第八章 常微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
思考题：
1,微分方程通解中的任意常数最终可表为（为任意实数），等形式吗？
答：不能表示为，能表示为，因为只能取到内的所有实数，只能取到内的实数，均不能取到所有实数，而.
2,微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率相同)？
答：不一定,若通解的一阶导数中含有任意常数,则积分曲线不相互平行.
习作题:
1,验证为微分方程的解，并说明是该方程的通解.
证明, ,
,
,
于是，故是的解.
与线性无关，中的与相互独立，即中含有与方程阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故是该方程的通解.
2,用分离变量法求解下列微分方程:
（1）,（2）,（3），且.
解：（1）分离变量得,
两边积分得 ,
求积分得 ,
从而通解为及y=.
（2）分离变量得 ,
两边积分得 ,
求积分得 ,
即 ,
从而通解为 .
（3）分离变量得 ,
两边积分得
求积分得 ,
即 ,
从而通解为.
由，得,故特解为.
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程
思考题:
1,是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？
答：可以.
2,可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的求解方法怎样？
答：有三种类型：
(1) 型的微分方程，直接积分次即可得通解.
(2) 型的微分方程，先令将方程变为一阶微分方程，求得通解后再解，即得原方程的通解.
(3) 型的微分方程，先令将方程变为一阶微分方程，求得通解后再解，即得原方程的通解.
习作题：
1,求解下列一阶线性微分方程
（1）（其中为常数）,(2).
解：(1)因,,故通解为
.
(2)方程变形为,
这是关于的一阶线性微分方程，其中,
通解为：
.
2,求方程的通解.
解：方程不显含自变量,令原方程可变为,
即或,
由得.
由分离变量，得,
两边积分得,
求积分得 ,即,
解 得,
因包含于中,故原方程通解为 .
第三节 二阶常系数线性微分方程
思考题:
1,齐次线性常微分方程有何共性？
答：共性在于任一齐次线性常微分方程的任意多个解的叠加函数仍是这个方程的解.
2,写出以为特征方程的常微分方程.
解：对应的微分方程为.
3,写出以为通解的微分方程.
解：此微分方程的特征方程应具有二重根,
故特征方程为,从而微分方程为.
习作题:
1,写出下列微分方程的通解：
（1）,（2）.
解：（1）特征方程,特征根,
通解为.
（2）特征方程,特征根,
通解为.
2,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
（1）,,
（2） ，,
解：（1）先解,
其特征方程为,特征根为,,
故通解 .
因中不是特征方程的根，且,故设原方程特解，代入原方程化简，得，从而原方程通解为.
由，得,由，得,
解得,,
故所求特解.
（2）先解，
其特征方程为，特征根为，
故通解.
设原方程特解，代入原方程，化简得，故原方程通解,
由，由，得，故所求特解为.
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
思考题：
1,微分方程通解中的任意常数最终可表为（为任意实数），等形式吗？
答：不能表示为，能表示为，因为只能取到内的所有实数，只能取到内的实数，均不能取到所有实数，而.
2,微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率相同)？
答：不一定,若通解的一阶导数中含有任意常数,则积分曲线不相互平行.
习作题:
1,验证为微分方程的解，并说明是该方程的通解.
证明, ,
,
,
于是，故是的解.
与线性无关，中的与相互独立，即中含有与方程阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故是该方程的通解.
2,用分离变量法求解下列微分方程:
（1）,（2）,（3），且.
解：（1）分离变量得,
两边积分得 ,
求积分得 ,
从而通解为及y=.
（2）分离变量得 ,
两边积分得 ,
求积分得 ,
即 ,
从而通解为 .
（3）分离变量得 ,
两边积分得
求积分得 ,
即 ,
从而通解为.
由，得,故特解为.
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程
思考题:
1,是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？
答：可以.
2,可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的求解方法怎样？
答：有三种类型：
(1) 型的微分方程，直接积分次即可得通解.
(2) 型的微分方程，先令将方程变为一阶微分方程，求得通解后再解，即得原方程的通解.
(3) 型的微分方程，先令将方程变为一阶微分方程，求得通解后再解，即得原方程的通解.
习作题：
1,求解下列一阶线性微分方程
（1）（其中为常数）,(2).
解：(1)因,,故通解为
.
(2)方程变形为,
这是关于的一阶线性微分方程，其中,
通解为：
.
2,求方程的通解.
解：方程不显含自变量,令原方程可变为,
即或,
由得.
由分离变量，得,
两边积分得,
求积分得 ,即,
解 得,
因包含于中,故原方程通解为 .
第三节 二阶常系数线性微分方程
思考题:
1,齐次线性常微分方程有何共性？
答：共性在于任一齐次线性常微分方程的任意多个解的叠加函数仍是这个方程的解.
2,写出以为特征方程的常微分方程.
解：对应的微分方程为.
3,写出以为通解的微分方程.
解：此微分方程的特征方程应具有二重根,
故特征方程为,从而微分方程为.
习作题:
1,写出下列微分方程的通解：
（1）,（2）.
解：（1）特征方程,特征根,
通解为.
（2）特征方程,特征根,
通解为.
2,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
（1）,,
（2） ，,
解：（1）先解,
其特征方程为,特征根为,,
故通解 .
因中不是特征方程的根，且,故设原方程特解，代入原方程化简，得，从而原方程通解为.
由，得,由，得,
解得,,
故所求特解.
（2）先解，
其特征方程为，特征根为，
故通解.
设原方程特解，代入原方程，化简得，故原方程通解,
由，由，得，故所求特解为.
