第九章 向量与空间解析几何
第一节 空间直角坐标系与向量的概念思考题：
1,求点与轴，平面及原点的对称点坐标.
解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.
2,下列向量哪个是单位向量？
（1），（2），（3）.
解：（1）,不是单位向量.
（2）,是单位向量.
（3）,不是单位向量.
3,自由向量具有什么样的特征？
答：自由向量的特征是大小相等，方向相同，但起点不定.
4,试举几个现实生活中能用向量描述的量？
答：如力，速度，位移，力矩等.
5,与向量平行的单位向量有几个? 如何去求？试举例说明.
答：与向量平行的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向.例如：若={1，1，1}，则与平行的单位向量为.
习作题：
1,求平行于={1，1，1}的单位向量.
解：与平行的单位向量为.
2,求起点为，终点为的向量的坐标表达式及.
解：==,
.
3,求点到点之间的距离.
解：距离.
4,求使向量与向量平行.
解：由得得.
5,求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.
解： ==.
6,求与向量={1，5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式.
解：,
故 .
第二节 向量的点积与叉积
思考题:
1,若为单位向量，则是单位向量吗？
答：不一定是.因为,若不垂直，则不是单位向量.
2,向量,问有关系吗？
答：,故.
3,如何求同时垂直于向量的向量？
答：因为既垂直于又垂直于，故(为常数).
习作题:
1,求点的向径与坐标轴之间的夹角.
解：设与,,轴之间的夹角分别为，则
,
,.
,,.
2,求同时垂直于向量和轴的单位向量.
解：记,
故同时垂直于向量与轴的单位向量为.
3,求与平行且满足的向量.
解：因,故可设，再由得，即，从而.
4,，，，求，，，及，，，.
解：依题意，，，，故
，，.
，，，.
5,，求及.
解：,
.
6,证明向量与向量垂直.
证明：,
,即与垂直.
平面与直线思考题:
1,写出下列平面方程：
（1）平面,（2）过轴的平面,
（3）平行与的平面,（4）与，，轴正向截距相等的平面.
解：（1）,
（2）（为常数）,
（3） (为常数),
（4）  .
2,用一般式表示空间直线的表达式是否惟一，直线与有何关系？
答：用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一，因为过两平面相交直线的任意两个不同的平面的联立方程组均可表示这条直线.
直线与平行.
3,在什么条件下，可以确定一个平面的方程？
答：只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量，即可确定一个平面的方程.
4,在什么条件下，可以确定一条直线的方程？
答：只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量，即可确定一条直线的方程.
5,由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么？
答：关键点是确定直线的方向向量.主要步骤是：①定点，由一般式方程任取直线上一点；②定向，由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量，最后写出点向式方程.
6,若平面方程为，则满足下列条件的平面有何特点，且作图形：
（1）,(2),(3),(4).
答：（1）平面过原点,
（2）平面过轴,
（3）平面平行于坐标面,
（4）平面即为坐标面.
以上各题图形如下：
7,在直线方程中有的分母为零时应如何理解？
答：分母为零时，应理解为分子也为零.
习作题,
1,写出过点且以为法向量的平面方程.
解：平面的点法式方程为.
2,求过三点的平面方程.
解：设所求平面方程为,
将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.
3,求过点且与平面平行的平面方程.
解：依题意可取所求平面的法向量为,
从而其方程为,
即 .
4,写出过点且以为方向向量的直线方程.
解：方程为.
5,求过两点的直线方程.
解：取直线的方向向量，则直线的方程为.
6,求过点且与直线平行的直线的方程.
解：依题意，可取的方向向量为，则直线L的方程为.
7,求直线的点向式方程.
解：令=0，可解得直线上一点,
取直线的方向向量,
所以直线的点向方程为：.
8,求直线与平面的夹角.
解：直线的方向向量，平面的法向量,设直线与平面的夹角为，则 ,
故 .
第四节 曲面与空间曲线
思考题:
1,方程代表何曲面，分别与平面和的交线为何？
答：方程代表圆锥面，与平面的交线是坐标面内的两条角平分线，与平面 =1 的交线是平面=1内的双曲线，与平面=2的交线是平面=2内的圆.
几种常见的二次曲面的名称及直角坐标系下的方程如何？
答：（1）球面 方程为,
（2）柱面 母线平行于轴的柱面方程为，母线平行于轴的柱面方程为，母线平行于轴的柱面方程为,
（3）旋转曲面 以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为，以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为,以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为.
投影柱面是如何定义的？其主要用途是什么？
答：过空间曲线上的每一点作同一坐标面的垂线所形成的柱面,称为关于这一坐标面的投影柱面，其主要用途是确定空间曲线的范围.
习作题:
指出下列方程所表示的几何图形的名称,并画草图.
（1） （2）,（3）,（4）.
答：（1）平行于轴的直线,
（2）母线平行于轴的椭圆柱面,
（3）以轴为旋转轴的旋转抛物面,
（4）两相交平面.
各题图形如下：
分别求曲线在面及面的投影.
解：消去变量，得,
故曲线在面内的投影曲线为
消去变量，得=1,.故曲线在面内的投影为 .
求绕轴旋转所得旋转曲面的方程？
解：方程为.
4,曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？
答：旋转曲面方程为，它称为旋转抛物面.
5,画出曲面与所围空间图形.