称为样本值。
nxx?,1
nXX?,1
例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
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§ 1 随机样本第六章 样本及抽样分布由定义知,若 为 X的一个样本，则的联合分布函数为,nXX,,1? nXX,,1?
n
i
in xFxxF
1
1
* )(),,(?
若设 X的概率密度为 f，则 的联合概率密度为,nXX,,1?
n
i
in xfxxf
1
1
* )(),,(?
返回主目录
§ ２ 抽样分布第六章 样本及抽样分布
§ 2 抽样分布
1,定义,设 为来自总体 X的一个样本，
g 是 的函数，若 g是连续函数，且
g中不含任何 未知 参数；
nXX?,1
nXX?,1),( 1 nXX?
是一个统计量。则称 ),1( nXXg?
的观察值。是则称 ),(),( 11 nn XXgxxg
注：统计量是随机变量。
的样本值。是相应于样本 ),( 1 nXX?nxx?,1设返回主目录
§ ２ 抽样分布第六章 样本及抽样分布例 1
设 为来自总体 的一个样本，
nXX?,1 ),(~ 2NX
已知，未知其中 2,
问下列随机变量中那些是统计量
.
.)(;
)(;;
2
);,,,m i n (
1
2
2
1
11
21
n
nXXXX
n
XXXX
XXX
nn
nn
n


2,常用的统计量
n
i
iXnX
1
1样本均值：



n
i
i
n
i
i XnXnXXnS
1
22
1
22 ][
1
1)(
1
1样本方差：
返回主目录
§ ２ 抽样分布第六章 样本及抽样分布

n
i
i XXnSS
1
22 )(
1
1样本标准差：
,2,11)(
1

kX
n
Ak
n
i
k
ik矩：原点阶样本
,2,1)(1
1

kXX
n
Bk
n
i
k
ik阶中心矩：样本它们的观察值分别为：
n
i
ixnx
1
1
][
1
1)(
1
1
1
22
1
22


n
i
i
n
i
i xnxnxxns 返回主目录第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
n
i
i xxns
1
2)(
1
1
2,1,1
1

kx
n
a
n
i
k
ik
2,1,)(1
1

kxx
n
b
n
i
k
ik
分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k阶矩、样本 k阶中心矩。
统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为 抽样分布 。
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§ ２ 抽样分布结论,设 为来自总体 的一个样本，
nXX?,1
,,2 DXEX
则
.)21.,,12922
2
习题（参看 PESnXDXE
X
返回主目录第六章 样本及抽样分布
3,常用统计量的分布分布?2)1(?
的样本，为来自于正态总体设 )1,0(),( 1 NXX n?
§ ２ 抽样分布
22
1
2
nXX
则称统计量：
)(~ 22
2
n
n

记为分布。的是所服从的分布为自由度分布的性质：2?
独立，则有，且 2221222212210 ),(~),(~.1 nn
)(~ 2122221 nn 返回主目录第六章 样本及抽样分布
nDnE 2,.2 220
§ ２ 抽样分布
)1,0(~,1,0 NXDXEX iii证：
niEXEXDX iii?,2,1,213)( 2242
.)(
1
2
1
22 nEXXEE
n
i
i
n
i
i

所以
.2)(
1
2
1
22 nDXXDD
n
i
i
n
i
i

,12?iEX
返回主目录第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布




)}({
)10(
22 nP
，称满足条件：对于给定的
。分位点上分布的为的点 )()( 22 nn
2
分位点。是标准正态分布的上充分大时，当

z
nznn 22 )12(
2
1
)(
返回主目录第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布分布?t)2(
).(~
T,),(~),1,0(~ 2
ntTtn
n
Y
X
YXnYNX
分布，记作的是所服从的分布为自由度称随机变量独立，则




)}({
)10(
nttP
，称满足条件：对于给定的
。分位点上分布的为的点 tnt )(
)()(1 ntnt：由概率密度的对称性知
.)(45 zntn 时，当
)(nt?)(1 nt
返回主目录第六章 样本及抽样分布
).,(~/1),,(~ F 1221 nnFFnnF 则若
),(/1),( 12211 nnFnnF结论：



)},({
)10(
21 nnFFP
，称满足条件：对于给定的
。分位点上分布的为的点 FnnF ),( 21
称随机变量则分布?F)3(
独立，若 YXnYnX,),(~),(~ 2212
).,(~,2121 nnFFFnn 分布，记作的是?
2
1
/
/ F
nY
nX? 所服从的分布为自由度
),( 21 nnF?
返回主目录第六章 样本及抽样分布

}
),(
11{
211 nnFF
P所以第六章 样本及抽样分布
§ ２ 抽样分布
),(
1),(),(~/1
211
1212 nnFnnFnnFF
所以，又因为
),(
1),(
12
211 nnFnnF
即
357.0
80.2
1
)12,9(
1)9,12(
05.0
95.0 FF例：
),(~ 21 nnFF证明：若
}
),(
11{)},({1
211
211 nnFFPnnFFP


}
),(
11{1
211 nnFF
P


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(4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布：
).,(~).1(
2
nNX

221,),(,,,SXNXX n 的样本，是总体设
)1(~)1().2( 22
2
nSn?
独立。与 2).3( SX
)1(~
/
nt
nS
X?
).1(~)1(),1,0(~
/
2
2
2
nSnN
n
X?

证明：
定理 1
方差，则有：分别是样本均值与样本定理 2.
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§ ２ 抽样分布且它们独立。
则由 t-分布的定义：
)1(~
)1(
)1(
/ 2
2

nt
n
Sn
n
X

)1(~
/
nt
nS
X?即：



21
1211
1,1 n
j
j
n
i
i YnYXnX设；分别是两个样本的方差?

2
1
2
2
2
2 )(1
1 n
j
j YYnS
的样本，且它们独 立。
体相同方差的两个正态总分别是具有与设
),(),,(
,,,,,
2
2
2
1
2121 21
NN
YYYXXX nn
.3定理
。分别是两个样本的均值?

1
1
2
1
2
1 )(1
1 n
i
i XXnS
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§ ２ 抽样分布
)2(~
11
2
)1()1(
)()(
21
2121
2
22
2
11
21



nnt
nnnn
SnSn
YX
则有：
),(~
2
2
1
2
21 nnNYX
证：
)1,0(~
/1/1
)()(
21
21 N
nn
YX

所以且它们独立。),1(~)1(),1(~)1( 222
2
22
1
2
2
2
11 nSnnSn?

。则 )2(~)1()1( 2122
2
22
2
2
11 nnSnSn?

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§ ２ 抽样分布
)2/(
)1()1(
/1/1
)()(
212
2
22
2
2
11
21
21

nn
SnSn
nn
YX
t


分布的定义：由
)2(~
11
2
)1()1(
)()(
21
2121
2
22
2
11
21



nnt
nnnn
SnSn
YX
即：
)2(~ 21 nnt
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1 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。
2 引进了 分布,t分布,F分布的定义，会查表计算。
3 掌握正态总体的某些统计量的分布。
作业：
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2?
.4,3,11 5 6P