§ 2 方差
1,定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用 E | X - E X|,但不方便；所以通常用
2
)( EXXE? 来度量随机变量 X 与其均值 EX 的偏离程度。
设 X 是随机变量，若 2)( EXXE? 存在，称其为随机变量 X 的方差，记作 DX,V a r ( X ),即：
D X = V a r ( X ) = 2)( EXXE? 。 DX 称为标准差。
§ 2 方差


1
22 )()(
i
ii pEXxEXXEDX,离散型。

dxxfEXxDX )()( 2,连续型。
第四章 随机变量的数字特征返回主目录
§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
22 EXEXDX
证明：
2EXXEDX
22 2 EXXEXXE
22 2 EXEXEXEX
222 2 EXEXEX
22 EXEX
方差也可由下面公式求得：
注,方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
平较高？试问哪一个人的射击水例 13
X 8 9 10
P 0,3 0,2 0,5Y 8 9 10
P 0,2 0,4 0,4
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征解：
．比较两个人的平均环数甲的平均环数为
5.0102.093.08EX环2.9?
乙的平均环数为
4.0104.092.08EY环2.9?
的方差分别为的，但两个人射击环数是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看例 13（续）
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
5.02.9102.02.993.02.98 222DX
76.0?
4.02.9104.02.992.02.98 222DY
624.0?
，由于 DXDY?
甲稳定．这表明乙的射击水平比例 13（续）
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2、方差的性质
1 ) D X? 0,若 C 是常数，则 D C = 0
2 ) DXCCXD 2)(?
§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
3 ) ))((2)( 22 EYYEXXa b EDYbDXabYaXD,
a,b 是常数。若 X,Y 独立，
则 DYbDXabYaXD
22)(
)])(([2
])([])([ 2222
EYYEXXabE
EYYbEEXXaE


2
2
)]()([
)]([)(
EYYbEXXaE
bYaXEbYaXEbYaXD


证：
)()(222 EYYEXXabEDYbDXa
2)( EXXEDX
4 ) D X = 0? P{ X = c } = 1,c = E X
§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
DYbDXa 22
若 X,Y独立，则
E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0
故：
))((2)( 22 EYYEXXa b EDYbDXabYaXD,
注：
令,则 EY=0,DY=1。
称 Y是随机变量 X的 标准化 了的随机变量 。DXEXXY /)(
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征例 14
|||,|]1,0[~,YXDYXEUYX，且相互独立。求：设解：
x
y
0
1
1
.10,101),(
,101)(,101)(


yxyxf
yyfxxf YX
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征例 14续

1
0 0
)(2
x
dyyxdx
1
0
2
2 )
2
(2 dxxx
3
1?
22 )( YXEYXEYXD
先求：
2YXE



1
0
1
0
||),(|||| d x d yyxd x d yyxfyxYXE

1
0
1
0 00
)()(
yx
dxxydydyyxdx
x
y
0
xy?
1
1



d x d yyxfyx ),(|| 2
1
0
1
0
2|| d x d yyx 返回主目录
§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征例 14（续）
6
1)2(
1
0
1
0
22 d x d yyxyx
22 )( YXEYXEYXD
则：
18
1)
3
1(
6
1 2
思考题,若 且它们独立，),,(~),,(~ 22 NYNX
|||,| YXDYXE求：

1
0
1
0
2)( d x d yyx
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3,定理证明,（只证 X 是连续型）
2
2
2
2
2 )()(
1


DXdxxfx 。
§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
)C h e b y s h e v( 不等式定理,（ 切比晓夫不等式 ）
设随机变量 X有数学期望,对任意
>0,不等式 成立,
或
2, DXEX 方差
22 /}|{|XP
22 /1}|{|XP
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||
2
2
)(||
x
dxxfx?




||
)(}|{|
x
dxxfXP
这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情况下，事件 }|{|X 的概率的一种估计方法。
例如：在上面不等式中，取 4,3?,有：
8 8 8 9.0}3|{|XP
9 3 7 5.0}4|{|XP
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征例 15
).61,600(~,600 BXX 则粒种子中的良种数表示设解：
}02.0
600
100-X
P {}02.0
6
1
600
X
P {
.
6
5
6
1
600DX,
6
1
600 E X


由切比晓夫不等式有
4 2 1 3.0
1 4 4
6
5
6
16 0 0
1
12
1}121 0 0-XP{ 2?

DX
假设一批种子的良种率为,从中任意选出 600粒,试用切比晓夫 （ Chebyshev） 不等式估计：这 600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过 0.02的概率 。
6
1
6
1
§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征不等式证明：利用 C h e b y s h ev,，则若 10 EXXPDX
证明：
0 EXXPEXXP0 EXXP
01 EXXP





1
10
n n
EXXPEXXP而



1
1
n n
EXXP概率的次可列可加性不等式，得由概率的非负性及 C h eb y s h ev
例 16
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§ 2 方差第四章 随机变量的数字特征
2
1
1
0

n
DX
n
EXXP
0?
01?



nEXXP所以，
，,21?n
0000
1

n
EXXP所以，
00 EXXP所以,,因此,1 EXXP
例 16（续）
我们有：由此例及方差的性质，
为常数CCXP 1
的充分必要条件为,0?DX
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