第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西()中值定理与洛必达()法则
思考题,
用洛必达法则求极限时应注意什么？
答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.
2,把柯西中值定理中的“与在闭间区上连续”换成“与在开区间内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.
答：不成立,
图像如下,
习作题：
用洛必达法则求下列极限：
（1）,（2），
（3）,（4）.
解：(1) ==2,
(2)==1,
(3) = =1,
(4)== =.
用洛必达法则求下列极限：
（1）,（2）.
解,(1)== ==1,
(2)= == =.
3,设，直接用柯西中值定理求极限.
解：,,
=
= (在0与 之间)
==.
第二节 拉格朗日中值定理及函数的单调性
思考题：
1.将拉格朗日中值定理中条件“在闭区间上连续”换为“在开区间内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.
答：不成立,
如下图：
2,罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.
罗尔中值定理：若满足如下3条：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间上可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即，则在开区间内至少存在一点，使得.
需回答的问题：
（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？
答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.
（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.
答：不成立.
如下图,
（3）不求 的导数，说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间.
答：方程有3个实根,分别在区间（1,2）、（2,3）、（3,4）内.
原因：,据罗尔定理即可得出结果.
3,举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.
答：如下图所示.
习作题：
讨论函数的单调性.
解：函数的定义域为,
,令,得,
用把 分成两部分,
当时,当时,
因此在上单调递增,在上单调递减.
第三节 函数的极值与最值
思考题：
1,画图说明闭区间上连续函数的极大值与最值之间的关系.
答：图像如下
由图可知,函数的极值与最值的关系为：的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.
2,可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？
答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种,利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.
习作题：
1,求+在闭区间上的极大值与极小值，最大值与最小值.
解：,令,得,
,,,
∴的极大值为4，极小值为.
∵,.
∴ 比较的大小可知：
最大值为200,最小值为.
2,求函数在上的最大值.
解：,令,得.
∵,,,比较可知
在上最大值为.
第四节 曲率
思考题：
1,对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？
答：相等.
因为：曲率半径.
2,是否存在负曲率，为什么？
答：不存在.
因为曲率定义为：，故可知曲率为非负的值.
习作题：
求立方抛物线上各点处的曲率,并求处的曲率半径.
解：,,
于是曲率 =,
当 时曲率 ,
故曲率半径.
2,曲线上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率.
解：,,
故曲率 ,
对关于求导,得
,
令且 得.
时,; 时,,
曲线上，处曲率最大,最大曲率为.
第五节 函数图形的描绘
思考题：
若为连续曲线弧的拐点，问：
（1）有无可能是的极值，为什么？
答：可能.
如：
为的拐点且为的极值.
（2）是否一定存在？为什么？画图说明.
答：不一定,如 图像如右：
点为曲线的拐点，但不存在.
2,根据下列条件，画曲线：
(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.
解：如下图.
(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.
解：如下图.
(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.
解：如下图.
（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.
解：如下图.
习作题：
1,设水以常速（）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间的函数的图像，阐明凹向，并指出拐点.
解：函数图像如下：
在区间上函数的图像上凹,在区间上函数的图像下凹,点为函数图像的拐点.
2,（1）的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数本身拐点横坐标的值.
答：拐点横坐标为与.
（2）在图4—21的二阶导数的图像中，指出函数本身拐点横坐标的值.
答：拐点横坐标为和.
3,求曲线的凹凸区间与拐点.
解：函数的定义域为,
,,
令,得,
用把分成，两部分.
当时，,当时，,
曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为.
4.求曲线的渐近线.
解：,故为曲线的铅直渐近线,
,故为曲线的铅直渐近线,
,故为曲线的水平渐近线,
曲线的渐近线为：.
第六节 一元函数微分学在经济上的应用
思考题:
回答下列问题：
(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？
答：因为需求价格弹性中，是需求量关于价格的导数,而一般情况下，需求函数是价格的单凋递减函数，即一般地,所以说需求价格弹性一般为负值.
(2)设生产个单位产品时，总成本为，问这时每单位产品的平均成本是多少？
答：平均成本.
(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.
答：设表示某项经济指标，表示时间，二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指是递增函数，所以，也即的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指，也即的图像上升且下凹（如下图2）.
2,一般情况下，对商品的需求量是消费者收入的函数，即，试写出需求对收入的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.
答：需求收入弹性,因为一般情形下，需求是收入的增函数，
故从而>0,若=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<<1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.
习作题：
1,某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q的函数图象.
（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=，图像如下图（1）,
（2）边际成本=,图像如下图（2）,
（3）边际收入 =,图像如下图（3）.
2,求解下列各题：
（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为
,,
其中为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.
解：边际成本=
边际收入=
边际利润.
（2）设为某产品的价格，为产品的需求量，且有,问为何值时，需求弹性大或需求弹性小.
解：由得,
所以需求价格弹性,
故当< ,即40<<80时,需求弹性大; 当<<0,即0<<40时，需求弹性小.
第一节 柯西()中值定理与洛必达()法则
思考题,
用洛必达法则求极限时应注意什么？
答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.
2,把柯西中值定理中的“与在闭间区上连续”换成“与在开区间内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.
答：不成立,
图像如下,
习作题：
用洛必达法则求下列极限：
（1）,（2），
（3）,（4）.
解：(1) ==2,
(2)==1,
(3) = =1,
(4)== =.
用洛必达法则求下列极限：
（1）,（2）.
解,(1)== ==1,
(2)= == =.
3,设，直接用柯西中值定理求极限.
解：,,
=
= (在0与 之间)
==.
第二节 拉格朗日中值定理及函数的单调性
思考题：
1.将拉格朗日中值定理中条件“在闭区间上连续”换为“在开区间内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.
答：不成立,
如下图：
2,罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.
罗尔中值定理：若满足如下3条：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间上可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即，则在开区间内至少存在一点，使得.
需回答的问题：
（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？
答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.
（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.
答：不成立.
如下图,
（3）不求 的导数，说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间.
答：方程有3个实根,分别在区间（1,2）、（2,3）、（3,4）内.
原因：,据罗尔定理即可得出结果.
3,举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.
答：如下图所示.
习作题：
讨论函数的单调性.
解：函数的定义域为,
,令,得,
用把 分成两部分,
当时,当时,
因此在上单调递增,在上单调递减.
第三节 函数的极值与最值
思考题：
1,画图说明闭区间上连续函数的极大值与最值之间的关系.
答：图像如下
由图可知,函数的极值与最值的关系为：的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.
2,可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？
答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种,利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.
习作题：
1,求+在闭区间上的极大值与极小值，最大值与最小值.
解：,令,得,
,,,
∴的极大值为4，极小值为.
∵,.
∴ 比较的大小可知：
最大值为200,最小值为.
2,求函数在上的最大值.
解：,令,得.
∵,,,比较可知
在上最大值为.
第四节 曲率
思考题：
1,对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？
答：相等.
因为：曲率半径.
2,是否存在负曲率，为什么？
答：不存在.
因为曲率定义为：，故可知曲率为非负的值.
习作题：
求立方抛物线上各点处的曲率,并求处的曲率半径.
解：,,
于是曲率 =,
当 时曲率 ,
故曲率半径.
2,曲线上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率.
解：,,
故曲率 ,
对关于求导,得
,
令且 得.
时,; 时,,
曲线上，处曲率最大,最大曲率为.
第五节 函数图形的描绘
思考题：
若为连续曲线弧的拐点，问：
（1）有无可能是的极值，为什么？
答：可能.
如：
为的拐点且为的极值.
（2）是否一定存在？为什么？画图说明.
答：不一定,如 图像如右：
点为曲线的拐点，但不存在.
2,根据下列条件，画曲线：
(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.
解：如下图.
(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.
解：如下图.
(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.
解：如下图.
（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.
解：如下图.
习作题：
1,设水以常速（）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间的函数的图像，阐明凹向，并指出拐点.
解：函数图像如下：
在区间上函数的图像上凹,在区间上函数的图像下凹,点为函数图像的拐点.
2,（1）的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数本身拐点横坐标的值.
答：拐点横坐标为与.
（2）在图4—21的二阶导数的图像中，指出函数本身拐点横坐标的值.
答：拐点横坐标为和.
3,求曲线的凹凸区间与拐点.
解：函数的定义域为,
,,
令,得,
用把分成，两部分.
当时，,当时，,
曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为.
4.求曲线的渐近线.
解：,故为曲线的铅直渐近线,
,故为曲线的铅直渐近线,
,故为曲线的水平渐近线,
曲线的渐近线为：.
第六节 一元函数微分学在经济上的应用
思考题:
回答下列问题：
(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？
答：因为需求价格弹性中，是需求量关于价格的导数,而一般情况下，需求函数是价格的单凋递减函数，即一般地,所以说需求价格弹性一般为负值.
(2)设生产个单位产品时，总成本为，问这时每单位产品的平均成本是多少？
答：平均成本.
(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.
答：设表示某项经济指标，表示时间，二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指是递增函数，所以，也即的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指，也即的图像上升且下凹（如下图2）.
2,一般情况下，对商品的需求量是消费者收入的函数，即，试写出需求对收入的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.
答：需求收入弹性,因为一般情形下，需求是收入的增函数，
故从而>0,若=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<<1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.
习作题：
1,某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q的函数图象.
（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=，图像如下图（1）,
（2）边际成本=,图像如下图（2）,
（3）边际收入 =,图像如下图（3）.
2,求解下列各题：
（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为
,,
其中为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.
解：边际成本=
边际收入=
边际利润.
（2）设为某产品的价格，为产品的需求量，且有,问为何值时，需求弹性大或需求弹性小.
解：由得,
所以需求价格弹性,
故当< ,即40<<80时,需求弹性大; 当<<0,即0<<40时，需求弹性小.
