第十章 多元函数微分学
多元函数的极限及连续性
思考题:
1,将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别.
答：二元函数与一元函数的极限都是表示某动点以任意方式无限靠近定点时，与之相关的一变量无限接近于一个确定的常数，不同的是后者对应，点是数轴上的点，前者对应的，是平面上的点.
一元函数在处连续是表示无限靠近时，无限靠近，二元函数在处连续是表示（，）以任意方式无限靠近时，无限靠近.
2,若二元函数在区域内分别对，都连续，试问在区域上是否必定连续？
答：不一定，因为中是表示以任意方式趋于而和中，，只代表的方式中的一部分，而不是全部.部分成立，全部不一定成立.
3,比照二元函数的定义，写出三元函数的定义.
答：设有四个变量和,若当在其变化范围内任意取定一组值时，变量按照一定的对应规律有惟一确定的值与它们对应，则称是变量的三元函数，记为.
比照一元基本初等函数的定义，试述二元基本初等函数的定义.
答：一元基本初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六类,二元基本初等函数也包括以上六类,但其具体形式比一元基本初等函数更广泛,如和均是二元基本初等函数中的幂函数.
5,表达式成立吗？
答：不一定,例如：不存在，而.
习作题：
1,设，求.
解：=.
2,已知，求.
解：==.
3,求.
解：==.
4,求函数的定义域,并画出定义域的图形.
解：由得，故定义域为.
如下图：

第二节 偏导数
思考题:
1,与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系.
答：一元函数在可导点处必连续,但二元函数在偏导数存在处不一定连续,因为只反应在处连续，只反应在处连续，即曲面关于平面和的截线在处连续不能代表曲面在处连续.反之，二元函数在连续点处也不一定存在偏导数.
2,若，试求且说明其几何意义.
解：因为,故=2.
上式在几何上表示曲线在（1，1，1）处沿轴方向的切线斜率为2.
3,举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍然有效.
解：例如可看成是由复合而成，按一元函数复合函数求导法则有：

把看作常数，直接求导数得：




二者是一样的.
习作题:
1,求.
解：,故=2.
2,，求，.
解：,,
故 ,.
3,,求.
解：因,
,
,
.
4,，求，.
解：=,=.
5,，求，.
解：=,
=.
6,，求，，.
解：=8,=,=.
7,= ，求，，，，.
解：=,
=,
=,
=,
=.
8,若，求，.
解：取对数得,
两边对求导，得,
,
.
9,若，求.
解：=
=
=1,
10,，求.
解,,
.
11,，求.
解：,
,
.
第三节 全微分
思考题,
1,偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何？
答：三者关系如下图.

2,一阶微分形式不变性能否推广到二元函数的全微分？
答：能.
利用全微分进行近似计算的主要理论依据是什么？
答：主要理论依据是函数的全增量与全微分之差是一个比高阶的无穷小，从而各自变量的改变量都较小时，全增量可近似地用全微分代替.
4,利用全微分进行近似计算的主要步骤有哪些？
答：主要步骤有：建立函数模型，求函数的微分，代入各自变量的值及其改变量的值,所得微分的值即为近似值.
习作题,
1．设，试用两种方法求.
解法一,,
.
解法二：


.
2,设当,求及.
解：.
,
.
3,，求.
解：



.
4,求的全微分.
解,=
=.
利用全微分求的近似值.
解：令，则
取,则


==1.003.
第四节 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用思考题:
1,求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可微函数,复合而得的复合函数的偏导数，并说明其符号的含义.
答：在求复合函数的偏导数时，要注意复合函数变量间的依赖关系及函数结构.
函数中变量间的依赖关系如图:

从而 ,
,
其中表示复合函数关于，的偏导数，表示函数关于的偏导数，表示关于的偏导数，分别表示函数关于，的偏导数.
2,求隐函数偏导数常用方法有几种？举例说明.
答：求隐函数偏导数常用方法有三种，例,设方程确定函数，求.
解法一（公式法）,令,则
,
,.
解法二（求导法）,方程两边对求导得：

所以 .
方程两边对求导得 ,
所以 .
解法三（全微分）,方程两边求全微分，得
,
从而 ,
所以 ,
.
3,在对什么样的函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行？
答：在对抽象函数,即未给出具体解析式的函数构成的复合函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行.
4,如何求空间曲面上某点的切平面方程，主要步骤与关键点是什么？
答：求空间曲面上某点的切平面方程的关键点是求切点坐标，主要步骤是：（1）将曲面方程写为的形式，（2）求,（3）取切平面的法向量为（其中为切点），写出切平面方程.
习作题:
1,若，求.
解：设,
则 ,,,
,.
2,求曲面 的平行于平面的切平面方程.
解：设, 则,
设切点坐标为,则切平面法向量,
依题意平行于,
从而,解得,则,
所以切平面方程为,
即.
求空间曲线在点处的切线方程与法平面方程.
解：切点对应的参变量,
又 ,
所以切向量,于是切线方程为,
法平面方程为 ,
即 .
第五节 多元函数的极值
思考题:
1,二元函数在哪些点可能是极值点？举例说明驻点不一定为极值点，反之，极值点是否一定为驻点？
答：二元函数可能的极值点包括驻点和偏导数不存在的点.例如；对函数是驻点，但不是极值点，反之，极值点不一定为驻点，如取得极小值，但函数在（0，0）处偏导数不存在，非驻点.
2,二元函数的极值与条件极值的几何意义是什么？若二元函数无极值，是否一定无条件极值，举例说明.
答：二元函数的极大（小）值在几何上表示曲面的局部高（低）点，条件极值在几何上表示曲面在所给条件限制范围内的部分图形的局部高点或低点.若二元函数无极值，则不一定无条件极值，如函数无极值，但若给定条件=0,则有条件极值.
习作题：
1,设，（1）求的极值,（2）求在条件下的极值.
解：（1）由 得驻点（0，0）,
又 ,
,且,
故为函数的极大值点，函数的极大值为.
（2）在条件下的极值,即为的极值，显然在处取得极大值，故在条件 下，在处取得极大值.
2,求的极值.
解：在处取得极大值1，在处取得极小值，故当（为非负整数）时，取得极小值，当时，取得极大值.
3,某工厂要用钢板制作一个容积为100的有盖长方体容器，若不计钢板的原度，怎样制作材料最省？
解：设容器的长、宽、高分别为，则.此题即要求函数在条件下的最小值，其中,
令,
则 
解得，故惟一驻点也是最小值点，即当容器的长、宽,高均为时所用材料最省.