第十一章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与计算
思考题：
1,把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子，
你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.
答：在式中，表示将平面区域任意分割成份后所得第个小区域的面积,是取自于第个小区域内的任何一点的坐标,是二元函数在点处的函数值,表示所有个小区域的直径中的最大值,
上式即表示,当函数在平面区域内有定义时,可将平面区域任意分割成个小区域,记为第个小区域的面积,然后在第个小区域中任取一点,作乘积的和,若此和式的极限存在,则称二元函数在区域上可积,并称上述极限值为二元函数在区域上的二重积分.
2,试述二重积分的几何意义.
答：当在区域上满足时，代表以面内的区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积,若,则表示体积的负值.
直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？
答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形,②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果,其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限.
4,在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？
答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形，并用极坐标描述D,②确定积分限,③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域.
5,就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分.
答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.
6,当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分方便.
答：当被积函数中含有的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.
习作题,
计算,其中.
解：如图，先对后对积分，则
=
=
=.
2,计算，其中由面上的直线及所围成.
解：如图,： 先对后对积分，得
=
=
=.
计算，其中.
解：令，则可表为：
从而 =
=2
=.
4,计算，其中是由圆周与所围成的平面区域.
解：令，则可表为：
从而
=
=
=
=4.
5,画出二次积分的积分区域并交换积分次序.
解：：
的图形如右图，由图可知，也可表为
所以交换积分次序后，得.
6,利用二重积分求下列几何体的体积：
（1）平面所围成的几何体.
解,如图，该几何体可看成是以面的区域：为底，以平面为顶的柱体，故体积
=
=
.
（2）平面= 0及抛物面所围成的几何体.
解：如图，几何体可看成是以面内的区域 ：为底，以曲面为顶的曲顶柱体.
故体积V=
令,,
则：
从而===.
第三节 三重积分的概念与计算
思考题：
1,试述计算三重积分的步骤.
答：（1）画出积分区域的图形,（2）将向某个坐标面投影确定积分次序和积分限,（3）计算累次积分求得结果.
2,总结出在不同的坐标系下，区域的表达式和相应的积分表达式.
答：（1）直角坐标下，常将方形域表为
：
相应的积分表达式为：
（2）柱面坐标系下：常将柱形域表为
：
相应的积分表达式为
=.
（3）球面坐标系下：常将球形域表为
：
相应的积分表达式为：
.
习作题：
1,计算其中由平面,= 0,= 0,= 0所围成的空间区域.
解：如图
所以
.
2,选适当的坐标系计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.
解：如图，选取柱面坐标系计算方便,
此时,
所以
=
=.
3,利用三重积分计算曲面与曲面所围成的立体体积.
解：取球面坐标系计算方便.
此时两曲面所围区域
所以体积
=
=
=.
第四节 对坐标的曲线积分
思考题：
1,对坐标的曲线积分如何化为一元定积分来计算？
答：将曲线的方程参数化，设为 并确定的起点和终点对应的参变量的值，设为，则曲线积分即可化为对参变量的定积分，即
.
2,为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？
答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变化是有方向的，即从起点到终点，故下限对应起点，上限对应终点.
习作题：
1,计算曲线积分,是曲线上 由0至
的一段.
解,
=
=.
计算曲线积分,其中为抛物线
上从点到点的一段弧.
解：以为参变量，则从变到，从而
=.
格林（Green）公式及其应用
思考题：
1,与路径无关的条件是什么？若与路径无关，则如何积分为好？
答：与路径无关的条件是在区域内处处成立.
当与路径无关时，计算应选择从到点,且由平行于坐标轴的直线构成的折线段来计算为好.
2,能否化为二重积分来求？
答：若为闭合曲线，且在所围区域内具有一阶连续偏导数，则
可利用Green公式化为二重积分来求，若非闭合曲线，则可采用补线法化为二重积分来求.
习作题：
1,利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.
解：所围区域：
由格林公式，可得
=
=
=.
2,利用曲线积分与路径无关的条件，计算
,
其中是圆周从到点的上半部分.
解：此题中 ,
在面内处处成立,
与路径无关，
取到的直线段为积分路径，则
=.
对坐标的曲面积分及其应用
思考题：
1,双侧曲面有正向有负向，方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧.既然考虑双侧曲面，说明存在单侧曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转，再与另一端粘起来，你一定能说明你所做的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带.
答：因为此时从纸条上任一点出发，沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动能到达另一点.
2,曲面微元在 坐标面上投影的面积微元是，它在什么情况下为正的？在什么情况下为负的？
答：当的法向量与轴正向夹角小于时，为正；大于时，为负.
习作题
1,你可以翻阅参考书（会查资料本身就是一种能力），也可以独立思考，试将高斯公式证明出来.
证明：先设是型域，即,其中是平面上的有界区域，在上存在连续的一阶偏导数，用和分别表示曲面和,，用表示的侧表面，根据三重积分化累次积分的公式有
=.
而由对坐标曲面积分的计算方法知
故,
若同时还是型和型域，则同样有
由此可知 Gauss公式成立.
2．若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上连续，曲面的正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗？
,
利用这个公式你会求下面的积分吗？
,其中曲线是螺旋线从点到点的一段.
证明,设所选定的是曲面的上侧，则的边界曲线在面上的投影为的边界曲线的正方向，设其参数方程为
，
于是的方程为,
由曲线积分化定积分的公式得
.
同理
,
上述三式相加，得
,
由Green公式，上式右端等于
,
由对坐标的曲面积分化二重积分的方法知
于是斯托克斯公式成立.
取张成的曲面为的上侧，在面上的投影为区域，则由斯托克斯公式知
=
.
第一节 二重积分的概念与计算
思考题：
1,把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子，
你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.
答：在式中，表示将平面区域任意分割成份后所得第个小区域的面积,是取自于第个小区域内的任何一点的坐标,是二元函数在点处的函数值,表示所有个小区域的直径中的最大值,
上式即表示,当函数在平面区域内有定义时,可将平面区域任意分割成个小区域,记为第个小区域的面积,然后在第个小区域中任取一点,作乘积的和,若此和式的极限存在,则称二元函数在区域上可积,并称上述极限值为二元函数在区域上的二重积分.
2,试述二重积分的几何意义.
答：当在区域上满足时，代表以面内的区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积,若,则表示体积的负值.
直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？
答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形,②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果,其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限.
4,在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？
答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形，并用极坐标描述D,②确定积分限,③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域.
5,就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分.
答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.
6,当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分方便.
答：当被积函数中含有的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.
习作题,
计算,其中.
解：如图，先对后对积分，则
=
=
=.
2,计算，其中由面上的直线及所围成.
解：如图,： 先对后对积分，得
=
=
=.
计算，其中.
解：令，则可表为：
从而 =
=2
=.
4,计算，其中是由圆周与所围成的平面区域.
解：令，则可表为：
从而
=
=
=
=4.
5,画出二次积分的积分区域并交换积分次序.
解：：
的图形如右图，由图可知，也可表为
所以交换积分次序后，得.
6,利用二重积分求下列几何体的体积：
（1）平面所围成的几何体.
解,如图，该几何体可看成是以面的区域：为底，以平面为顶的柱体，故体积
=
=
.
（2）平面= 0及抛物面所围成的几何体.
解：如图，几何体可看成是以面内的区域 ：为底，以曲面为顶的曲顶柱体.
故体积V=
令,,
则：
从而===.
第三节 三重积分的概念与计算
思考题：
1,试述计算三重积分的步骤.
答：（1）画出积分区域的图形,（2）将向某个坐标面投影确定积分次序和积分限,（3）计算累次积分求得结果.
2,总结出在不同的坐标系下，区域的表达式和相应的积分表达式.
答：（1）直角坐标下，常将方形域表为
：
相应的积分表达式为：
（2）柱面坐标系下：常将柱形域表为
：
相应的积分表达式为
=.
（3）球面坐标系下：常将球形域表为
：
相应的积分表达式为：
.
习作题：
1,计算其中由平面,= 0,= 0,= 0所围成的空间区域.
解：如图
所以
.
2,选适当的坐标系计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.
解：如图，选取柱面坐标系计算方便,
此时,
所以
=
=.
3,利用三重积分计算曲面与曲面所围成的立体体积.
解：取球面坐标系计算方便.
此时两曲面所围区域
所以体积
=
=
=.
第四节 对坐标的曲线积分
思考题：
1,对坐标的曲线积分如何化为一元定积分来计算？
答：将曲线的方程参数化，设为 并确定的起点和终点对应的参变量的值，设为，则曲线积分即可化为对参变量的定积分，即
.
2,为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？
答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变化是有方向的，即从起点到终点，故下限对应起点，上限对应终点.
习作题：
1,计算曲线积分,是曲线上 由0至
的一段.
解,
=
=.
计算曲线积分,其中为抛物线
上从点到点的一段弧.
解：以为参变量，则从变到，从而
=.
格林（Green）公式及其应用
思考题：
1,与路径无关的条件是什么？若与路径无关，则如何积分为好？
答：与路径无关的条件是在区域内处处成立.
当与路径无关时，计算应选择从到点,且由平行于坐标轴的直线构成的折线段来计算为好.
2,能否化为二重积分来求？
答：若为闭合曲线，且在所围区域内具有一阶连续偏导数，则
可利用Green公式化为二重积分来求，若非闭合曲线，则可采用补线法化为二重积分来求.
习作题：
1,利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.
解：所围区域：
由格林公式，可得
=
=
=.
2,利用曲线积分与路径无关的条件，计算
,
其中是圆周从到点的上半部分.
解：此题中 ,
在面内处处成立,
与路径无关，
取到的直线段为积分路径，则
=.
对坐标的曲面积分及其应用
思考题：
1,双侧曲面有正向有负向，方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧.既然考虑双侧曲面，说明存在单侧曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转，再与另一端粘起来，你一定能说明你所做的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带.
答：因为此时从纸条上任一点出发，沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动能到达另一点.
2,曲面微元在 坐标面上投影的面积微元是，它在什么情况下为正的？在什么情况下为负的？
答：当的法向量与轴正向夹角小于时，为正；大于时，为负.
习作题
1,你可以翻阅参考书（会查资料本身就是一种能力），也可以独立思考，试将高斯公式证明出来.
证明：先设是型域，即,其中是平面上的有界区域，在上存在连续的一阶偏导数，用和分别表示曲面和,，用表示的侧表面，根据三重积分化累次积分的公式有
=.
而由对坐标曲面积分的计算方法知
故,
若同时还是型和型域，则同样有
由此可知 Gauss公式成立.
2．若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上连续，曲面的正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗？
,
利用这个公式你会求下面的积分吗？
,其中曲线是螺旋线从点到点的一段.
证明,设所选定的是曲面的上侧，则的边界曲线在面上的投影为的边界曲线的正方向，设其参数方程为
，
于是的方程为,
由曲线积分化定积分的公式得
.
同理
,
上述三式相加，得
,
由Green公式，上式右端等于
,
由对坐标的曲面积分化二重积分的方法知
于是斯托克斯公式成立.
取张成的曲面为的上侧，在面上的投影为区域，则由斯托克斯公式知
=
.
